>>58
X1…XnはVの基底だから、任意のx∈Vは
x=ΣPi*Xiと表せる。
するとf(x)=f(ΣPi*Xi)=ΣPi*f(Xi)
同様にg(x)=g(ΣPi*Xi)=ΣPi*g(Xi)
よって∀f(Xi)=g(Xi) ⇒ f=g

タネを明かせばa[i,j]は線形写像の行列表現。
基底を選ぶと言うことは座標系を導入するようなものだから
ベクトルが成分表示できる。
そして成分計算として線形写像に行列を対応づけることができる。
M[i,j]はi行j列だけが1で他の成分が0という行列（で表される線形写像）
ここまで分かればM[i,j]の一次結合で任意の行列が作れるのは当たり前