>>51
ありがとうございます！
その後はこれであってますでしょうか？

納k=1,∞](k-1)!/(2k-1)!!
=納k=1,∞]∫_[0,1] {2x(1-x)}^(k-1) dx
=∫_[0,1] 納k=1,∞] {2x(1-x)}^(k-1) dx
ここで2x(1-x)はx∈[0,1]の範囲で[0,1/2]の値をとるから
納k=1,∞] {2x(1-x)}^(k-1)=1/{1-2x(1-x)}=1/(2x^2-2x+1)
よって

与式=∫_[0,1] dx/(2x^2-2x+1)=π/2