>>816
fn(←連続関数)は一様収束するのだから、g(x)＝lim[n→∞]fn(x)とおけば、gは[0,1]上の
連続関数である。明らかにg(x)＝f(0) (x≠1)，f(1) (x＝1)となるので、f(0)＝f(1)で
なければならず、このときgは定数関数となる。M＝max[0≦x≦1]f(x)とおく。M＝f(t)として、
sup[0≦x≦1]｜g(x)−fn(x)｜＝sup[0≦x≦1]｜f(0)−f(x^n)｜≧｜f(0)−f(t)｜＝｜f(0)−M｜
となるので、n→∞として 0≧｜f(0)−M｜ (fnはgに一様収束するので左辺は0になる)となり、
f(0)＝Mを得る。同様にして、最小値mについてもm＝f(0)となり、f(x)は定数関数となる。逆に、
fが定数関数ならば、fn(x)＝f(x^n)で定義されるfnは明らかに一様収束する。
以上より、題意を満たすfは定数関数に限られる。