f(z) = u(x,y) + iv(x,y) (z = x + yi)が正則関数の時、次の等式が成り立つことを証明せよ

(∂^2/∂(x^2))|f(z)|^2 + (∂^2/∂(y^2))|f(z)|^2 = 4|f'(z)|^2
※(∂u（x，y))/∂x　は　ux　と表記させていただきます


右辺はf'(z)=ux+i(vx)より、4|f'(z)|^2 = 4{ (ux)^2 + (vx)^2 }
となりますが、左辺が
|f(z)|^2　= u^2 + v^2　より、
左辺=2uxx + 2vxx + 2vyy - 2uyy と計算がよくわからなく･･･

ご教授、お願いします