Ｌ＝sl(2,C)をトレースが０の複素数係数２×２行列なすリー環とする。
|0 1| |0 0| |1 0 | を順にｅ、ｆ、ｈとおく。
|0 0| |1 0| |0 -1|
０以上の整数ｍに対して、Ｖ(ｍ)を(ｍ＋１)次元既約Ｌ加群とする。
０≦ｎ≦ｍのとき、
Ｖ(ｍ)×Ｖ(ｎ)＝Ｖ(ｍ＋ｎ)＋Ｖ(ｍ＋ｎ−２)＋…＋Ｖ(ｍ−ｎ)
を示せ。
注：ここで、×はテンソル積、＝は(Ｌ加群としての)同型、＋は直和を表す。

という問題なのですが、次元が同じだからベクトル空間としての同型はあたりまえなんですが、
Ｌ加群としての同型がいまいちよく分かりません。
ｈの作用についてはいいんですが、ｅ、ｆの作用についてまだ示せていません。

どなたか教えてください。