一応証明を。

A_1, A_2, ..., A_n が disjoint とする。
自然な延長の性質より、A_1^*, A_2^*, ..., A_n^* も disjoint で、
(A_1∪A_2∪ ...∪A_n)^* = A_1^*∪A_2^*∪ ...∪A_n^* なので、

#((A_1∪A_2∪ ...∪A_n)^*∩[0,ω])
=#((A_1^*∪A_2^*∪ ...∪A_n^*)∩[0,ω])
= #((A_1^*∩[0,ω])∪(A_2^*∩[0,ω])∪ ...∪(A_n^*∩[0,ω]))
= #(A_1^*∩[0,ω])+#(A_2^*∩[0,ω])+ ...+#(A_n^*∩[0,ω])

両辺を ω で割って標準部分をとると、
μ(A_1∪A_2∪ ...∪A_n)=μ(A_1)+μ(A_2)+ ...+μ(A_n)

N^*∩[0,ω]=[0,ω] だから、μ(N)=1.

(A+n)^* = A^*+n なので、A^*∩[0,ω] と (A^*+n)∩[0,ω] との個数の差は高々 2n.
よって #(A^*∩[0,ω])/ω と #((A+n)^*∩[0,ω])/ω の差は無限小。
よって、μ(A)=μ(A+n).