>>278
> すべての整数xに対して
> f(x)=a*x^2+b*x+c　が整数になるための
> a,b,cの必要十分条件とは何ですか？
xに特殊値を代入してまず必要条件を求めると、
c=f(0)　が整数、a+b+c=f(1)が整数、a-b+c=f(-1)が整数
後の2式からa+b、a-bが整数。
以上からa+b、a-b、cが整数　が必要。
逆にa+b、a-b、cが整数なら、
2a=a+b+a-b、2b=a+b-(a-b)が整数なので
まず、ｘが偶数2nのときはf(x)=f(2n)=4an^2+2bn+cは整数
ｘが奇数2n+1ならf(2n+1)=a(2n+1)^2+b(2n+1)+c=4an(n+1)+2bn+a+b+c は整数。
整数は偶数か奇数かのどちらかであるから、任意の整数ｘに対しf(x)は整数である。
以上から、求める条件の一つは
a+b、a-b、cが整数であること。