補題
n ≧ 3 を有理整数とする。
5^(2^(n-3)) ≡ 1 + 2^(n-1) (mod 2^n)
である。

証明
n に関する帰納法を使う。
n = 3 のときは正しい。

ある n ≧ 3 に対して
5^(2^(n-3)) ≡ 1 + 2^(n-1) (mod 2^n)
が正しいとする。

>>829 より、
5^(2^(n-2)) ≡ (1 + 2^(n-1))^2 (mod 2^(n+1))

ここで
(1 + 2^(n-1))^2 = 1 + 2^n + 2^(2n - 2)

2n - 2 ≧ n + 1
だから

5^(2^(n-2)) ≡ 1 + 2^n (mod 2^(n+1))
証明終