命題(Sylowの第一定理)
G を位数 N の有限群とする。
p を素数とし、p^m が N を割るとする。ここで m ≧ 1 である。
このとき G の部分群 H で |H| = p^m となるものが存在する。

証明
G の位数に関する帰納法を使う。

G の中心(>>781)を K とする。
G の共役類(>>780) C で |C| ＞ 1 となるもの全体を C_1, ..., C_r
とする。

G の類等式は
|G| = |K| + |C_1| + ... + |C_r| である。

|K| = 1 なら、ある C_i に対して |C_i| は p で割れない。
x ∈ C_i のとき |C_i| = [G : N(x)] である(>>780)。
よって N(x) は p^m で割れる。
帰納法の仮定から N(x) の部分群 H で |H| = p^m となるものが
存在する。

よって |K| ＞ 1 と仮定する。
K に位数 p の元 x があるなら x で生成される部分群を L とすると、
L は G の正規部分群で |G/L| は p^(m-1) で割れる。
帰納法の仮定から G/L の部分群で位数が p^(m-1) となるものがある。
よって G の部分群で位数が p^m となるものがある。

(続く)