補題
G を有限アーベル群とする。
|G| = (p^n)(q^m) とする。
ここで p と q は素数で p ≠ q である。
n ≧ 1, m ≧ 1 である。

このとき G には位数がそれぞれ p と q の元が存在する。

証明
G には位数 p の元が存在しないと仮定する。
これから矛盾を導けばよい。

G の任意の元 x ≠ 1 の位数の素因数は p または q である。
しかし仮定より x の位数は p では割れない。
よって x の位数は q のベキである。
>>783 より G の位数は q のベキであるが、これは仮定に反する。
証明終