補題
集合 I を添字集合とするアーベル順序群の列 (G_i) があるとする。
各 i に対して G_i の任意の元 a は
a = b - c, b ∈ (G_i)+, c ∈ (G_i)+ と書けるとする。

G = Σ G_i を (G_i) の直和アーベル群とする。
>>521 より G はアーベル順序群である。

G の任意の元 x は x = y - z, y ∈ G+, z ∈ G+ と書ける。

証明
G の任意の元 x = (x_i) に対して y = (y_i) ∈ G+ と
z = (z_i) ∈ G+ を以下のように定義する。

x_i = 0 のときは y_i = z_i = 0 とする。

仮定より x_i ≠ 0 のときは x_i = b - c となる (G_i)+ の元
b と c がある。y_i = b, z_i = c とおく。

y = (y_i), z = (z_i) とおけばよい。
証明終