補題
A を環、S を A の積閉部分集合とする。
I を A_S のイデアルとし、J を I の標準射 A → A_S による逆像と
する。このとき I = JA_S である。

証明
a/s ∈ I とする。ここで a ∈ I, s ∈ S である。

a/1 = (s/1)(a/s) ∈ I だから a ∈ J である。
よって a/s ∈ JA_S である。
よって I ⊂ JA_S である。

逆の包含関係は明らかである。
証明終