命題
R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とする。
I と J を正則な R-イデアル (>>446) とする。

IZ[ω] = JZ[ω] なら I = J である。

証明
P を R の素イデアルとする。
S = R - P とおく。S は R の積閉部分集合である。
Z[ω]_S を Z[ω]_P と書くことにする。
>>433 より Z[ω]_P は R_P の K における整閉包である。

P が正則なら、>>450 より R_P は離散付値環だから整閉である。
よって Z[ω]_P = R_P である。
IZ[ω] = JZ[ω] より I(Z[ω]_P) = J(Z[ω]_P) であるから
I(R_P) = J(R_P) である。

P が正則でないなら、>>449 より I ⊂ P ではない。
よって I(R_P) = R_P である。
同様に J(R_P) = R_P である。

以上から R の任意の素イデアル P ≠ 0 に対して
I(R_P) = J(R_P) である。

従って、前スレ３の 587 より I = J である。
証明終