補題
R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とする。
I ≠ 0 を R-イデアルとする。

I が正則 (>>446) であるためには I ⊂ P となる任意の
R-素イデアル P が正則であることが必要十分である。

証明
I が正則であるとする。
P を I ⊂ P となる R-素イデアルとする。
P が正則でないなら >>448 より f ∈ P である。
>>447 より Z[ω] の素イデアル P ' で P = R ∩ P ' となるものが
存在する。
IZ[ω] ⊂ PZ[ω] ⊂ P ' で f ∈ P ' だから
fZ[ω] + IZ[ω] ⊂ P ' となり I は正則でない。
これは仮定に反する。
よって P は正則である。

逆に、P を I ⊂ P となる R-素イデアルで正則でないとする。
fZ[ω] + PZ[ω] ≠ Z[ω] だから
fZ[ω] + IZ[ω] ≠ Z[ω] となり I は正則でない。
証明終