補題
R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とする。
P ≠ 0 を R の素イデアルとする。

P が正則 (>>446) であるためには P が f を含まないことが
必要十分である。

証明
P が正則でないとする。
fZ[ω] + PZ[ω] ≠ Z[ω] だから、fZ[ω] + PZ[ω] ⊂ P ' となる
Z[ω] の素イデアル P ' が存在する。
>>439 より P は R の極大イデアルだから P = R ∩ P ' である。
一方、fZ[ω] ⊂ R だから fZ[ω] ⊂ P となる。

逆に fZ[ω] ⊂ P なら fZ[ω] ⊂ PZ[ω] だから P は正則でない。
証明終