992コメント589KB

代数的整数論　004

■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています

0001１３２人目の素数さん

2006/11/23(木) 21:57:04

Kummer ◆g2BU0D6YN2氏が代数的整数論を語るスレです。

前スレ
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1141019088/

0153１３２人目の素数さん

2006/12/09(土) 14:11:35

>>152
(a,b) p
(0,1) 5, (2,3) 29, (1,6)41, (3,4) 61, (4,3) 89
ただ計算しました。

0154Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/09(土) 14:31:13

>>153

正解です。
計算方法を書いておきます。

a^2 + 5(b^2) ≦ 100 より 5(b^2) ≦ 100 となり b^2 ≦ 20
よって　b ≦ 4 となる。
b = 0 のとき a^2 は素数でないから b = 0 は除外する。
すると、a^2 + 5 ≦ 100 より a^2 ≦ 95 よって a ≦ 9

0 ≦ a ≦ 9
1 ≦ b ≦ 4
のとき (a, b) = a^2 + 5(b^2)の値を計算した結果を以下に書く。
数字の横に * が付いてるのはそれが素数であることを示している。

0155Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/09(土) 14:32:09

(0, 1) = 5*
(0, 2) = 20
(0, 3) = 45
(0, 4) = 80
(1, 1) = 6
(1, 2) = 21
(1, 3) = 46
(1, 4) = 81
(2, 1) = 9
(2, 2) = 24
(2, 3) = 49
(2, 4) = 84
(3, 1) = 14
(3, 2) = 29*
(3, 3) = 54
(3, 4) = 89*

続く

0156Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/09(土) 14:33:10

(4, 1) = 21
(4, 2) = 36
(4, 3) = 61*
(4, 4) = 96
(5, 1) = 30
(5, 2) = 45
(5, 3) = 70
(5, 4) = 105
(6, 1) = 41*
(6, 2) = 56
(6, 3) = 81
(6, 4) = 116
(7, 1) = 54
(7, 2) = 69
(7, 3) = 94
(7, 4) = 129
(8, 1) = 69
(8, 2) = 84
(8, 3) = 109*
(9, 1) = 86

0157Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/09(土) 14:43:39

>>153

今、いま気付いたけど、a と b が一部反対になっています。

0158１３２人目の素数さん

2006/12/09(土) 14:59:44

p=(a+1)^2+5a^2,a^2+5(a+1)^2

0159１３２人目の素数さん

2006/12/09(土) 15:00:44

p=5b^2 mod a
=a^2 mod b

0160１３２人目の素数さん

2006/12/09(土) 15:11:24

何か高校数学で出てきそうな問題ですね。
敢えて難しい定理を用いて解けという出題意図なのかと思った。

0161Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/09(土) 15:18:02

p を Q(√(-5)) で完全分解(>>106)する素数とする。
p ≠ 5 である。

p = a^2 + 5(b^2) が有理整数解 (a, b) をもつための条件を求める。

まず
a^2 ≡ p (mod 5)
つまり Legendre の記号(前スレ３の746)を使えば
(p/5) = 1 である。

1^2 ≡ 1 (mod 5)
2^2 ≡ 4 (mod 5)
3^2 ≡ 4 (mod 5)
4^2 ≡ 1 (mod 5)
だから

p ≡ 1 (mod 5)
または
p ≡ 4 (mod 5)
である。

0162Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/09(土) 15:28:53

一方 p は Q(√(-5)) で完全分解(>>106)するから、 >>105 より
(-5/p) = 1 である。

(-5/p) = (-1/p)(5/p)
であり、
平方剰余の相互法則(前スレ３の751)より
(5/p)(p/5) = 1 である。

>>161 より (p/5) = 1 だったから (5/p) = 1
よって (-1/p) = 1 である。

(-1/p) = (-1)^((p-1)/2) だから
(p-1)/2 は偶数である。
よって p ≡ 1 (mod 4) となる。

>>161 の
p ≡ 1 (mod 5)
または
p ≡ 4 (mod 5)
と組み合わせて

p ≡ 1 (mod 20)
または
p ≡ 9 (mod 20)
である。

0163Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/09(土) 15:33:32

>>162
>(-1/p) = (-1)^((p-1)/2) だから

これは平方剰余の第一補充法則と呼ばれている。

前スレ３の747の
4) (a/p) ≡ a^{(p - 1)/2} (mod p)
から直ちにでる。

0164Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/09(土) 15:38:37

>>160

簡単な計算ですが、こういう計算が初等整数論では重要な場合あります。

0165Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/09(土) 15:41:33

>>161
>p ≠ 5 である。

p ≠ 2 でもあることに注意しておく。

0166１３２人目の素数さん

2006/12/09(土) 15:49:04

p=a^2+b^2 mod 4
=a^2-b^2 mod 6

0167Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/09(土) 15:50:48

>>162 の結果

p ≡ 1 (mod 20)
または
p ≡ 9 (mod 20)

を満たす 100 以下の素数を求めてみよう。

100以下の整数 ≧ 1 で 20k + 1 の形のものは

21, 41, 61, 81

20k + 9 の形のものは

29, 49, 69, 89

これ等のなかで素数なのは
29, 41, 61, 89

これは >>153 と 5 を除いて一致する。

0168Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/09(土) 16:57:51

>>167 から次の予想をするには支持データ数が足りないだろう。
しかし、この予想は正しいことを後で証明する。

予想
p を 5 以外の有理素数とする。
p = a^2 + 5(b^2) となる有理整数 a, b が存在するためには、

p ≡ 1 (mod 20)
または
p ≡ 9 (mod 20)

が必要十分である。

0169Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/09(土) 21:02:14

命題
A を Dedekind 整域、K をその商体とする。
I, J を A の分数イデアル(前スレ２の677) とし、
IJ = A とする。ここで IJ は集合 { xy; x ∈ I, y ∈ J } で生成される
K の A-部分加群である。
このとき J = { x ∈ K; xI ⊂ A } である。

証明
L = { x ∈ K; xI ⊂ A } とおく。

IJ = A だから J ⊂ L である。
よって IJ ⊂ IL である。

L の定義より IL ⊂ A だから IJ ⊂ IL ⊂ A となる。

IJ = A より IL = A となる。

IL = A の両辺に J を掛けて JIL = J
JIL = (IJ)L = L だから L = J
証明終

0170Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/09(土) 21:09:57

証明からわかるように >>169 の命題の仮定で A は Dedekind 整域で
ある必要はなかった。

0171Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/09(土) 21:17:11

問題
A を Dedekind 整域とする。
P ≠ 0 を A の素イデアルで a ≠ 0 を P の元とする。
このとき (a) = PI となるイデアル I がある。

0172Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/09(土) 21:24:57

問題
A を Dedekind 整域、K をその商体とする。
P ≠ 0 を A の素イデアルとし、P^(-1) = { x ∈ K; xP ⊂ A }
とおく。
P^(-1) は A の分数イデアルで PP^(-1) = A である。

0173Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/09(土) 21:26:53

問題
A を Dedekind 整域、K をその商体とする。
I ≠ 0 を A のイデアルとし、I^(-1) = { x ∈ K; xP ⊂ A }
とおく。
I^(-1) は A の分数イデアルで II^(-1) = A である。

0174Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/09(土) 21:31:31

問題
>>173 において I は A の分数イデアルとしてもよい。

0175Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/09(土) 21:32:01

問題
A を Dedekind 整域とする。
I ≠ 0 と J ≠ 0 を A のイデアルとし、I ⊂ J とする。
このとき I = JL となるイデアル L がある。

0176Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/09(土) 21:35:15

命題
A を Dedekind 整域とする。
A の分数イデアル全体は乗法に関して群になる。

証明
>>174 より明らか。

0177Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/09(土) 21:40:01

定義
A を Dedekind 整域とする。
A の分数イデアル全体は乗法に関して群になる(>>176)。
この群を A のイデアル群と呼び I(A) と書く。

0178Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/09(土) 21:43:57

定義
A を Dedekind 整域、K をその商体とする。
K の元 x ≠ 0 に対して xA は分数イデアルである。
この形の分数イデアルを単項分数イデアルまたは主分数イデアルと
呼ぶ。

0179Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/09(土) 21:46:12

定義
A を Dedekind 整域とする。
A の主分数イデアル(>>178)全体は乗法に関して群になる。
この群を A の主イデアル群と呼び P(A) と書く。

0180Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/09(土) 21:49:51

定義
A を Dedekind 整域とする。
A のイデアル群 I(A) を主イデアル群 P(A) で割った剰余群 I(A)/P(A)
をA のイデアル類群と呼び Cl(A) と書く。

0181Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/09(土) 21:57:13

A を Dedekind 整域とする。
前スレ２の 541 よりイデアル類群 Cl(A) は標準的に A の Picard 群
Pic(A) に同型であることを注意しておく。

0182Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/09(土) 22:27:17

問題
A を Dedekind 整域とする。
A の任意の分数イデアルは I/J の形に書ける。ここで I, J は
A のイデアルで I/J は I(J^(-1)) を表す。

0183Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/09(土) 22:32:29

問題
A を Dedekind 整域とする。
A の分数イデアル M に対して M = I/J とする。
ここで I, J は A のイデアルである。
このとき N(I)/N(M) は、M = I/J となる I, J の取り方によらない。

0184Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/09(土) 22:35:12

訂正

>>183
>このとき N(I)/N(M) は、M = I/J となる I, J の取り方によらない。

このとき N(I)/N(J) は、M = I/J となる I, J の取り方によらない。

0185Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/09(土) 22:39:49

定義
A を Dedekind 整域とする。
A の分数イデアル M に対して M = I/J とする。
ここで I, J は A のイデアルである。
>>182 よりこのようなイデアルは存在する。
>>183 より N(I)/N(J) は M = I/J となる I, J の取り方によらない。
N(I)/N(J) を M のノルムと呼び N(M) と書く。

明らかに、この定義は M がイデアルのときのノルムの拡張になっている。

0186Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/09(土) 22:48:05

A を Dedekind 整域とする。
A のイデアルのことを A の分数イデアルと区別して整イデアル
ともいう。
しかし、このスレでは通常、単にイデアルと呼ぶことにする。

定義(前スレ２の677)からイデアルは、分数イデアルでもある。

0187Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/09(土) 22:52:57

２次体 Q(√m) においては、誤解のない限り、Q(√m) の整数環 Z[ω] の
分数イデアルのことを Q(√m) の分数イデアルとも言う。

0188Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/09(土) 23:09:53

問題
２次体 Q(√m) のイデアル I ≠ 0 に対して、I^(-1) = [r, s + tω] と
書ける。ここで r, s, t は適当な有理数である。
I を標準基底 [a, b + cω] で表したとき、r, s, t を a, b, c から
求めよ。

0189Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/09(土) 23:13:47

問題
２次体 Q(√m) の任意の分数イデアル M は M = [r, s + tω] と
書ける。ここで r, s, t は適当な有理数である。

0190Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/09(土) 23:17:13

問題
２次体 Q(√m) の分数イデアル M を M = [r, s + tω] と
表したとき、N(M) = rt であることを証明せよ。
ここで r, s, t は適当な有理数である。

0191Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/09(土) 23:20:17

問題
２次体 Q(√m) の分数イデアル L, M に対して、
N(LM) = N(L)N(M) となることを証明せよ。

0192Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/09(土) 23:22:02

訂正

>>186
>定義(前スレ２の677)からイデアルは、分数イデアルでもある。

定義(前スレ２の677)から０でないイデアルは、分数イデアルでもある。

0193Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/09(土) 23:44:30

定義
A を Dedekind 整域とする。
A のイデアル類群(>>180) Cl(A) = I(A)/P(A) の各剰余類を A の
イデアル類と呼ぶ。

A が２次体 Q(√m) の整数環のとき、誤解の恐れがない限り
A のイデアル類を Q(√m) のイデアル類と呼ぶ。

0194Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/09(土) 23:51:58

問題(高木の初等整数論)

２次体 Q(√m) の原始イデアル I = [a, b + ω] と J = [k, l + ω] が
同じイデアル類に属すとする。すなわち I = ρJ となる ρ ∈ Q(√m)
があるとする。
このとき θ = (b + ω)/a、ψ = (l + ω)/k とおくと、
θ = (pψ + q)/(rψ + s) となる。
ここで p, q, r, s は有理整数で ps - qr = ±1 である。

0195Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/09(土) 23:58:11

問題(高木の初等整数論)
以下のように >>194 の逆が成り立つ。

２次体 Q(√m) の原始イデアル I = [a, b + ω] と J = [k, l + ω] に
対して、θ = (b + ω)/a、ψ = (l + ω)/k とおく。

θ = (pψ + q)/(rψ + s) となるとする。
ここで p, q, r, s は有理整数で ps - qr = ±1 である。

このとき ρ = rψ' + s とおくと I = ρJ となる。
さらに N(ρ) = ±(a/k) である。

0196Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/10(日) 01:55:54

(a, b)/(c, d) は第一行が a, b で第２行が c, d である
２次の正方行列を表すことにする。

C を複素数体とし、GL_2(C) を C 上の２次の正則行列のなす群とする。
つまり C の元を成分とする行列 (a, b)/(c, d) で
ad - bc ≠ 0 となるもの全体のなす群である。

GL_2(C) は C ∪ {∞} に一次分数変換として作用する。

g = (a, b)/(c, d) で z ∈ C ∪ {∞} のとき
g(z) = (az + b)/(cz + d) である。
ただし、c ≠ 0 のとき
g(∞) = lim [z → ∞] (az + b)/(cz + d) = a/c とする。
c = 0 のとき g(∞) = lim [z → ∞] (az + b)/d = ∞ とする。

SL_2(R) を実数体の元を成分とする行列 (a, b)/(c, d) で
ad - bc = 1 となるもの全体のなす群とする。

同様に SL_2(Z) を有理整数を成分とする行列 (a, b)/(c, d) で
ad - bc = 1 となるもの全体のなす群とする。

0197１３２人目の素数さん

2006/12/10(日) 02:00:58

モジュラー

0198Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/10(日) 02:07:27

問題
SL_2(R) の元 g = (a, b)/(c, d) と z ∈ C に対して
g(z) = (az + b)/(cz + d) とおく。
ただし、cz + d ≠ 0 とする。
このとき Im(g(z)) = Im(z)/|cz + d|^2 である。

0199Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/10(日) 02:40:49

H を複素上半平面とする。
即ち H = {z ∈ C ; Im(z) > 0 } である。

>>198 より SL_2(R) は H に作用する。

問題
g ∈ SL_2(R) で g(z) = z となる z ∈ H が３個以上あれば、
g = ±1 である。

0200Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/10(日) 02:51:55

>>199 より PSL_2(R) = SL_2(R)/{±1} は H に忠実に作用する。
SL_2(Z)/{±1} をモジュラー群と呼ぶ。

0201１３２人目の素数さん

2006/12/10(日) 08:37:25

ｶﾞｲｼｭﾂかも知れんが…

pが奇素数のとき次の不等式を示せ.
　Σ[r=1,p-1] { (r^2)/p - [r^2/p] } = (p-1)/2,　　(p≡1 (mod 4))
　Σ[r=1,p-1] { (r^2)/p - [r^2/p] } < (p-1)/2,　　(p≡3 (mod 4))
　( [x] は Gaussの記号 )

http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=603
出題(不等式)

0202Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/10(日) 12:11:48

問題
SL_2(R) の任意の元の固有方程式は以下の３種類である。

1) (X - 1)^2 = X^2 -2x + 1

2) (X + 1)^2 = X^2 +2x + 1

3) (X - λ)(X - 1/λ) ここで λ ≠ ±1

0203Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/10(日) 12:24:46

問題
>>202 の 3) のタイプの行列 g は、さらに二つのタイプに分けられる。

a) λ は実数

この場合｜Tr(g)| > 2 である。

b) λ は実数でない
この場合 |λ| = 1 であり、｜Tr(g)| < 2 である。

0204Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/10(日) 12:30:47

定義
SL_2(R) の元 g は

|Tr(g)| = 2 のとき放物型という。
|Tr(g)| ＜ 2 のとき楕円型という。
|Tr(g)| ＞ 2 のとき双曲型という。

0205Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/10(日) 12:39:49

ここで、線形代数の復習をしよう。

問題
K を代数的閉体とする。
K の元を成分とする n 次の正方行列 A は三角行列に相似である。
つまり、n 次の正則行列 P があり PAP^(-1) が三角行列になる。

0206１３２人目の素数さん

2006/12/10(日) 12:44:08

>>kummerさん
もしかして保形関数(保形型式)の話しをやるのですか？

0207Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/10(日) 12:47:30

問題
K を代数的閉体とする。
A を K の元を成分とする n 次の正方行列とする。
A の固有多項式を (X - λ_1)... (X - λ_n) とする。
ここで, λ_1, ... λ_n の中に同じものがあってもよい。

f(X) を K の元を係数とする次数１以上の多項式とする。
このとき f(A) の固有多項式は (X - f(λ_1))... (X - f(λ_n))
である。

0208Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/10(日) 12:51:44

>>206

今はしないです。後でするかもしれないですが。
ここではモジュラー群の基本事項をやるだけです。

0209Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/10(日) 13:12:05

問題
K を代数的閉体とする。
A を K の元を成分とする n 次の正方行列とする。
A がべき零、つまり A^m = 0 となる有理整数 m ≧ 1 があるためには
A の固有値がすべて０であることが必要十分である。
さらに、このとき A^n = 0 となる。

0210１３２人目の素数さん

2006/12/10(日) 14:40:15

訂正

>>204
>定義
>SL_2(R) の元 g は
>
>|Tr(g)| = 2 のとき放物型という。
>|Tr(g)| ＜ 2 のとき楕円型という。
>|Tr(g)| ＞ 2 のとき双曲型という。

定義
SL_2(R) の元 g, g ≠ ±1 は

|Tr(g)| = 2 のとき放物型という。
|Tr(g)| ＜ 2 のとき楕円型という。
|Tr(g)| ＞ 2 のとき双曲型という。

0211Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/10(日) 15:37:08

問題
g ≠ ±1 を SL_2(R) の元とする。
g^m = 1 となる有理整数 m ＞ 1 があるためには
g の固有値 λ がすべて λ^m = 1 かつ λ ≠ ±1 を満たすことが
必要十分である。

0212１３２人目の素数さん

2006/12/10(日) 15:40:57

万一、命題の証明や問題が間違っていた場合は、それを指摘することも
演習とするｗ

こちらも間違えることは当然ある。

0213Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/10(日) 18:16:11

問題
>>198 より SL_2(R) は複素上半平面 H に作用するが、この作用は
推移的である。つまり、H の任意の２点 z, w に対して w = g(z)
となる g ∈ SL_2(R) がある。

0214Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/10(日) 18:25:38

問題
SL_2(R) の複素上半平面 H への作用(>>198)において、虚数単位 i の
安定化部分群 { g ∈ SL_2(R) ; g(i) = i } は
特殊回転群 SO(2) = { g ∈ SL_2(R) ; g(g^t) = 1 } である。
ここで g^t は g の転置行列である。

0215Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/10(日) 18:29:31

問題
g ∈ SL_2(R) で g(z) = z となる z ∈ H が１個以上あれば、
g = ±1 かｇは楕円型(>>210)である。

0216Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/10(日) 18:35:55

問題
SL_2(R) の位数有限の元は ±1 か楕円型(>>210)である。

0217Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/10(日) 18:37:30

問題
g を SL_2(Z) の元で楕円型(>>210)とする。
g の特性多項式は

X^2 + 1
X^2 + X + 1
X^2 - X + 1

のどれかである。

0218Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/10(日) 18:40:47

問題
g を SL_2(Z) の元で楕円型(>>210)とする。
g の位数は 3, 4, 6 のどれかである。

0219１３２人目の素数さん

2006/12/10(日) 18:48:51

きゃは！おもしろい。

0220Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/10(日) 19:07:38

定義
２次体 Q(√m) において、αを任意の整数、β を 0 でない任意の整数
とする。
このとき、α = βγ + δ、 |N(δ)| ＜ |N(β)| となる整数 γ、δ が
常に存在するとき Q(√m) は、ノルム Euclid 的であるという。

0221Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/10(日) 19:11:26

問題
２次体 Q(√(-1)) はノルム Euclid 的である。

0222Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/10(日) 19:28:38

>>196 以降は志村の
Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions
を参考にしている。

0223Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/10(日) 19:38:09

定義
複素上半平面 H の点 z に対して g(z) = z となる楕円型(>>210)の元
g ∈ SL_2(Z) が存在するとき、z を楕円点という。

0224Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/10(日) 21:15:43

問題
g を SL_2(Z) の位数４の元とする。

Z[g] は２次の全行列環 M_2(Z) の部分環として
２次体 Q(√(-1)) の整数環 Z[√(-1)] に同型である。

0225Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/10(日) 21:19:09

問題
g を SL_2(Z) の位数４の元とする。
Z[g] の元を Z^2 に左から作用させて Z^2 を Z[g]-加群とみなす。

このとき Z^2 は階数１の Z[g]-自由加群である。

0226Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/10(日) 21:26:08

問題
g を SL_2(Z) の位数４の元とする。

g は (0, -1)/(1, 0) または (0, 1)/(-1, 0) に SL_2(Z) 内で
共役である。

なお、記法 (a, b)/(c, d) については >>196 を参照。

0227Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/10(日) 21:38:31

問題
g を SL_2(Z) の位数３の元とする。

Z[g] は２次の全行列環 M_2(Z) の部分環として
２次体 Q(√(-3)) の整数環 Z[ρ] に同型である。
ここで、ρ = (-1 + √(-3))/2 = exp(2π√(-1)/3) である。

0228Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/10(日) 21:44:33

問題
g を SL_2(Z) の位数３の元とする。
Z[g] の元を Z^2 に左から作用させて Z^2 を Z[g]-加群とみなす。

このとき Z^2 は階数１の Z[g]-自由加群である。

ヒント：
２次体 Q(√(-3)) の整数環 Z[ρ] は前スレ３の233から
ノルム Euclid 的(>>220)である。

0229Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/10(日) 21:46:53

>>225
>>228

Z^2 の元は列ベクトルとみなす。

0230Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/10(日) 21:49:42

問題
g を SL_2(Z) の位数３の元とする。

g は h = (0, -1)/(1, -1) または h^2 = (-1, 1)/(-1, 0) に
SL_2(Z) 内で共役である。

なお、記法 (a, b)/(c, d) については >>196 を参照。

0231Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/10(日) 21:59:55

問題
g を SL_2(Z) の位数６の元とする。

g は -h = (0, 1)/(-1, 1) または -h^2 = (1, -1)/(1, 0) に
SL_2(Z) 内で共役である。

ここで h = (0, -1)/(1, -1) である。

0232１３２人目の素数さん

2006/12/10(日) 22:07:22

>>201

・p≡1 (mod 4) のとき
　x^2 ≡ -1 (mod p) を満たすxがある。（-1 は平方剰余）
　よって、{k,p-k}の対は共に平方剰余または共に非剰余。
　x^2 ≡k, y^2≡p-k (mod p) なる x,y をとると、
　r=x,p-x　⇒　(r^2)/p - [(r^2)/p] = k/p,
　r=y,p-y　⇒　(r^2)/p - [(r^2)/p] = (p-k)/p,
　辺々たせば =1.
　平方剰余は (p-1)/2 個, すなわち (p-1)/4 対あるから、
　これは与式左辺のp-1項を尽くしている。

0233Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/10(日) 22:14:02

定義
複素上半平面 H の楕円点 z の安定化部分群
{ g ∈ SL_2(R) ; g(z) = z } は有限巡回群である(>>218)。
この部分群の標準射 SL_2(Z) → SL_2(Z)/{±1} による像の位数を
この楕円点の位数という。

0234Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/10(日) 22:24:58

問題
複素上半平面 H の楕円点 z の位数(>>233) は２または３である。

位数２の楕円点は √(-1) に SL_2(Z) の元の作用で移る。

位数３の楕円点は (-1 + √(-3))/2 = exp(2π√(-1)/3) に
SL_2(Z) の元の作用で移る。

0235Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/10(日) 22:52:20

定義
複素上半平面 H の部分集合 D が以下の条件を満たすとき SL_2(Z) の
基本領域と呼ぶ。

1) D は H の連結開部分集合である。

2) D の任意の異なる２点は SL_2(Z) の作用で同値ではない。

3) H の任意の点は D の閉包のある点とSL_2(Z) の作用で同値である。

0236Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/10(日) 23:01:33

D = { z ∈ H ; |Re(z)| ＜ 1/2 かつ |z| ＞ 1 } とおく。

D が SL_2(Z) の基本領域であることを示すのが次の目標である。

0237Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/10(日) 23:24:23

SL_2(Z) の元 S, T を

S = (1, 1)/(0, 1)
T = (0, -1)/(1, 0)

で定義する。

S(z) = z + 1
T(z) = -1/z

である。

0238Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/10(日) 23:35:48

問題
S = (1, 1)/(0, 1) と T = (0, -1)/(1, 0) で生成される SL_2(Z) の
部分群を G' とする。

複素上半平面 H の任意の点 z に対して { Im(g(z)) ; g ∈ G' } は
最大値をもつ。

0239Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/10(日) 23:50:28

補題
z を複素上半平面 H の点で |z| ＜ 1 とする。
このとき |T(z)| ＞ 1 である。
ここで、T = (0, -1)/(1, 0) である。

証明
自明である。

0240Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/11(月) 00:03:58

問題
S = (1, 1)/(0, 1) と T = (0, -1)/(1, 0) で生成される SL_2(Z) の
部分群を G' とする。

>>238 より複素上半平面 H の任意の点 z に対してある g ∈ G'
があり Im(g(z)) が最大値となる。

w = S^n(g(z)) とおく。つまり w = g(z) + n である。
|Re(w)| ≦ 1/2 となるように整数 n をとる。
このとき |Im(w)| ≧ 1 である。

つまり、w は
D~ = { z ∈ H ; |Re(z)| ≦ 1/2 かつ |z| ≧ 1 } の点である。

0241Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/11(月) 00:45:26

訂正

>>239 を次の問題に置き換える。

問題
z を複素上半平面 H の点で |z| ＜ 1 とする。
w = -1/z とおく。
このとき Im(w) ＞ Im(z) である。

0242Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/11(月) 07:33:58

>>205, >>207, >>209 は、ここでの話題とあまり関係ないかも
しれない。

他にもそのような問題があるかもしれないので、問題を解くのは
必要性がはっきりした時点にしたほうがよいかも知れない。

もちろん、解くのはなんら問題ない。

0243Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/11(月) 10:25:47

訂正

>>214
>特殊回転群 SO(2) = { g ∈ SL_2(R) ; g(g^t) = 1 } である。

特殊直行群 SO(2) = { g ∈ SL_2(R) ; g(g^t) = 1 } である。

0244Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/11(月) 10:26:43

もといｗ

特殊直交群 SO(2) = { g ∈ SL_2(R) ; g(g^t) = 1 } である。

0245１３２人目の素数さん

2006/12/11(月) 18:51:32

クンマー、ディリクレ

0246Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/11(月) 19:45:09

問題
H を複素上半平面とする。
即ち H = {z ∈ C ; Im(z) > 0 } である。

D = { z ∈ H ; |Re(z)| ＜ 1/2 かつ |z| ＞ 1 } とおく。

z ∈ D なら Im(z) ＞ (√3)/2 である。

0247Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/11(月) 20:16:43

問題
z を |z| ＞ 1 である任意の複素数とする。

|z + 1|^2 ＞ 2(Re(z) + 1) である。

0248Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/11(月) 20:34:48

問題
H を複素上半平面とする。
即ち H = {z ∈ C ; Im(z) > 0 } である。

D = { z ∈ H ; |Re(z)| ＜ 1/2 かつ |z| ＞ 1 } とおく。

z ∈ D なら |z + d| ＞ 1 である。
ここで d は |d| ≧ 1 である任意の実数である。

0249Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/11(月) 21:13:22

補題
H を複素上半平面とする。
即ち H = {z ∈ C ; Im(z) > 0 } である。

D = { z ∈ H ; |Re(z)| ＜ 1/2 かつ |z| ＞ 1 } とおく。

g を SL_2(Z) の元、z を D の点とし w = g(z) とおく。
g = (a, b)/(c, d) とする。
この記法 (a, b)/(c, d) については >>196 を参照。
即ち w = (az + b)/(cz + d) である。

Im(w) ≧ Im(z) なら c = 0 または ±1 である。

証明

>>198 より Im(w) = Im(z)/|cz + d|^2 である。

Im(w) ≧ Im(z) より Im(z)/|cz + d|^2 ≧ Im(z) となる。
よって Im(z) ≧ Im(z)|cz + d|^2 となる。
Im(z) ＞ 0 だから
|cz + d| ≦ 1 となる。

y = Im(z) とおくと、cz + d の虚部は cy である。
よって |cz + d| ≦ 1 より |cy| ≦ 1 となる。
よって |c| ≦ 1/y となる。
一方、>>246 より y ＞ (√3)/2 である。
よって |c| ≦ 2/√3 ＜ 2 である。
よって c = 0 または ±1 である。
証明終

0250Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/11(月) 21:16:16

問題
H を複素上半平面とする。
即ち H = {z ∈ C ; Im(z) > 0 } である。

D = { z ∈ H ; |Re(z)| ＜ 1/2 かつ |z| ＞ 1 } とおく。

D の任意の異なる２点は SL_2(Z) の作用で同値ではない。

0251Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/11(月) 21:22:18

>>240 と >>250 より
D = { z ∈ H ; |Re(z)| ＜ 1/2 かつ |z| ＞ 1 } は
SL_2(Z) の基本領域(>>235)である。

0252Kummer ◆g2BU0D6YN2

2006/12/11(月) 22:29:32

訂正

>>233
>定義
>複素上半平面 H の楕円点 z の安定化部分群
>{ g ∈ SL_2(R) ; g(z) = z } は有限巡回群である(>>218)。
>この部分群の標準射 SL_2(Z) → SL_2(Z)/{±1} による像の位数を
>この楕円点の位数という。

定義
複素上半平面 H の楕円点 z の安定化部分群
{ g ∈ SL_2(Z) ; g(z) = z } は有限巡回群である(>>218)。
この部分群の標準射 SL_2(Z) → SL_2(Z)/{±1} による像の位数を
この楕円点の位数という。

■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています

代数的整数論 004

代数的整数論　004