巨大数探索スレッド7
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0001１３２人目の素数さん
2006/11/19(日) 23:44:01http://www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/
前スレ、過去スレ、避難所はこのページからどうぞ。
「前の数＋1」
「1/x x→0」
「∞」
「９を延々と書き続けるプログラム」
「本日からこのスレでは、いっさいの数学的ではない話を禁止する。
私以外で検証する能力を持っている人間はいないようなので、
数学的に明確に証明できた場合以外は反論しないように。
特に今日のような低俗な煽りには徹底して放置で対応すること。」
という類の投稿は放置推奨。
0693１３２人目の素数さん
2007/10/22(月) 18:34:166-291, 6-655 に正確な定義を書いておいてある。
0694１３２人目の素数さん
2007/10/22(月) 18:42:39> より大きな可算順序数を表記するにはより大きな基数を用いる必要があるみたい
必ずしもそういうわけではなくて、最初に大きな可算順序数の表記を作った人は
基数はどこにも用いていない。大きな可算順序数を作るには、大きな基数がある
と仮定すればわかりやすくなるというのは事実だけど。
0695１３２人目の素数さん
2007/10/22(月) 18:42:57＞φ[1](0)=φ[φ[0](0)](0)＝ε_0 を、"φなしではたどり着けない順序数"
＞φ[ε_0](0)=φ[φ[φ[0](0)](0)](0) を、"φ[]の[]内にφが１つしかない順序数ではたどり着けない順序数"
＞φ[φ[φ[φ[0](0)](0)](0)](0)を、"φ[]の[]内にφが高々２回入れ子になってる順序数ではたどり着けない順序数"
こんな説明では不十分だし、いまさらこんな不正確に定義しなおす必要は無い。
>>671の見解は正しい。CNFは0と＋とφ_0（0番目のVeblen関数）で有限に記述したもの、ということになる。
>>693の通り、定義＝6-292、基本列＝6-655で十分。
0696１３２人目の素数さん
2007/10/22(月) 18:43:53いったい誰のこと？
0697たろう
2007/10/22(月) 19:45:52A 具体的なアルゴリズムがわかるもの
Hardy Function + 多変数C1
B アルゴリズムを事実上調べる術は無いが計算可能なもの、概念のみ （あんまり意味ない）
>>430
C 厳密に定義可能なもの
>>538 の B[a](n) + 多変数C1
D 概念のみ
Hardy Function + >>575
こんな感じでしょうか。
0698１３２人目の素数さん
2007/10/22(月) 21:26:21681は定義だとは書いてないけど。
＞こんな説明では不十分だし、
というか、こんな説明は6-655に書いてある、
っていえばいいんじゃない？
実際こう書いてあるし。
＞Γ_0 への収束列は
＞Γ_0[0]=φ_0(0), Γ_0[k+1]=φ_{Γ_0[k]}(0)
＞で定められる。
計算すれば、>>681で書いてあることと同じになるよね。
0699１３２人目の素数さん
2007/10/22(月) 21:49:07順々に見ていこうかな
＞A 具体的なアルゴリズムがわかるもの
＞ Hardy Function + 多変数C1
これはどうかな？
H[ord] ord < ε_0に関しては、ふぃっしゅ関数ver5と同等。
H[ord] ε_0 =< ord < Γ_0に関しては、やればできそう。
H[ord] Γ_0 =< ord < ω1_CKに関しては、どうやればいいかようわからん。
H[ord] ω1_CK =< ord に関しては、正直無理な気がする。
順序数の定義ができればいいというわけではなく、
計算にあたってより小さな順序数に還元する
手順が示されなくてはならないと思うんだが。
0700１３２人目の素数さん
2007/10/22(月) 21:56:51>計算可能なもの、概念のみ （あんまり意味ない）
> >>430
ごめん、これ何いいたいのかぜんぜん分からないや。
>C 厳密に定義可能なもの
> >>538 の B[a](n) + 多変数C1
単に集合論の意味での関数を言ってるのなら、
もうそれこそ際限なく大きな関数があると思う。
BBはむしろ計算不可能な関数の一種の下限と
考えられていることに意味があると思う。
0701たろう
2007/10/22(月) 22:01:37書き方がまずかったかな。
多変数C1 は帰納的でない順序数も生成しますが、
C1(C1で生成した大きな順序数, 0) とすることで、
大きな帰納的順序数が作れます。
この大きな順序数とHardy Functionを組み合わせて作ります。
具体的には、
H[ C1(C1(1, 0がn個),0) ](n)
こんな関数。
具体的な収束列は、>>571 の多変数C1 のところに定義してあります。
0702１３２人目の素数さん
2007/10/22(月) 22:09:21> Hardy Function + >>575
これ、Cとの区別の仕方がようわからん。
思うんだけど、ここでいきなりω1_CKの先とか
そんなすごいことやんなくていいんだよ。
そうじゃなくて例えばΓ_0レベルでも、
ε_0レベルでふぃっしゅ氏がやったような
形まできっちり仕掛けが説明できれば、
そのほうが成果としては分かりやすいんだけどね。
0703たろう
2007/10/22(月) 22:14:08B
>>430 を見ていただければわかると思いますが、
部門としてはあんまり意味が無いので、
見なかったことにしてください。
C
> 単に集合論の意味での関数を言ってるのなら、
> もうそれこそ際限なく大きな関数があると思う。
もちろんずっと大きな関数はあると思いますが、
このスレではこの程度しか厳密に定義されているものはありません。
もしずっと大きな関数をご存知でしたら教えていただけませんか。
0704たろう
2007/10/22(月) 22:29:26C と D の違いは、
C:関数や数値として定義がされているもの
D:定義はされていないが、考え方が記されているもの
「きっちり仕掛けが説明できれば」というのは良くわかりません。
きっちり定義できればという意味なら、
部門が D ですので、厳密な定義はありません。
H[Γ_0](n) なら既に定義がいくつかあがっていて、
プログラムにもなっています。
その大きさが一般人でも理解できるような説明は私には出来ません。
枝分かれ部分が veblen と + との区別がある多進木で
図に書くことは出来るでしょうが。
0705１３２人目の素数さん
2007/10/22(月) 22:29:57＞書き方がまずかったかな。
あれは順序数の作り方であって、
Hardy関数の計算の仕方ではないよなぁ。
0706１３２人目の素数さん
2007/10/22(月) 22:36:07＞プログラムにもなっています。
いいんじゃない。それを書けば。
＞その大きさが一般人でも理解できるような説明は私には出来ません。
そんな説明は要らないよ。だってH[ε_0]のときだって誰もしてないよ。
＞枝分かれ部分が veblen と + との区別がある多進木で
＞図に書くことは出来るでしょうが。
肝心なのは順序数を図に描くことだけではなくて
計算の手順を、図的操作として示すことだな。
ヒドラ・ゲームというのはそういうことだよね。
結局H[ε_0]も、ふぃっしゅ関数Ver5もそれで
実は同じものなんだと理解されたわけだし。
0707１３２人目の素数さん
2007/10/22(月) 22:41:29計算を図的操作で書けるというんなら、それを示せば
いいんじゃない？
順序数とかいったって、結局のところ元を自然数に写像して
しかるべき順序関係をつけたものに対して操作とかなんとか
いってるわけだから。
0708たろう
2007/10/22(月) 22:47:56順序数の定義、それを構成する極限順序数の収束列
があれば、
Hardy関数にその順序数を入れた時の定義は十分と思います。
定義から計算の仕方はわかると思いますが、
定義が不明ですか？
それとも、定義はわかるが計算の仕方がわからない？
ヒドラゲームと似た考え方の、H[ψ(Ω^ω)](n) 相当の関数なら、
>>342 にあります。
多変数 C0 による多進木で順序数に対応する文字列を作っています。
0709たろう
2007/10/22(月) 22:55:34>>571 のテキストの最後を見てください。
最適化しているので非常に見にくいとは思いますが。
0710１３２人目の素数さん
2007/10/22(月) 23:51:06計算の仕方を理解できてないだけ。責任転換するな。
>>692
いや、基本列が定まれば計算できる。Hαが計算できないとしたら
それは基本列が定まっていないというだけ。
0711ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
2007/10/23(火) 01:36:00勉強会に向けて、今週中にPDF更新をアップしたいと思います。
しばらくは、あまり先の段階へ進めそうにないので、少しだけ
F6に向けて考えていることを書き留めておきます。
F6の第1段階は、たぶんこうなります。ただ、例によって
その評価がまだ出来ていません。
F5におけるm(n)の定義を拡張して、Mn変換m_1(n)を
m_1(n) f_{n-1}...f_1 f_0 := m(x) m(x-1)...m(n)f_{n-1}...f_1 f_0
ただし x = max(f_0,n)
と定義することをF6の手始めと考えます。
この時のm_1(n)の強さをどうやって評価するか。おそらく、
m_1(1)=F5(x): H[ε_0]
m_1(2): H[+ε_0] (Hardy の op に+ε_0する)
m_1(3): f_2がH[+α]の時にH[+ε_0*α]を生成
といった感じになると考えています。
m_1(4)以降の解釈が難しい。
H[α]からH[ω^α]への変換を与えるM2を定義できれば
H[ε_ω]までは一気にいけるのですが…。
0712１３２人目の素数さん
2007/10/23(火) 01:38:08αまでの基本列のシステムが recursive でなければ Hα が recursive とは限らない
と言っているのだと思うよ。
0713ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
2007/10/23(火) 01:42:51m_1(1)=F5(x): F[ε_0]
m_1(2): F[+ε_0] (Hardy の op に+ε_0する)
m_1(3): f_2がF[+α]の時にF[+ε_0*α]を生成
Hの場合は…
m_1(1)=F5(x): H[ε_0]
m_1(2): H[×ε_0] (Hardy の op に×ε_0する)
m_1(3): f_2がH[×α]の時にH[×ε_0^α]を生成
といった感じかな？
0714ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
2007/10/23(火) 01:50:19いやまて…もしそれが本当なら、m_1(3)^xでε_1が生成できて
しまうわけだけど、たぶんそんなことはないです。
ゆっくり考えてみます。
0715ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
2007/10/23(火) 02:10:17>>387-388を元に計算すると、こうなります。
f2 ===> +α
f2 f2 ===> +α*2
f2^a ===> +α*a
m3 f2 ===> +α*ω
m3 f2 m3 f2 ===> +α*ω*2
m3 f2 m3 f2 m3 f2 ===> +α*ω*3
(m3 f2)^a ===> α*ω*a
m3 m3 f2 ===> α*ω^2
m3 m3 m3 f2 ===> α*ω^3
m3^a f2 ===> α*ω^a
m4 m3 f2 ===> α*ω^ω
m3 m4 m3 f2 ===> α*ω^ω*ω
...
m4 m4 m3 f2 ===> α*ω^ω^2
m5 m4 m3 f2 ===> α*ω^ω^ω
...
m_1 3 f2 ===> +α*ε_0
0716ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
2007/10/23(火) 02:21:18f_2がF[+α]の時にF[+α*ε_0]を生成
となります。なので、m_1(3)を繰り返しても
ε_1には到達しません。
+1 → +ε_0 → +ε_0^2 → … +ε_0^ω
程度です。
Hのopで言えば、
f_2がH[*α]の時にH[*α^ε_0]を生成
となると考えると、
*ω → *ε_0 → *ε_0^ε_0 → … *ε_0^ε_0^ω
といった感じでしょうか。
とりあえずここまで。
0717１３２人目の素数さん
2007/10/23(火) 08:10:57＞定義から計算の仕方はわかると思いますが
わからないのでやってみせてください。
＞定義が不明ですか？
残念ですが理解できませんでした。
＞それとも、定義はわかるが計算の仕方がわからない？
残念ですがこちらも理解できませんでした。
申し訳ありませんが、実際にΓ_0でやってみせていただけませんか？
342は見ましたがふぃっしゅ氏の計算で、
ω^2でも>>346であきらめちゃってます。
でも、その後、まったくフォローされてないようですが。
0718１３２人目の素数さん
2007/10/23(火) 08:14:54＞αまでの基本列のシステムが recursive でなければ
＞Hα が recursive とは限らない
そういうことです。
その場合、ω1_CKが限界点になるのだとは思いますが。
0719１３２人目の素数さん
2007/10/23(火) 10:10:11今計算しなおそうとしてその前に記法の確認したら
基本的なところでよう分からん。
>>348
＞"0" => 0
＞"(0)" => 1
＞"((0))" => 2
＞"(((0)))" => 3
＞"((0)0)" => C0(1,0) => ω
＞"(((0))0)" => C0(2,0) => ω^2
でω+1とか２ωとかはどうなるん？
ω+1=(((0)0))
だと思うが、２ωが分からんなあ。
0720１３２人目の素数さん
2007/10/23(火) 10:36:39仕方ないからSeqの計算みてやってるけど
２ω＝((0)(0)0)？
ホンマか？
つーか、Seq(((0)0),i)=(i)になるか
確認しようとおもたらでけへんやん･･･ＯＴＬ
0721１３２人目の素数さん
2007/10/23(火) 11:02:15＞ >>338 のプログラムでは、F[ε_0](n)を超える
＞ F[φ_ω(0)](n)やF[ψ(Ω^(Ω+ω))](n)が
＞ いとも簡単にコーディングされていますが、
＞ このプログラムを理解できる人はいますか？
でけへんかった。なんか基本的に抜けが多いと思う。
>>347のアイデアは、要するに順序数の記法の取り扱いってことだよな。
それはええと思うんよ。でも、そのことと、たろう氏がそれを
実現できてるということとは全然別の話。
>>373
＞ >>338のプログラムを見ると、本当にこんなに短いプログラムで
＞ F[ψ(Ω^(Ω+ω))](n) を生成できるのかと、驚くばかりですが。
それはふぃっしゅ関数Ver5かて同しやと思うけどな。
まあ、ふぃっしゅ関数Ver5については、ようわかってきてるから
疑わんけど、たろう氏のプログラムが、ふぃっしゅ関数Ver5のレベル
ですら、ちゃんと実現でけてるのかは、今の時点では大いに疑わしいで。
0722１３２人目の素数さん
2007/10/23(火) 11:32:09＞http://web.mit.edu/dmytro/www/other/OrdinalNotation.htm
＞順序数の生成にはこれを参考にしたC0を使っています。
ところで、これを書いた人について調べてみましたか？
ドミトロ・タラノフスキ(Dmytro Taranovski)は、
1983年、ウクライナのキエフ生まれ。
2005年に、MITで、数学の学士の学位を取得
だそうです。要するに元学生ってことです。
この人は結構な勉強家で他にも数学やら物理やら
に関して膨大なドキュメントをみつけました。
ただし学生の書いてることですから、どの程度
正確なのかわかりませんが・・・
0723１３２人目の素数さん
2007/10/23(火) 12:30:57>φ[ε_0](0)を、limφ[ω＾(･･･(ω＾ω)･･･)](0)としていいのなら、
>これでうまく分解できそうな気がするが
参考まで
ε_0
=φ[φ[0](0)](0)
=φ[1](0)
=0,φ[0](0),φ[0](φ[0](0)),φ[0](φ[0](φ[0](0))),･･･
=0,1(=ω^0),ω，ω＾ω，・・・
0724１３２人目の素数さん
2007/10/23(火) 13:13:06H[φ[φ[φ[0](0)](0)](0)](2)
=H[φ[ω](0)](2)
=H[φ[2](0)](2)
=H[φ[1]\2 (0)](2)
=H[φ[1] φ[0]\2 (0)](2)
=H[φ[1] φ[0](1)](2)
=H[φ[1](ω)](2)
=H[φ[1](2)](2)
=H[φ[0](φ[1](1)+1)](2)
=H[φ[0](φ[0](φ[1](0)+1)+1)](2)
=H[φ[0](φ[0](ω+1)+1)](2)
=H[φ[0](ω(ω+1)+1)](2)
=H[ω^(ω^(ω+1)+1)](2)
0725１３２人目の素数さん
2007/10/23(火) 13:20:26順序数をCNFに還元する計算ができればいいのか。
ということで、セカンドステージは、自然数から
"ふぃっしゅ関数Ver5のm1，m2，･･･による木の形をした関数"
への写像をつくればいいわけだ。
0726たろう
2007/10/23(火) 21:40:04H[Γ_0] や H[ψ(Γ_(Ω+1))], H[ψ(Ψ)] の具体的な展開は
>>205 氏の Ruby のプログラムを使えばわかります。
>>719
順序数の和や積は可換でないので注意。
ω･2 = C0(1, ω) = C0(C0(0), C0(C0(0),0)) = "((0) ((0) 0))"
Seq(ω, 0) = Seq( C0(C0(0),0) ,0 ) = Seq( "((0) 0)" ,0 ) = "(0)" = 1
Seq(ω, i+1) = Seq( C0(C0(0),0) ,i+1 ) = Seq( "((0) 0)" ,i+1 ) = "(0" + Seq( "((0) 0)" ,i ) + ")" = Seq( ω ,i ) + 1
つまり、Seq(ω, i) = i+1
....【 （s = "(" + Ｘ + B + □ + a + ")" の形の時の式に対し、Ｘ = "", B = "(0)", a = "0" を代入 】
>>721
H[C0(1,0,0,0,0,0,0,0,0)](9) を実装しただけです。
ここまで小さくするのは非常に大変でしたが。
微妙に収束列やHardyFunctionの定義を変えてあります。
ordinal 構造体は９個のordinal 構造体へのポインタを持つので、
９進木ということになります。
ヌルポで順序数の0をあらわします。
HardyFunction は、再帰ではなくループで表現しています。
0727ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
2007/10/23(火) 22:01:14[1] ふぃっしゅ数バージョン5と同様にMn 変換 (n=0,1,2,...)を定める。
[2] Mn変換 mn(a,b) (n≧1, a,b≧0) を以下のように定める。
mn(0,0) := ふぃっしゅ数バージョン5の定義における m(n)
mn(a,b+1) f_{n-1}...f_1 f_0 := mx(a,b) m{x-1}(a,b)...mn(a,b) f_{n-1}...f_1 f_0
mn(a+1,0) f_{n-1}...f_1 f_0 := mn(a, m_1(a,f_0) f_0)^{f_0} f_{n-1}...f_1 f_0
ただし x = max(f_0,n), f_n は Mnの元とし、
厳密な定義の構造はふぃっしゅ数バージョン5と同様にする。
[3] 暫定版ふぃっしゅ関数を以下のように定める。
F6(x) = m2(m1(x,0) x, 0)^x f (x); f(x)=x+1
[4] 暫定版ふぃっしゅ数 F6 := F6^63(3) とする。
==========================================
m1(0,a+1) ≒ H[ε_a] まではたぶん大丈夫ですが、狙いのH[Γ_0] が実現して
いるかどうかは、かなりあやしいです。暫定版なので、狙いが実現していな
ければ取り下げます。実現が確認できたところで確定版を作ります。
0728ルート41
2007/10/23(火) 23:54:16Ｆ「εー0］（ｎ）まで変換してみたんですが、
ａ○↑ｂ＝Ｆ［ω＾ω］（ｎ）
ａ○→↑ｂ＝Ｆ［ω＾ω*ω］（ｎ）
ａ○↓→↑ｂ＝Ｆ［ω＾ω＾2］（ｎ）
ａ○←↓→↑ｂ＝Ｆ［ω＾ω＾3］（ｎ）
ａ○○↑ｂ＝Ｆ［ω＾ω＾ω］（ｎ）
ａ○○○↑ｂ＝Ｆ［ω＾ω＾ω＾ω］（ｎ）
ａ◎↑ｂ＝Ｆ［εー0］（ｎ）
と予想に反して ａ◎↑ｂでＦ［εー0］（ｎ）に到達してしまいました。
このまま ａ△↑ｂ ａ□↑ｂ 更にａ☆↑ｂをハーディ関数に変換して
いくと、蒼穹表記 ａ・～・ｂ では物凄いことになりそうなんですが。
やはり、どこか計算間違いをしてるんですかね？
Ｆ［εー0］（ｎ）の後はまだ勉強不足で理解してないんですが。
0729１３２人目の素数さん
2007/10/23(火) 23:59:24一部定義をまとめました。
Ω_1 : 関数F[ ]とωのみで表せないときに使う順序数
Ω_n+1 : 関数F[ ]とω, Ω_1, ～ Ω_nで表せないときに使う順序数
として、
各順序数を使用した式は以下のように定義されます。
F[Ω_1](ω) = lim( F[φ_n](ω) ) (φ_(n+1) = F[φ_n](ω), φ_1 = ω)
F[Ω_(m+1)](ω) = lim( F[φ_n](ω) ) (φ_(n+1) = F[φ_n](Ω_m), φ_1 = Ω_m)
F[Ω_ω](ω) = lim( F[φ_n](ω) ) (φ_(n+1) = F[φ_n](Ω_x), φ_1 = Ω_x)
また、Ωの添え字を(1,0)以上とリスト形式に拡張させて
Ω(1, 0) = lim Ω_(φ_n) (φ_(n+1) = Ω_(φ_n), φ_1 = ω)
Ω_(Ω(1, 0) + 1) = lim Ω_(φ_n) (φ_(n+1) = F[Ω_(φ_n)](ω), φ_1 = F[Ω(1, 0)](ω) + 1)
Ω(1, n+1) = lim Ω_(φ_k) (φ_(k+1) = Ω_(φ_k), φ_1 = Ω(1, n) + 1)
Ω(m+1, n+1) = lim Ω(m, φ_k) (φ_(k+1) = Ω(m, φ_k), φ_1 = Ω(m, n) + 1)
と定義します。
さらに、リスト要素ω番目以降として、a番目要素の値が0の0_aは省略可能とし、
Ω(1_ω, 0_1) = Ω(1_x)
Ω(1_ω, a+1_1) = lim Ω(1_x, φ_k) (φ_(k+1) = Ω(1_x, φ_k), φ_1 = Ω(1_ω, a_1) + 1)
とします。
0730１３２人目の素数さん
2007/10/24(水) 00:02:31I[0](β)=β
I[α+1](β)=I[α](β+1)
I[λ](β)=I[λ_β](β) （λがlim(α→Ω) λ_αの極限順序数のとき）
Howard ordinal≒I[ε_(Ω+1)](ω)
0731１３２人目の素数さん
2007/10/24(水) 00:05:58たぶん正しく計算してないと思われ。
もう一度慎重に計算してみましょう。
あとε_0の_（アンダーバー）はシフトキーを押しながら
ひらがなの「ろ」で変換できるよ。
0732たろう
2007/10/24(水) 00:14:35たろうの予想は、
m1(b,a) ≒F[ε_(ω･b + a) + 1] ...ただし、b > 0
[2] の３行目は
mn(a+1,0) f_{n-1}...f_1 f_0 := mn(a, f_0) f_{n-1}...f_1 f_0
で十分な気がする。
07335-682
2007/10/24(水) 00:30:32以降、
Ω(1_ω, a+1_1) = lim Ω((φ_k)_x) (φ_(k+1) = Ω((φ_k)_x), φ_1 = Ω(1_ω, a_1) + 1)
Ω(n+1_ω, 0_1) = lim Ω(n_ω, (φ_k)_x) (φ_(k+1) = Ω(n_ω, (φ_k)_x), φ_1 = Ω(ω_ω, 0_1) + 1)
Ω(1_(Ω_1), 0_1) = lim Ω(1_(φ_k), 0_1) (φ_(k+1) = F[Ω(1_(φ_k), 0_1)](ω), φ_1 = ω + 1)
Ω(n+1_(Ω_1), 0_1) = lim Ω(n_(Ω_1), 1_(φ_k)) (φ_(k+1) = F[Ω(ｎ_(Ω_1), 1_(φ_k))](ω), φ_1 = ω + 1)
のような形で進んでいきます。
0734１３２人目の素数さん
2007/10/24(水) 00:43:02F[α](ω) の定義は？
0735１３２人目の素数さん
2007/10/24(水) 00:47:40有流才蔵うざい
0736ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
2007/10/24(水) 01:08:00早いですね。では、早いですが>>727のふぃっしゅ数
バージョン6は取り下げます。
m1(0,a+1) ≒ H[ε_a]からH[η_0]を生成するために、
2変数目に関数をぶちこんで収束列を作ればいいかと
安易に考えましたが、f_0が連動してしまうので結局
定数でした。
やはり、通常の拡張方法をしている限りは、多変数化で
H[ε_{ω^ω}]、多重リストでH[ε_ε_0]が限界ですね。
>>418-419ではε_1の手前でうろついていたので、
それに比べれば大進歩です。
バージョン6は切りよくη_0かΓ_0にしたいので、
新しい着想が出るまでこのままもう少しあたためます。
0737ルート41
2007/10/24(水) 01:15:12いろいろとアドバイスをありがとう。
ａ○↑ｂはｎ重帰納関数なので
ａ○↑↑ｂ＝ａ○↑（ａ○↑↑（ｂ-1））＝Ｆ［ω＾ω＊ω］（ｎ）
としたのがそもそも間違いだったのかな？
0739１３２人目の素数さん
2007/10/24(水) 01:21:46質問があります。
収束列についてなんですが、たとえば
ψ_1(Ω)
だったら、まずΩに注目しますよね。Ω＝ψ_1(0)なのでψ_[δ+1](0)の形になっています
ので次は、これをxに置き換えた関数をf(x)とする
f(x)＝ψ_1(x)
つづいてδ=0なので、
α'_0=0, α'_(n+1)=ψ_0(ψ_1(α'_n))
つまり、
α'_0=0
α'_1=ψ_0(ψ_1(0))=ψ_0(Ω)
α'_2=ψ_0(ψ_1(ψ_0(Ω)))
……
です。
0740１３２人目の素数さん
2007/10/24(水) 01:23:49そして最終的に収束列は、β=1なので
α_0=0, α_(n+1)=ψ_1(ψ_1(α'_n))
つまり、
α_0=0
α_1=ψ_1(ψ_1(α'_0))=ψ_1(ψ_1(0))
α_2=ψ_1(ψ_1(α'_1))=ψ_1(ψ_1(ψ_0(Ω)))
……
です。ここでα_1なんですが、ψ_1(ψ_1(0))=ψ_1(Ω)なのでこれは調べていた順序数
そのものになっています。
α_2はψ_1(ψ_1(ψ_0(Ω)))=ψ_1(ψ_1(ψ_0(Ω)))ですが
ψ_1(ψ_0(Ω))＞ψ_1(0)＝Ωなのでもとの順序数より大きくなってしまいます。
定義どおりにしたつもりですがどこが間違っていますか？
0741１３２人目の素数さん
2007/10/24(水) 06:42:54はずれ
0742１３２人目の素数さん
2007/10/24(水) 06:56:43＞H[Γ_0] や H[ψ(Γ_(Ω+1))], H[ψ(Ψ)] の具体的な展開は
＞>>205 氏の Ruby のプログラムを使えばわかります。
消えたドキュメント参照してどうするｗ
0743１３２人目の素数さん
2007/10/24(水) 07:11:140744たろう
2007/10/24(水) 08:13:01もう消えてましたか。
展開の様子が順に表示されるすばらしいプログラムだったのですが。
>>272 では展開の様子を見ることは出来ません。
保存はしてありますが、勝手にアップしてはまずいでしょう。
>>205 氏が再び現れるのを待ちますか。
0745釣り人
2007/10/24(水) 09:00:30こちらに謎の巨大魚が現れたとか。
ちょっと見せてもらってもいいですか？
F5(n)=m_n m_{n-1} ･･･ m_1(n)
これですか･･･
･･･でも、なんかちっちゃくないですか？
なんつうか、イワシ程度というか･･･
あっ、御気に障ったらごめんなさい。
0746釣り人
2007/10/24(水) 09:05:46まあ、これじゃ面白くないので、イワシをエサにしてマグロでも釣りますか。
まずは、ちょっと改造をば
F5改(l,n)=m_l m_{l-1} ･･･ m_1(n)
とりあえず、入力と本体の関数部の長さを分けてみました。
F5(n)=F5改(n,n)ってことです。
まあ、F5改の最初の引数のところに
何か増加する関数を入れれば
元のF5より大きくなるわけですが･･･
0747釣り人
2007/10/24(水) 09:12:20要はF5改の増加部に、F5改自身を入れてもいいかな、と。
F5改(F5改(n,n),n)
まあ、これがいいなら、こいつをさらにいれちゃってもいいかな、と
F5改(F5改(F5改(n,n),n),n)
つうことで、ここでマグロ君ことフィッシャーマン関数登場！
FM(n)=F5改(･･･(n回)･･･F5改(F5改(n,n),n))･･･,n)
で、これどのくらいの大きさだと思うかって？
そうだなあ・・・私、大口叩く趣味ないんですが・・・Γ_0行ったかな？
ま、万が一、大したこと無くても、"釣り"ってことで。
0748釣り人
2007/10/24(水) 09:19:34ま、あとは釣り糸を垂れて気長に待つとしますか。
なんか、ここではHardyだVeblenだと騒がしいようですが
私、そういうムズカシイことはようわかりませんので
聞けばここのヌシの巨大魚さんもゼロからお育ちになられたとか。
その強靭なる生命力、あやかりたいものでございます。
0749１３２人目の素数さん
2007/10/24(水) 09:30:12また来たか。
F5改(F5改(n,n),n) < F5改(F5改(n,n),F5改(n,n)) < F5^2(n)
FM(n) < F5^n(n)
なので、ε_0程度。
0750１３２人目の素数さん
2007/10/24(水) 09:30:490751１３２人目の素数さん
2007/10/24(水) 09:42:392重帰納の意味あたりを、もう一度よく考えて理解する方がいいと
思うんだな。
0752釣り人
2007/10/24(水) 09:57:54はっはっはっは。+1ですか。これはキビシイｗ
>>751
こんなこというのもなんですが、
ワタシ、昨日のこともよく覚えてないんですよ。
だからまあ無理だと思いますねｗ。
0753１３２人目の素数さん
2007/10/24(水) 10:55:10生まれ変われるかのように錯覚するのよくない
0754釣り人２人目
2007/10/24(水) 11:56:30まあ、ちょっと虫が良すぎますよね。
私は、手堅く行こうかと思います。
まずはこんな関数から。
Phi[mt1](mt2){n}
基本的にVeblen関数φ[α](β)なんですけど
自然数の引数nを追加してみました。
mt1,mt2はm1，･･･，mnからなるツリーで、
出力も同じツリーで返します。
動作ですが
Phi[mt1](()){n}は、mt1を分岐ｎのヒドラゲームで分解して
m1が頭になる枝が現れるところまでやります。
で、m1が頭の枝が出たら
Phi[(mt* m1)](()){n}=Phi[mt*]（Phi[mt*](･･･Phi[mt*](()){n}･･･){n}){n}
と、Phiをn回反復させます。
で、一番中のPhiを評価して[]の中身が()になったら
Phi[()](){n}=(m1)
とすると。
（続く）
0755釣り人２人目
2007/10/24(水) 12:11:18Phi[mt1](mt2){n}は、mt2をやっぱり分岐ｎのヒドラゲームで分解して
m1が頭になる枝が現れるところまでやります。
で、m1が頭の枝が出たら
Phi[(mt1* m1')]((mt2* m1'')){n}=
Phi[mt1*]（Phi[mt1*](･･･(Phi[mt1*](mt2) mt1){n}･･･){n}){n}
とやっぱりPhiをn回反復させます。
あとmt1が極限順序数なら、mt1をヒドラゲームで分解するとともに
()内の(mt2* m1)をPhi[mt1](mt2){n}に置き換えます。
で、一番中のPhiを評価して[]の中身が()になったら
Phi[()](mt2){n}は、mt2をそっくり１段繰り上げて下にm1を入れると。
まあ、こんな感じでいかがでしょうか。
0756釣り人２人目
2007/10/24(水) 12:18:01FM2(n)＝(Phi[Phi[･･･(n回)･･･Phi[()](()){n}･･･](()){n}](()){n})(n)
0757釣り人２人目
2007/10/24(水) 12:25:01Phiは多分順序数ε0についての原始帰納的関数なのかと。
0758205
2007/10/24(水) 17:49:32ttp://www.uploda.net/cgi/uploader4/index.php?file_id=0000021312.lzh
再アップロードしました。中身は>>205と同じものです。
このプログラムについて著作権を主張するつもりはないので、
転載や改良は自由に行っていただいて構いません。
このプログラムで計算できるのは、>>110のFの方なので注意してください。
>>739
>>203の定義に沿って見ていくと、ψ_1(Ω)は
α=ψ_β(γ)(γは収束列の定義されていない非可算順序数)
でβ=1, γ=Ω=ψ_1(0)としたものになります。
ψ_[δ+1](0)をxに置き換えた後に関数を作るときは、
元々γだった部分をf(x)とするので、この場合はf(x)=xとなります。
そうすると、
α_0=0
α_1=ψ_1(0)
α_2=ψ_1(ψ_0(0))
α_3=ψ_1(ψ_0(ψ_0(0)))
…のようになります。
0759１３２人目の素数さん
2007/10/24(水) 19:42:21Ver1の最終的な定義はどれですか？
L[α](x) のxは自然数？自然数∪{ω}？順序数？
ナゴヤ関数で作った極限順序数のfundamental sequenceは定義されていますか？
L[10](ω), L[10](ω+1), L[ω](ω)
のfundamental sequenceはそれぞれどのように定義されていますか？
0760１３２人目の素数さん
2007/10/24(水) 21:10:14> >>203の定義に沿って見ていくと
誰が定義したの？205自身？
0761１３２人目の素数さん
2007/10/24(水) 21:17:200762１３２人目の素数さん
2007/10/24(水) 21:37:16またはずれ
0763たろう
2007/10/24(水) 22:35:249○↑n ≒ F[ω^ω](n)
9◎↑n ≒ F[ω^(ω+1)](n)
9[３重○]↑n ≒ F[ω^(ω+2)](n)
9△↑n ≒ F[ω^(ω･2)](n)
9□↑n ≒ F[ω^(ω･3)](n)
9☆↑n ≒ F[ω^ω^2](n)
9[六方星]↑n ≒ F[ω^(ω^2+1)](n)
9～・↑n ≒ F[ω^ω^ω](n)
9～・・↑n ≒ F[ω^ω^ω^ω](n)
9・～・n ≒ F[ε_0](n)
強引に解読するとこんな感じかな。
0764１３２人目の素数さん
2007/10/24(水) 22:48:49別人だと言い張るのは松本君の病気
0765たろう
2007/10/24(水) 22:49:189○↑n ≒ F[ω^ω](n)
9○→↑n ≒ F[ω^ω+ω](n)
9○↓→↑n ≒ F[ω^ω+ω^2](n)
9○○↑n ≒ F[ω^ω･2](n)
9○○○↑n ≒ F[ω^ω･3](n)
9◎↑n ≒ F[ω^(ω+1)](n)
9[３重○]↑n ≒ F[ω^(ω+2)](n)
9△↑n ≒ F[ω^(ω･2)](n)
9□↑n ≒ F[ω^(ω･2+1)](n)
9☆↑n ≒ F[ω^(ω･3)](n)
9[六方星]↑n ≒ F[ω^(ω･3+1)](n)
9～・↑n ≒ F[ω^ω^2](n)
9～・・↑n 以降はよくわからん。
07665-682
2007/10/24(水) 23:57:12Ver1の最終的な関数の定義はF[ω_x, ・・・ , 0_2, 0_1](x)です。
L[α](x)のxは普通の自然数です。
質問での各定義については
L[10](ω) = L[9](φ_ω) (φ_n+1 = L[9](φ_n), φ_1 = ω)
L[10](ω+1) = L[9](L[10](ω))
L[L[ω](ω)](x) = L[L[x](ω)](x)
となります。
0767ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
2007/10/25(木) 02:10:06>>727の取り下げられたF6の定義で、
H[ε_a] ができましたが、ここから先に進む為には、
H[ε_a]→H[ε_{a+1}]の演算を定義する必要があります。
ところが、m1(0,a)→m1(0,a+1)の変換はm1(0,a)単体
ではできません。
そこで、集合M[m,n]を考えます。
M[0,n]はF5のMnと同じ。
M[m+1,1]はM[m,1],M[m,2],...の元の無限集合。
M[m,1]は、そこに含まれるM[0,1]の元の関数の働きもします。
M[m,n+2]はM[m,n+1]の元からM[m,n+1]の元への変換とします。
そして、M[m,n]の元m(m,n)を定めて行きます。
m(1,1)=[m(1),m(2),...]
m(1,2)[a1,a2,...]=[b1,b2,...]
bn f{n-1}...f1(x) := fy f{y-1}...an f{n-1}...f1(x)
ここで y=max(x,n)
とすることで、
m(1,2)m(1,1)≒H[ε_0]
m(1,2)^2 m(1,1)≒H[ε_1]
m(1,2)^3 m(1,1)≒H[ε_2]
といった演算が定義できるので、m(1,3),m(1,4)...を
F5のm(n)と同様に定義することで、F5と同様の構造で
m(1,x) m(1,x-1)... m(1,1) ≒H[ε_ε_0]
となります。
0768ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
2007/10/25(木) 02:11:04m(2,2)m(2,1)≒H[ε_ε_0]
m(3,2)m(3,1)≒H[ε_ε_ε_0]
の収束列ができて、
m(x,2)m(x,1)(x)≒H[η_0]
になると思います。
4スレ846の発想でH[η_0]まで行きました。
0769１３２人目の素数さん
2007/10/25(木) 06:45:57なんか精神を患ってる奴いるね。
0770１３２人目の素数さん
2007/10/25(木) 07:11:49確かε_0がφ[1](0)だったな。ということは、
η_η_…η_0がφ[3](0)か。いやはやこりゃ大変だ。
で、今気づいたんだが、εとかηとかつかう代わりに
φ[1]、φ[2]、…にしてるってわけか。頭いいな。Veblen。
0771１３２人目の素数さん
2007/10/25(木) 07:30:33ｎレベル：自然数
ｍ１レベル：ωの肩に自然数が乗ってる
ｍ２レベル：ωの肩にｍ１レベルの順序数が乗ってる
・・・とやってきて、結局
ε_0：ωの肩の順序数が自分自身と同じである最小の順序数
となるところまでやり続けるってことだよな。
同じ理屈で、いくなら、
φ０レベル：φ[]の[]内の順序数がφが現れない(つまりε0以下)
φⅠレベル：φ[]の[]内の順序数がφ０レベル
φⅡレベル：φ[]の[]内の順序数がφⅠレベル
・・・って感じかな。これなら
Γ_0：φ[]の[]内の順序数が自分と同じである最小の順序数
までいけそうだわな。
0772１３２人目の素数さん
2007/10/25(木) 08:21:01> Ver1の最終的な関数の定義はF[ω_x, ・・・ , 0_2, 0_1](x)です。
定義はどこにかいてありますか？
> L[α](x)のxは普通の自然数です。
L[α](ω)やL[9](L[10](ω)) という記述があるので定義域は自然数じゃないとおもいますが。
> L[10](ω) = L[9](φ_ω) (φ_n+1 = L[9](φ_n), φ_1 = ω)
これはどこを見れば書いてありますか？
φ_ωの定義がありませんが、
L[10](ω) = lim L[9](φ_n) という意味ですか？
> L[10](ω+1) = L[9](L[10](ω))
これはどこを見れば書いてありますか？
fundamental sequenceは何になりますか？
> L[L[ω](ω)](x) = L[L[x](ω)](x)
これはどこを見れば書いてありますか？
L[ω](ω) の直接的な定義は出来ないのですか？
L[ω](ω) はrecursiveな順序数ですか？
0773１３２人目の素数さん
2007/10/25(木) 11:10:38ところで205のプログラム動かしてみた。
試しにH(Γ_0,2)やってみたけど
φの定義に忠実にやってるね。
でも、この当りでももう収拾がつかない感じだな。
ふぃっしゅVer5みたいに
「簡単な定義でお手軽な巨大化！」
なんて幸せな時代は終わったのかもね。
0774１３２人目の素数さん
2007/10/25(木) 12:13:02大丈夫、質問のレベルを見ればだいたい分かる。w
0775１３２人目の素数さん
2007/10/25(木) 12:35:250776１３２人目の素数さん
2007/10/25(木) 12:36:090777Ur-Psycho
2007/10/25(木) 12:36:40基本列を構成する関数のゲーデル数を用いて表せば
ω1_CK以下の順序数についてH[ω1_CK]は計算できる。
というか、実際には逆で、基本列がゲーデル数で表せない
最小の順序数がω1_CK。
つまり、これだけではなにもいったことにはならんわけだが。
0778Ur-Psycho
2007/10/25(木) 12:39:54正：ω1_CK以下の順序数ordについてH[ord]は計算できる。
0779１３２人目の素数さん
2007/10/25(木) 13:57:48いや、そうじゃなくて、>>773がウルサイゾウじゃないってことが
分かるってこと。
0780１３２人目の素数さん
2007/10/25(木) 15:06:02いや、そうじゃなくて、「分かってる」の貴方一人だけだから
0781もやしっ子
2007/10/25(木) 16:28:03文京区シビックセンター5階 研修室B(定員24) 設備：白板
ttp://www.city.bunkyo.lg.jp/sosiki_busyo_shisetsukanri_shisetsu_civic.html
11/3(土) 13:00～17:00
参加費 0円
現時点の参加予定者
・もやしっ子
・ふぃっしゅしゅ
・たろう
・前回参加者 1名(スレッドには参加してない・素人) 計 4名
(敬称略)
現地集合、現地解散です。事前連絡して頂いた方はシビックセンター
展望台に13:00集合でお願い致します。
ねぎ姉さんTシャツを着ていくので目印代わりに捕まえてください。
ttp://negineesan.fc2web.com/neg_black_front.jpg
0782もやしっ子
2007/10/25(木) 16:28:35基本オープンなので、「覗いてみたい」という方があれば、当日会場に
直接来ても平気です(多分)。だめだったら携帯からメール下さい。
LAN環境は無いと思われるので、ノーパソから無線で飛ばせる環境が
あると助かります。参考書と研究室とWikipediaを多用する可能性があるので…
グラハム数が何なのかわからんという方も、アッカーマンがわからんという
方も、ふぃっしゅVer.1がわからんという方も、その先がなんやねんという方も、
計算理論や極限順序数を叩き込んでくれる先生もこぞってご参加ください。
ちなみに僕は順序数あたりからやばいので、今後初心者に噛み砕いて
説明するために質問魔になる予定です。
よろしくどうぞ。
0783１３２人目の素数さん
2007/10/25(木) 17:14:27この間ヒドラ・ゲームとふぃっしゅ関数の関係について
ｐｐｔで説明しようかなと申した者です。
まあ、それはできそうなんですけど、その後関心が
Veblen関数に移ってきまして、今、拡張ヒドラ・ゲーム
のようなものを考えようとしてるんですが、まだ
オリジナルのヒドラ・ゲームほどクリアになってません
ので、そちらのほうは、発表できるかどうか・・・
0784ルート41
2007/10/25(木) 17:40:30どうも計算ありがとうございます。
Ｆ［ω］（ｎ）の計算方法の一覧表みたいになって、解りやすかったです。
ω＾ωの作成手順を全く理解して降りませんでした。
＞＞686-688での説明があまりに省略しすぎたので、9◎↑ｎ以降は理解
してもらえなかったみたいですね。正直説明悪すぎました（反省）。
一応自分で計算しなおした結果
9☆↑ｎ≒Ｆ［ω＾ω^ω］（ｎ）
9～・↑ｎ≒Ｆ［ε_0］（ｎ）
蒼穹表記 9・～・ｎはＦ［ω＾ω］（ｎ）をＦ［ε_0］（ｎ）に変換することを
Ｆ［ε_0］（ｎ）回行ったのに相当します。（ω→ω→（ω↑↑ω））に相当
ついでにω・～・ωを蒼天数（総て天空のダジャレ）と命名
まあ、このスレは宇宙の彼方も越えてるですけどね。
0785もやしっ子
2007/10/25(木) 18:21:07僕の手には余りまくりなので、矢のように質問すると思います。
長いこといますが基本素人です。
おさらいだけで2時間くらいいきそうな気もしなくも…
0786１３２人目の素数さん
2007/10/25(木) 20:30:58備忘録として書いておこう。
Veblen関数 φ[α](β) の定義
φ[0](0) =1
φ[0](β) =ω^β
φ[α+1](0) =0,φ[α](0),φ[α](φ[α](0)),…
φ[α+1](β+1) =φ[α+1](β)+1,φ[α](φ[α+1](β)+1),φ[α](φ[α](φ[α+1](β)+1)),…
φ[α+1](γ) =φ[α](γ_0),φ[α](γ_1),φ[α](γ_2),…
φ[η](0) =φ[η_0](0),φ[η_1](0),φ[η_2](0),…
φ[η](β+1) =φ[η_0](φ[η](β)+1),φ[η_1](φ[η](β)+1),φ[η_2](φ[η](β)+1),…
φ[η](γ) =φ[η](γ_0),φ[η](γ_1),φ[η](γ_2),…
α,β：順序数
γ,η：極限順序数
(γ_0,γ_1,γ_2,…:γの基本列）
(η_0,η_1,η_2,…:ηの基本列)
0787ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
2007/10/25(木) 21:23:30訂正します。
誤 bn f{n-1}...f1(x) := fy f{y-1}...an f{n-1}...f1(x)
正 bn f{n-1}...f1(x) := ay a{y-1}...an f{n-1}...f1(x)
0788ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
2007/10/25(木) 22:15:24そのためには、φ[a](0)→φ[a+1](0)の演算を定義する必要があります。
それから、φ[φ[a](0)](0)→φ[φ[a+1](0)](0) の演算を定義して、と
再帰構造を作れれば、Γ_0に達します。
φ[1](0)→φ[2](0) が出来たのだから、同じ様にすれば
φ[3](0) が出来て、φ[a](0)→φ[a+1](0) の定義もできそうに見えます。
ただ、話は若干複雑になっています。
φ[1](0) に相当するm(1,2) m(1,1)から、φ[2](0) に相当する
m(x,2) m(x,1) が出来たわけですが、このm(x,2) m(x,1) をどう
扱うか、ということです。xの変数は、関数の生成には使えますが
η_0^η_0^... を作成するためには、関数だけではだめで一連の
変換も伴わないといけません。もしかすると、M[a,b]の元を要素に
持つ集合、とか考えないとならないかもしれません。
色々考えれば、やってできないことはないと思います。
とりあえずΓ_0は作ってみたいので、そのうちやります。
結局、より大きな順序数を作る作業を、より大きな集合の概念を
作ることに置き換えている、ということになりそうです。
順序数を大きくしていくときには、それまでの順序数を定義に用いる
ことで複雑さを増しています。集合の概念を使う場合には、それまでの
集合を元に持つ集合を定義することで複雑さを増して行く、という
ことです。より高階の概念を定義することで関数の増大度を増す、
というのがふぃっしゅ数の当初からの基本方針です。
0789772
2007/10/25(木) 22:35:56ナゴヤ数のL[α](x)はまだまともに定義できてないんだな
＞ということはVeblen関数を多変数に拡張してもF[ε0](ω)には
＞足元にも及ばないと思われます。
こんなことをかいてるわりには
＞120の定義、＞123の定義、＞124の定義を使うと
L[ε0](ω)はΓ_0よりずっとちいさい
Ver2の前にVer1の定義をまとめなよ
0790たろう
2007/10/25(木) 23:09:24どこが違うのかわかりません。
以下のどこまで合っててどこからが間違ってるか教えていただけませんか？
9○↑n ≒ F[ω^ω](n)
9○→↑n ≒ F[ω^ω+ω](n)
9○↓→↑n ≒ F[ω^ω+ω^2](n)
9○←↓→↑n ≒ F[ω^ω+ω^3](n)
9○○↑n ≒ F[ω^ω･2](n)
9○○○↑n ≒ F[ω^ω･3](n)
9○○○○↑n ≒ F[ω^ω･4](n)
9◎↑n ≒ F[ω^(ω+1)](n)
9◎○↑n ≒ F[ω^(ω+1)+ω^ω](n)
9◎○○↑n ≒ F[ω^(ω+1)+ω^ω･2](n)
9◎◎↑n ≒ F[ω^(ω+1)･2](n)
9[３重○]↑n ≒ F[ω^(ω+2)](n)
9[４重○]↑n ≒ F[ω^(ω+3)](n)
9[５重○]↑n ≒ F[ω^(ω+4)](n)
9△↑n ≒ F[ω^(ω･2)](n)
9□↑n ≒ F[ω^(ω･2+1)](n)
9[５角形]↑n ≒ F[ω^(ω･2+2)](n)
9[６角形]↑n ≒ F[ω^(ω･2+3)](n)
9☆↑n ≒ F[ω^(ω･3)](n)
9[六方星]↑n ≒ F[ω^(ω･3+1)](n)
9～・↑n ≒ F[ω^ω^2](n)
0791たろう
2007/10/25(木) 23:31:11> bn f{n-1}...f1(x) := fy f{y-1}...an f{n-1}...f1(x)
これは、
bn f{n-1}...f1(x) := a{y} a{y-1}...an f{n-1}...f1(x)
の書き間違いですか？
間違いでないなら、fy, f{y-1}, ..., f{y+1} は何ですか？
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