Hardy Function' を、
　H'[0](n) = n
　H'[a+1](n) = H'[a](n+1)
　H'[A](n) = H'[A_(n+1)](n+1)　......（Aは極限順序数、A_nはその収束列）

収束列を、
　ω^(a+1) = lim ω^a ･n
　ω^A = lim ω^A_n　......（Aは極限順序数、A_nはその収束列）
　b+A = lim (b+A_n)　......（Aは極限順序数、A_nはその収束列）

と定義し、

ヒドラゲームの{ } の中の文字列を、
　"[" + a + "]" ==> ω^a
　b + a ==> b + a
　"" ==> 0

　※ヒドラゲームの{ } 内の文字列 ==> Hardy Function の順序数
　※文字列の+で文字列の結合を表す

のように順序数に変換すれば、
ヒドラゲームと、H'[ω^x, +, 0で作られるε_0未満の順序数](n) の値は完全に一致する。