巨大数探索スレッド7
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0001１３２人目の素数さん
2006/11/19(日) 23:44:01http://www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/
前スレ、過去スレ、避難所はこのページからどうぞ。
「前の数＋1」
「1/x x→0」
「∞」
「９を延々と書き続けるプログラム」
「本日からこのスレでは、いっさいの数学的ではない話を禁止する。
私以外で検証する能力を持っている人間はいないようなので、
数学的に明確に証明できた場合以外は反論しないように。
特に今日のような低俗な煽りには徹底して放置で対応すること。」
という類の投稿は放置推奨。
0669１３２人目の素数さん
2007/10/21(日) 20:51:27重要なのは極限順序数と基本列の関係。
0670１３２人目の素数さん
2007/10/21(日) 21:10:25ちなみに"canonical"は"canon"から派生した言葉だが
canonとはもともと宗教における正典のことであり
広義には規準を指す。
0671１３２人目の素数さん
2007/10/21(日) 21:28:02その意味では、確かに重要かと思われる。
0672たろう
2007/10/21(日) 23:00:52H'[0](n) = n
H'[a+1](n) = H'[a](n+1)
H'[A](n) = H'[A_(n+1)](n+1) ......（Aは極限順序数、A_nはその収束列）
収束列を、
ω^(a+1) = lim ω^a ･n
ω^A = lim ω^A_n ......（Aは極限順序数、A_nはその収束列）
b+A = lim (b+A_n) ......（Aは極限順序数、A_nはその収束列）
と定義し、
ヒドラゲームの{ } の中の文字列を、
"[" + a + "]" ==> ω^a
b + a ==> b + a
"" ==> 0
※ヒドラゲームの{ } 内の文字列 ==> Hardy Function の順序数
※文字列の+で文字列の結合を表す
のように順序数に変換すれば、
ヒドラゲームと、H'[ω^x, +, 0で作られるε_0未満の順序数](n) の値は完全に一致する。
06735-714
2007/10/21(日) 23:36:54何度か出ている Hydra と Hardy が同じというのは
Hydra : List -> N^N
Hardy' : Ord -> N^N
なんか変換 : List -> Ord
で作られる三角形が可換だという理解でいいんでしょうか。
0674１３２人目の素数さん
2007/10/21(日) 23:41:420675１３２人目の素数さん
2007/10/22(月) 00:09:04超限帰納法で証明できる。グッドシュタイン列とは自然数を
カントール型n進表示し、nをn+1に置き換えたものから1を引く
ということを繰り返して得られる数列。
例えば初項を4として2進表示から始めた場合、0に到達するまでに
3*2^402653211-3ステップかかる。
4=2^2
→3^3-1=3^2*2+3*2+2
→4^2*2+4*2+1
→5^2*2+5*2
→6^2*2+6*2-1=6^2*2+6+5
...
...
→0
0676もやしっ子
2007/10/22(月) 02:20:28多分ないです。公民館の集会場だと考えていただければ。
ノートPCなどあれば助かります。
0677１３２人目の素数さん
2007/10/22(月) 07:31:52然り。ただ正確にはListではなくTreeだけど。
ω～ω^ω未満なら自然数のListであらわせる。
(n_1,n_2,…,n_n)→n_1*ω^n+n_2*ω^(n-1)+…+n_n*ω
ここで
((1))→ω＾ω
((1),(2))→ω＾ω＋ω＾（ω＾２）
((1、2))→ω＾(ω＾２＋２ω）
とすれば、ω＾ω～ε_0未満に対応するようにできる。
0678１３２人目の素数さん
2007/10/22(月) 07:47:38＞ω^(a+1) = lim ω^a ･n
＞ω^A = lim ω^A_n ......（Aは極限順序数、A_nはその収束列）
＞b+A = lim (b+A_n) ......（Aは極限順序数、A_nはその収束列）
＞と定義し、
３番目の規則から明らかではあるが
n*A = lim ((n-1)*A+A_n)
0679１３２人目の素数さん
2007/10/22(月) 07:51:27正 ((1),(2))→ω＾ω＋ω＾（２ω）
0681１３２人目の素数さん
2007/10/22(月) 10:52:18高階関数（あるいは同値だが＾の段数）
に着目したことにあったとすれば
次のステージでも、Veblen階層に関して
自然数の範囲内でおさえられる性質
に着目すればよい。
で、そういう性質は･･･存在する。
Veblen関数をφ[α](β)であらわそう。
φ[0](0)＝1 を、"0の次の順序数"
φ[1](0)=φ[φ[0](0)](0)＝ε_0 を、"φなしではたどり着けない順序数"
φ[ε_0](0)=φ[φ[φ[0](0)](0)](0) を、"φ[]の[]内にφが１つしかない順序数ではたどり着けない順序数"
φ[φ[φ[φ[0](0)](0)](0)](0)を、"φ[]の[]内にφが高々２回入れ子になってる順序数ではたどり着けない順序数"
･･･と続けていくと
Γ_0はこのような入れ子の極限、つまり
φ[α](0)=α となる順序数
として表される。
0682１３２人目の素数さん
2007/10/22(月) 11:02:46＞まだ詳細が整理できていませんが、後で考えてみます
ところで、もう２年も前のことなので、覚えてないかもしれませんが
6-317で、魚スキーさんが、ヒドラゲームとHardyの関係について述べた際
6-321で、5-714さんはレスでCantor normal formに言及されていたので、
そのあたりのことは、お二人の間では共通認識になっているに違いない
と思っていましたが・・・
0683１３２人目の素数さん
2007/10/22(月) 11:34:25これでうまく分解できそうな気がするが
06845-714
2007/10/22(月) 12:01:26ポインタをたどってみたらちょっと思い出しました。
hydra との対応は当時もどれだけフォローしていたか記憶がありませんが……
今読み返した印象だと問題にしているのは induction step での挙動みたいなので
base case を抽象化してやるとHb みたいな亜種を作らなくてもいいかもしれませんね。
0685１３２人目の素数さん
2007/10/22(月) 12:49:25このスレとしては計算できる関数のほうが
嬉しいので、まずΓ_0未満のpredicativeな
順序数に関するHardy関数に相当する、
ふぃっしゅ関数Ver5の拡張版を
誰でもいいから書いてみてほしい。
その人が、ふぃっしゅの次のチャンプということで。
もちろん、ふぃっしゅ氏がVer6を書けば、王座防衛。
いかがでしょうか？
0686ルート41
2007/10/22(月) 15:54:32くらいの数字が作れましたので、書きこみます。
復習をかねて下数矢印表記の定義から。（＞＞462を少し変えてます）
a↑0＝a
a↑b＝a＾a^a^・・・＾a ※＾の数がb個
a→b=a↑（a↑（・・・（a↑a) ※（ ）の数がb-1個
矢印回転以降は
ａ○ｂ＝ａ（ｂ/4回転↑）ａ
a◎b=a○（a○（・・・（a○a) ※（ ）の数がb-1個
a3重○b=a◎（a◎（・・・（a◎a) ※（ ）の数がb-1個
※以降は矢印の回転の代わりに、何重にするを使用。
a△b=a（b重○）a
a□b=a（b重△）a
と続けていきます。○△□の変化(ｎ角形）が2重帰納関数
3重帰納関数以降についてては
a☆b=a（b角形）a
a六方星b=a（B重☆）a
と展開していきます。
すると下数矢印表記だけでは3重帰納関数の表記も困難になります。
ｎ重帰納関数にいたっては、表記不能に近い。そこで途中の表記を飛ばし
ｎ重帰納関数を下数矢印表記では
① ａ～・ｂ と定義します。
3～・1＝3↑3 3～・2＝3○3
3～・3＝3☆3 3～・4＝3未定義3
0687ルート41
2007/10/22(月) 15:56:15下数矢印表記の○△☆を＞＞505の定義で上数矢印表記に変換します。
a○↑b=a←↓→↑・・・→↑a ※矢印記号がb個
a○↑↑b=a○↑（ａ○↑↑（ｂ-1））
a○→↑b=a○↑↑・・・↑※↑の数がb個
a○○↑b=a○←↓→↑・・・→↑a ※矢印記号がb個
a◎↑b=a○○・・・○↑a ※○の数がb個
a◎○↑b=a◎←↓→↑・・・→↑a ※矢印記号がb個
a◎◎↑b=a◎○○・・・○↑a ※○の数がb個
a（3重○）↑b=a◎◎・・・◎↑a ※◎の数がb個
ｎ重○のｎを増やすことで2重のｎ重帰納関数を表記できます。
以降△□も同じ様に表記していきます。
ａ△↑ｂ＝ａ（ｂ重○）ａ
a△○↑b=a△←↓→↑・・・→↑a ※矢印記号がb個
ａ☆↑ｎのとき、ｎを増やすことでｎ重のｎ重帰納関数を表記できます。
上記の法則にのっとりa～・bを上数矢印で表記した値を
② a～・↑b で表記します。
※無量大数は上数では10＾262144となりますが。この値を下数で無量巨大数
とした場合、上数で無量巨大数は10＾（4×（2＾262140））となる。
を矢印表記で行うという事。
3～・↑1＝3↑3 3～・↑2＝3○↑3
3～・↑3＝3☆↑3
0688ルート41
2007/10/22(月) 15:57:18a～・↑b の値を下数矢印表記で a～・・b と表記
a～・・b を上数矢印表記で表記した値を a～・・↑b と表記
と①②を繰り返す事で大きな数を作っていけます。
そこで、①②をａ～・↑ｂ回繰り返したときの上数矢印表記の値を
a・～・b
で表記します。
この・～・表記を僕の好きな作品タイトルから取って
蒼穹表記と命名。また
9・～・9
を蒼穹数と命名します（総9のダジャレでもありますが）
なをa・～・bで①②をａ・～・ｂ回繰り返すとすればさらに大きくなりますが
同じ事の繰り返しになるので、上数矢印表記の利用はひとまず終了します。
0689１３２人目の素数さん
2007/10/22(月) 17:06:41>>173のほうがはるかにわかりやすい。
0690１３２人目の素数さん
2007/10/22(月) 17:13:21＞このスレとしては計算できる関数のほうが 嬉しいので
各limit ordinalに対してfundamental sequenceが定まっていれば
Hαは計算可能。
0691１３２人目の素数さん
2007/10/22(月) 17:36:51>>681には>>173に書いてないことが書いてあるけど。
>>173
>+だけでは到達できない数をφ_0で定義し、
>+とφ_0だけでは到達できない数をφ_1で定義し、
>+とφ_0とφ_1だけでは到達できない数をφ_2で定義し、
>…とやっていって、最終的にはVeblen関数を何回使っても
>到達できない最小の数をΓ_0と定義していることになります。
これだとΓ_0がφを使ってどう下から表せるかがわからない。
>>681には書いてあるけどね。
0692１３２人目の素数さん
2007/10/22(月) 17:39:57＞各limit ordinalに対してfundamental sequenceが定まっていれば
＞Hαは計算可能。
計算可能かどうかはfundamental sequenceの定め方によると思うけど。
0693１３２人目の素数さん
2007/10/22(月) 18:34:166-291, 6-655 に正確な定義を書いておいてある。
0694１３２人目の素数さん
2007/10/22(月) 18:42:39> より大きな可算順序数を表記するにはより大きな基数を用いる必要があるみたい
必ずしもそういうわけではなくて、最初に大きな可算順序数の表記を作った人は
基数はどこにも用いていない。大きな可算順序数を作るには、大きな基数がある
と仮定すればわかりやすくなるというのは事実だけど。
0695１３２人目の素数さん
2007/10/22(月) 18:42:57＞φ[1](0)=φ[φ[0](0)](0)＝ε_0 を、"φなしではたどり着けない順序数"
＞φ[ε_0](0)=φ[φ[φ[0](0)](0)](0) を、"φ[]の[]内にφが１つしかない順序数ではたどり着けない順序数"
＞φ[φ[φ[φ[0](0)](0)](0)](0)を、"φ[]の[]内にφが高々２回入れ子になってる順序数ではたどり着けない順序数"
こんな説明では不十分だし、いまさらこんな不正確に定義しなおす必要は無い。
>>671の見解は正しい。CNFは0と＋とφ_0（0番目のVeblen関数）で有限に記述したもの、ということになる。
>>693の通り、定義＝6-292、基本列＝6-655で十分。
0696１３２人目の素数さん
2007/10/22(月) 18:43:53いったい誰のこと？
0697たろう
2007/10/22(月) 19:45:52A 具体的なアルゴリズムがわかるもの
Hardy Function + 多変数C1
B アルゴリズムを事実上調べる術は無いが計算可能なもの、概念のみ （あんまり意味ない）
>>430
C 厳密に定義可能なもの
>>538 の B[a](n) + 多変数C1
D 概念のみ
Hardy Function + >>575
こんな感じでしょうか。
0698１３２人目の素数さん
2007/10/22(月) 21:26:21681は定義だとは書いてないけど。
＞こんな説明では不十分だし、
というか、こんな説明は6-655に書いてある、
っていえばいいんじゃない？
実際こう書いてあるし。
＞Γ_0 への収束列は
＞Γ_0[0]=φ_0(0), Γ_0[k+1]=φ_{Γ_0[k]}(0)
＞で定められる。
計算すれば、>>681で書いてあることと同じになるよね。
0699１３２人目の素数さん
2007/10/22(月) 21:49:07順々に見ていこうかな
＞A 具体的なアルゴリズムがわかるもの
＞ Hardy Function + 多変数C1
これはどうかな？
H[ord] ord < ε_0に関しては、ふぃっしゅ関数ver5と同等。
H[ord] ε_0 =< ord < Γ_0に関しては、やればできそう。
H[ord] Γ_0 =< ord < ω1_CKに関しては、どうやればいいかようわからん。
H[ord] ω1_CK =< ord に関しては、正直無理な気がする。
順序数の定義ができればいいというわけではなく、
計算にあたってより小さな順序数に還元する
手順が示されなくてはならないと思うんだが。
0700１３２人目の素数さん
2007/10/22(月) 21:56:51>計算可能なもの、概念のみ （あんまり意味ない）
> >>430
ごめん、これ何いいたいのかぜんぜん分からないや。
>C 厳密に定義可能なもの
> >>538 の B[a](n) + 多変数C1
単に集合論の意味での関数を言ってるのなら、
もうそれこそ際限なく大きな関数があると思う。
BBはむしろ計算不可能な関数の一種の下限と
考えられていることに意味があると思う。
0701たろう
2007/10/22(月) 22:01:37書き方がまずかったかな。
多変数C1 は帰納的でない順序数も生成しますが、
C1(C1で生成した大きな順序数, 0) とすることで、
大きな帰納的順序数が作れます。
この大きな順序数とHardy Functionを組み合わせて作ります。
具体的には、
H[ C1(C1(1, 0がn個),0) ](n)
こんな関数。
具体的な収束列は、>>571 の多変数C1 のところに定義してあります。
0702１３２人目の素数さん
2007/10/22(月) 22:09:21> Hardy Function + >>575
これ、Cとの区別の仕方がようわからん。
思うんだけど、ここでいきなりω1_CKの先とか
そんなすごいことやんなくていいんだよ。
そうじゃなくて例えばΓ_0レベルでも、
ε_0レベルでふぃっしゅ氏がやったような
形まできっちり仕掛けが説明できれば、
そのほうが成果としては分かりやすいんだけどね。
0703たろう
2007/10/22(月) 22:14:08B
>>430 を見ていただければわかると思いますが、
部門としてはあんまり意味が無いので、
見なかったことにしてください。
C
> 単に集合論の意味での関数を言ってるのなら、
> もうそれこそ際限なく大きな関数があると思う。
もちろんずっと大きな関数はあると思いますが、
このスレではこの程度しか厳密に定義されているものはありません。
もしずっと大きな関数をご存知でしたら教えていただけませんか。
0704たろう
2007/10/22(月) 22:29:26C と D の違いは、
C:関数や数値として定義がされているもの
D:定義はされていないが、考え方が記されているもの
「きっちり仕掛けが説明できれば」というのは良くわかりません。
きっちり定義できればという意味なら、
部門が D ですので、厳密な定義はありません。
H[Γ_0](n) なら既に定義がいくつかあがっていて、
プログラムにもなっています。
その大きさが一般人でも理解できるような説明は私には出来ません。
枝分かれ部分が veblen と + との区別がある多進木で
図に書くことは出来るでしょうが。
0705１３２人目の素数さん
2007/10/22(月) 22:29:57＞書き方がまずかったかな。
あれは順序数の作り方であって、
Hardy関数の計算の仕方ではないよなぁ。
0706１３２人目の素数さん
2007/10/22(月) 22:36:07＞プログラムにもなっています。
いいんじゃない。それを書けば。
＞その大きさが一般人でも理解できるような説明は私には出来ません。
そんな説明は要らないよ。だってH[ε_0]のときだって誰もしてないよ。
＞枝分かれ部分が veblen と + との区別がある多進木で
＞図に書くことは出来るでしょうが。
肝心なのは順序数を図に描くことだけではなくて
計算の手順を、図的操作として示すことだな。
ヒドラ・ゲームというのはそういうことだよね。
結局H[ε_0]も、ふぃっしゅ関数Ver5もそれで
実は同じものなんだと理解されたわけだし。
0707１３２人目の素数さん
2007/10/22(月) 22:41:29計算を図的操作で書けるというんなら、それを示せば
いいんじゃない？
順序数とかいったって、結局のところ元を自然数に写像して
しかるべき順序関係をつけたものに対して操作とかなんとか
いってるわけだから。
0708たろう
2007/10/22(月) 22:47:56順序数の定義、それを構成する極限順序数の収束列
があれば、
Hardy関数にその順序数を入れた時の定義は十分と思います。
定義から計算の仕方はわかると思いますが、
定義が不明ですか？
それとも、定義はわかるが計算の仕方がわからない？
ヒドラゲームと似た考え方の、H[ψ(Ω^ω)](n) 相当の関数なら、
>>342 にあります。
多変数 C0 による多進木で順序数に対応する文字列を作っています。
0709たろう
2007/10/22(月) 22:55:34>>571 のテキストの最後を見てください。
最適化しているので非常に見にくいとは思いますが。
0710１３２人目の素数さん
2007/10/22(月) 23:51:06計算の仕方を理解できてないだけ。責任転換するな。
>>692
いや、基本列が定まれば計算できる。Hαが計算できないとしたら
それは基本列が定まっていないというだけ。
0711ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
2007/10/23(火) 01:36:00勉強会に向けて、今週中にPDF更新をアップしたいと思います。
しばらくは、あまり先の段階へ進めそうにないので、少しだけ
F6に向けて考えていることを書き留めておきます。
F6の第1段階は、たぶんこうなります。ただ、例によって
その評価がまだ出来ていません。
F5におけるm(n)の定義を拡張して、Mn変換m_1(n)を
m_1(n) f_{n-1}...f_1 f_0 := m(x) m(x-1)...m(n)f_{n-1}...f_1 f_0
ただし x = max(f_0,n)
と定義することをF6の手始めと考えます。
この時のm_1(n)の強さをどうやって評価するか。おそらく、
m_1(1)=F5(x): H[ε_0]
m_1(2): H[+ε_0] (Hardy の op に+ε_0する)
m_1(3): f_2がH[+α]の時にH[+ε_0*α]を生成
といった感じになると考えています。
m_1(4)以降の解釈が難しい。
H[α]からH[ω^α]への変換を与えるM2を定義できれば
H[ε_ω]までは一気にいけるのですが…。
0712１３２人目の素数さん
2007/10/23(火) 01:38:08αまでの基本列のシステムが recursive でなければ Hα が recursive とは限らない
と言っているのだと思うよ。
0713ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
2007/10/23(火) 01:42:51m_1(1)=F5(x): F[ε_0]
m_1(2): F[+ε_0] (Hardy の op に+ε_0する)
m_1(3): f_2がF[+α]の時にF[+ε_0*α]を生成
Hの場合は…
m_1(1)=F5(x): H[ε_0]
m_1(2): H[×ε_0] (Hardy の op に×ε_0する)
m_1(3): f_2がH[×α]の時にH[×ε_0^α]を生成
といった感じかな？
0714ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
2007/10/23(火) 01:50:19いやまて…もしそれが本当なら、m_1(3)^xでε_1が生成できて
しまうわけだけど、たぶんそんなことはないです。
ゆっくり考えてみます。
0715ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
2007/10/23(火) 02:10:17>>387-388を元に計算すると、こうなります。
f2 ===> +α
f2 f2 ===> +α*2
f2^a ===> +α*a
m3 f2 ===> +α*ω
m3 f2 m3 f2 ===> +α*ω*2
m3 f2 m3 f2 m3 f2 ===> +α*ω*3
(m3 f2)^a ===> α*ω*a
m3 m3 f2 ===> α*ω^2
m3 m3 m3 f2 ===> α*ω^3
m3^a f2 ===> α*ω^a
m4 m3 f2 ===> α*ω^ω
m3 m4 m3 f2 ===> α*ω^ω*ω
...
m4 m4 m3 f2 ===> α*ω^ω^2
m5 m4 m3 f2 ===> α*ω^ω^ω
...
m_1 3 f2 ===> +α*ε_0
0716ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
2007/10/23(火) 02:21:18f_2がF[+α]の時にF[+α*ε_0]を生成
となります。なので、m_1(3)を繰り返しても
ε_1には到達しません。
+1 → +ε_0 → +ε_0^2 → … +ε_0^ω
程度です。
Hのopで言えば、
f_2がH[*α]の時にH[*α^ε_0]を生成
となると考えると、
*ω → *ε_0 → *ε_0^ε_0 → … *ε_0^ε_0^ω
といった感じでしょうか。
とりあえずここまで。
0717１３２人目の素数さん
2007/10/23(火) 08:10:57＞定義から計算の仕方はわかると思いますが
わからないのでやってみせてください。
＞定義が不明ですか？
残念ですが理解できませんでした。
＞それとも、定義はわかるが計算の仕方がわからない？
残念ですがこちらも理解できませんでした。
申し訳ありませんが、実際にΓ_0でやってみせていただけませんか？
342は見ましたがふぃっしゅ氏の計算で、
ω^2でも>>346であきらめちゃってます。
でも、その後、まったくフォローされてないようですが。
0718１３２人目の素数さん
2007/10/23(火) 08:14:54＞αまでの基本列のシステムが recursive でなければ
＞Hα が recursive とは限らない
そういうことです。
その場合、ω1_CKが限界点になるのだとは思いますが。
0719１３２人目の素数さん
2007/10/23(火) 10:10:11今計算しなおそうとしてその前に記法の確認したら
基本的なところでよう分からん。
>>348
＞"0" => 0
＞"(0)" => 1
＞"((0))" => 2
＞"(((0)))" => 3
＞"((0)0)" => C0(1,0) => ω
＞"(((0))0)" => C0(2,0) => ω^2
でω+1とか２ωとかはどうなるん？
ω+1=(((0)0))
だと思うが、２ωが分からんなあ。
0720１３２人目の素数さん
2007/10/23(火) 10:36:39仕方ないからSeqの計算みてやってるけど
２ω＝((0)(0)0)？
ホンマか？
つーか、Seq(((0)0),i)=(i)になるか
確認しようとおもたらでけへんやん･･･ＯＴＬ
0721１３２人目の素数さん
2007/10/23(火) 11:02:15＞ >>338 のプログラムでは、F[ε_0](n)を超える
＞ F[φ_ω(0)](n)やF[ψ(Ω^(Ω+ω))](n)が
＞ いとも簡単にコーディングされていますが、
＞ このプログラムを理解できる人はいますか？
でけへんかった。なんか基本的に抜けが多いと思う。
>>347のアイデアは、要するに順序数の記法の取り扱いってことだよな。
それはええと思うんよ。でも、そのことと、たろう氏がそれを
実現できてるということとは全然別の話。
>>373
＞ >>338のプログラムを見ると、本当にこんなに短いプログラムで
＞ F[ψ(Ω^(Ω+ω))](n) を生成できるのかと、驚くばかりですが。
それはふぃっしゅ関数Ver5かて同しやと思うけどな。
まあ、ふぃっしゅ関数Ver5については、ようわかってきてるから
疑わんけど、たろう氏のプログラムが、ふぃっしゅ関数Ver5のレベル
ですら、ちゃんと実現でけてるのかは、今の時点では大いに疑わしいで。
0722１３２人目の素数さん
2007/10/23(火) 11:32:09＞http://web.mit.edu/dmytro/www/other/OrdinalNotation.htm
＞順序数の生成にはこれを参考にしたC0を使っています。
ところで、これを書いた人について調べてみましたか？
ドミトロ・タラノフスキ(Dmytro Taranovski)は、
1983年、ウクライナのキエフ生まれ。
2005年に、MITで、数学の学士の学位を取得
だそうです。要するに元学生ってことです。
この人は結構な勉強家で他にも数学やら物理やら
に関して膨大なドキュメントをみつけました。
ただし学生の書いてることですから、どの程度
正確なのかわかりませんが・・・
0723１３２人目の素数さん
2007/10/23(火) 12:30:57>φ[ε_0](0)を、limφ[ω＾(･･･(ω＾ω)･･･)](0)としていいのなら、
>これでうまく分解できそうな気がするが
参考まで
ε_0
=φ[φ[0](0)](0)
=φ[1](0)
=0,φ[0](0),φ[0](φ[0](0)),φ[0](φ[0](φ[0](0))),･･･
=0,1(=ω^0),ω，ω＾ω，・・・
0724１３２人目の素数さん
2007/10/23(火) 13:13:06H[φ[φ[φ[0](0)](0)](0)](2)
=H[φ[ω](0)](2)
=H[φ[2](0)](2)
=H[φ[1]\2 (0)](2)
=H[φ[1] φ[0]\2 (0)](2)
=H[φ[1] φ[0](1)](2)
=H[φ[1](ω)](2)
=H[φ[1](2)](2)
=H[φ[0](φ[1](1)+1)](2)
=H[φ[0](φ[0](φ[1](0)+1)+1)](2)
=H[φ[0](φ[0](ω+1)+1)](2)
=H[φ[0](ω(ω+1)+1)](2)
=H[ω^(ω^(ω+1)+1)](2)
0725１３２人目の素数さん
2007/10/23(火) 13:20:26順序数をCNFに還元する計算ができればいいのか。
ということで、セカンドステージは、自然数から
"ふぃっしゅ関数Ver5のm1，m2，･･･による木の形をした関数"
への写像をつくればいいわけだ。
0726たろう
2007/10/23(火) 21:40:04H[Γ_0] や H[ψ(Γ_(Ω+1))], H[ψ(Ψ)] の具体的な展開は
>>205 氏の Ruby のプログラムを使えばわかります。
>>719
順序数の和や積は可換でないので注意。
ω･2 = C0(1, ω) = C0(C0(0), C0(C0(0),0)) = "((0) ((0) 0))"
Seq(ω, 0) = Seq( C0(C0(0),0) ,0 ) = Seq( "((0) 0)" ,0 ) = "(0)" = 1
Seq(ω, i+1) = Seq( C0(C0(0),0) ,i+1 ) = Seq( "((0) 0)" ,i+1 ) = "(0" + Seq( "((0) 0)" ,i ) + ")" = Seq( ω ,i ) + 1
つまり、Seq(ω, i) = i+1
....【 （s = "(" + Ｘ + B + □ + a + ")" の形の時の式に対し、Ｘ = "", B = "(0)", a = "0" を代入 】
>>721
H[C0(1,0,0,0,0,0,0,0,0)](9) を実装しただけです。
ここまで小さくするのは非常に大変でしたが。
微妙に収束列やHardyFunctionの定義を変えてあります。
ordinal 構造体は９個のordinal 構造体へのポインタを持つので、
９進木ということになります。
ヌルポで順序数の0をあらわします。
HardyFunction は、再帰ではなくループで表現しています。
0727ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
2007/10/23(火) 22:01:14[1] ふぃっしゅ数バージョン5と同様にMn 変換 (n=0,1,2,...)を定める。
[2] Mn変換 mn(a,b) (n≧1, a,b≧0) を以下のように定める。
mn(0,0) := ふぃっしゅ数バージョン5の定義における m(n)
mn(a,b+1) f_{n-1}...f_1 f_0 := mx(a,b) m{x-1}(a,b)...mn(a,b) f_{n-1}...f_1 f_0
mn(a+1,0) f_{n-1}...f_1 f_0 := mn(a, m_1(a,f_0) f_0)^{f_0} f_{n-1}...f_1 f_0
ただし x = max(f_0,n), f_n は Mnの元とし、
厳密な定義の構造はふぃっしゅ数バージョン5と同様にする。
[3] 暫定版ふぃっしゅ関数を以下のように定める。
F6(x) = m2(m1(x,0) x, 0)^x f (x); f(x)=x+1
[4] 暫定版ふぃっしゅ数 F6 := F6^63(3) とする。
==========================================
m1(0,a+1) ≒ H[ε_a] まではたぶん大丈夫ですが、狙いのH[Γ_0] が実現して
いるかどうかは、かなりあやしいです。暫定版なので、狙いが実現していな
ければ取り下げます。実現が確認できたところで確定版を作ります。
0728ルート41
2007/10/23(火) 23:54:16Ｆ「εー0］（ｎ）まで変換してみたんですが、
ａ○↑ｂ＝Ｆ［ω＾ω］（ｎ）
ａ○→↑ｂ＝Ｆ［ω＾ω*ω］（ｎ）
ａ○↓→↑ｂ＝Ｆ［ω＾ω＾2］（ｎ）
ａ○←↓→↑ｂ＝Ｆ［ω＾ω＾3］（ｎ）
ａ○○↑ｂ＝Ｆ［ω＾ω＾ω］（ｎ）
ａ○○○↑ｂ＝Ｆ［ω＾ω＾ω＾ω］（ｎ）
ａ◎↑ｂ＝Ｆ［εー0］（ｎ）
と予想に反して ａ◎↑ｂでＦ［εー0］（ｎ）に到達してしまいました。
このまま ａ△↑ｂ ａ□↑ｂ 更にａ☆↑ｂをハーディ関数に変換して
いくと、蒼穹表記 ａ・～・ｂ では物凄いことになりそうなんですが。
やはり、どこか計算間違いをしてるんですかね？
Ｆ［εー0］（ｎ）の後はまだ勉強不足で理解してないんですが。
0729１３２人目の素数さん
2007/10/23(火) 23:59:24一部定義をまとめました。
Ω_1 : 関数F[ ]とωのみで表せないときに使う順序数
Ω_n+1 : 関数F[ ]とω, Ω_1, ～ Ω_nで表せないときに使う順序数
として、
各順序数を使用した式は以下のように定義されます。
F[Ω_1](ω) = lim( F[φ_n](ω) ) (φ_(n+1) = F[φ_n](ω), φ_1 = ω)
F[Ω_(m+1)](ω) = lim( F[φ_n](ω) ) (φ_(n+1) = F[φ_n](Ω_m), φ_1 = Ω_m)
F[Ω_ω](ω) = lim( F[φ_n](ω) ) (φ_(n+1) = F[φ_n](Ω_x), φ_1 = Ω_x)
また、Ωの添え字を(1,0)以上とリスト形式に拡張させて
Ω(1, 0) = lim Ω_(φ_n) (φ_(n+1) = Ω_(φ_n), φ_1 = ω)
Ω_(Ω(1, 0) + 1) = lim Ω_(φ_n) (φ_(n+1) = F[Ω_(φ_n)](ω), φ_1 = F[Ω(1, 0)](ω) + 1)
Ω(1, n+1) = lim Ω_(φ_k) (φ_(k+1) = Ω_(φ_k), φ_1 = Ω(1, n) + 1)
Ω(m+1, n+1) = lim Ω(m, φ_k) (φ_(k+1) = Ω(m, φ_k), φ_1 = Ω(m, n) + 1)
と定義します。
さらに、リスト要素ω番目以降として、a番目要素の値が0の0_aは省略可能とし、
Ω(1_ω, 0_1) = Ω(1_x)
Ω(1_ω, a+1_1) = lim Ω(1_x, φ_k) (φ_(k+1) = Ω(1_x, φ_k), φ_1 = Ω(1_ω, a_1) + 1)
とします。
0730１３２人目の素数さん
2007/10/24(水) 00:02:31I[0](β)=β
I[α+1](β)=I[α](β+1)
I[λ](β)=I[λ_β](β) （λがlim(α→Ω) λ_αの極限順序数のとき）
Howard ordinal≒I[ε_(Ω+1)](ω)
0731１３２人目の素数さん
2007/10/24(水) 00:05:58たぶん正しく計算してないと思われ。
もう一度慎重に計算してみましょう。
あとε_0の_（アンダーバー）はシフトキーを押しながら
ひらがなの「ろ」で変換できるよ。
0732たろう
2007/10/24(水) 00:14:35たろうの予想は、
m1(b,a) ≒F[ε_(ω･b + a) + 1] ...ただし、b > 0
[2] の３行目は
mn(a+1,0) f_{n-1}...f_1 f_0 := mn(a, f_0) f_{n-1}...f_1 f_0
で十分な気がする。
07335-682
2007/10/24(水) 00:30:32以降、
Ω(1_ω, a+1_1) = lim Ω((φ_k)_x) (φ_(k+1) = Ω((φ_k)_x), φ_1 = Ω(1_ω, a_1) + 1)
Ω(n+1_ω, 0_1) = lim Ω(n_ω, (φ_k)_x) (φ_(k+1) = Ω(n_ω, (φ_k)_x), φ_1 = Ω(ω_ω, 0_1) + 1)
Ω(1_(Ω_1), 0_1) = lim Ω(1_(φ_k), 0_1) (φ_(k+1) = F[Ω(1_(φ_k), 0_1)](ω), φ_1 = ω + 1)
Ω(n+1_(Ω_1), 0_1) = lim Ω(n_(Ω_1), 1_(φ_k)) (φ_(k+1) = F[Ω(ｎ_(Ω_1), 1_(φ_k))](ω), φ_1 = ω + 1)
のような形で進んでいきます。
0734１３２人目の素数さん
2007/10/24(水) 00:43:02F[α](ω) の定義は？
0735１３２人目の素数さん
2007/10/24(水) 00:47:40有流才蔵うざい
0736ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
2007/10/24(水) 01:08:00早いですね。では、早いですが>>727のふぃっしゅ数
バージョン6は取り下げます。
m1(0,a+1) ≒ H[ε_a]からH[η_0]を生成するために、
2変数目に関数をぶちこんで収束列を作ればいいかと
安易に考えましたが、f_0が連動してしまうので結局
定数でした。
やはり、通常の拡張方法をしている限りは、多変数化で
H[ε_{ω^ω}]、多重リストでH[ε_ε_0]が限界ですね。
>>418-419ではε_1の手前でうろついていたので、
それに比べれば大進歩です。
バージョン6は切りよくη_0かΓ_0にしたいので、
新しい着想が出るまでこのままもう少しあたためます。
0737ルート41
2007/10/24(水) 01:15:12いろいろとアドバイスをありがとう。
ａ○↑ｂはｎ重帰納関数なので
ａ○↑↑ｂ＝ａ○↑（ａ○↑↑（ｂ-1））＝Ｆ［ω＾ω＊ω］（ｎ）
としたのがそもそも間違いだったのかな？
0739１３２人目の素数さん
2007/10/24(水) 01:21:46質問があります。
収束列についてなんですが、たとえば
ψ_1(Ω)
だったら、まずΩに注目しますよね。Ω＝ψ_1(0)なのでψ_[δ+1](0)の形になっています
ので次は、これをxに置き換えた関数をf(x)とする
f(x)＝ψ_1(x)
つづいてδ=0なので、
α'_0=0, α'_(n+1)=ψ_0(ψ_1(α'_n))
つまり、
α'_0=0
α'_1=ψ_0(ψ_1(0))=ψ_0(Ω)
α'_2=ψ_0(ψ_1(ψ_0(Ω)))
……
です。
0740１３２人目の素数さん
2007/10/24(水) 01:23:49そして最終的に収束列は、β=1なので
α_0=0, α_(n+1)=ψ_1(ψ_1(α'_n))
つまり、
α_0=0
α_1=ψ_1(ψ_1(α'_0))=ψ_1(ψ_1(0))
α_2=ψ_1(ψ_1(α'_1))=ψ_1(ψ_1(ψ_0(Ω)))
……
です。ここでα_1なんですが、ψ_1(ψ_1(0))=ψ_1(Ω)なのでこれは調べていた順序数
そのものになっています。
α_2はψ_1(ψ_1(ψ_0(Ω)))=ψ_1(ψ_1(ψ_0(Ω)))ですが
ψ_1(ψ_0(Ω))＞ψ_1(0)＝Ωなのでもとの順序数より大きくなってしまいます。
定義どおりにしたつもりですがどこが間違っていますか？
0741１３２人目の素数さん
2007/10/24(水) 06:42:54はずれ
0742１３２人目の素数さん
2007/10/24(水) 06:56:43＞H[Γ_0] や H[ψ(Γ_(Ω+1))], H[ψ(Ψ)] の具体的な展開は
＞>>205 氏の Ruby のプログラムを使えばわかります。
消えたドキュメント参照してどうするｗ
0743１３２人目の素数さん
2007/10/24(水) 07:11:140744たろう
2007/10/24(水) 08:13:01もう消えてましたか。
展開の様子が順に表示されるすばらしいプログラムだったのですが。
>>272 では展開の様子を見ることは出来ません。
保存はしてありますが、勝手にアップしてはまずいでしょう。
>>205 氏が再び現れるのを待ちますか。
0745釣り人
2007/10/24(水) 09:00:30こちらに謎の巨大魚が現れたとか。
ちょっと見せてもらってもいいですか？
F5(n)=m_n m_{n-1} ･･･ m_1(n)
これですか･･･
･･･でも、なんかちっちゃくないですか？
なんつうか、イワシ程度というか･･･
あっ、御気に障ったらごめんなさい。
0746釣り人
2007/10/24(水) 09:05:46まあ、これじゃ面白くないので、イワシをエサにしてマグロでも釣りますか。
まずは、ちょっと改造をば
F5改(l,n)=m_l m_{l-1} ･･･ m_1(n)
とりあえず、入力と本体の関数部の長さを分けてみました。
F5(n)=F5改(n,n)ってことです。
まあ、F5改の最初の引数のところに
何か増加する関数を入れれば
元のF5より大きくなるわけですが･･･
0747釣り人
2007/10/24(水) 09:12:20要はF5改の増加部に、F5改自身を入れてもいいかな、と。
F5改(F5改(n,n),n)
まあ、これがいいなら、こいつをさらにいれちゃってもいいかな、と
F5改(F5改(F5改(n,n),n),n)
つうことで、ここでマグロ君ことフィッシャーマン関数登場！
FM(n)=F5改(･･･(n回)･･･F5改(F5改(n,n),n))･･･,n)
で、これどのくらいの大きさだと思うかって？
そうだなあ・・・私、大口叩く趣味ないんですが・・・Γ_0行ったかな？
ま、万が一、大したこと無くても、"釣り"ってことで。
0748釣り人
2007/10/24(水) 09:19:34ま、あとは釣り糸を垂れて気長に待つとしますか。
なんか、ここではHardyだVeblenだと騒がしいようですが
私、そういうムズカシイことはようわかりませんので
聞けばここのヌシの巨大魚さんもゼロからお育ちになられたとか。
その強靭なる生命力、あやかりたいものでございます。
0749１３２人目の素数さん
2007/10/24(水) 09:30:12また来たか。
F5改(F5改(n,n),n) < F5改(F5改(n,n),F5改(n,n)) < F5^2(n)
FM(n) < F5^n(n)
なので、ε_0程度。
0750１３２人目の素数さん
2007/10/24(水) 09:30:490751１３２人目の素数さん
2007/10/24(水) 09:42:392重帰納の意味あたりを、もう一度よく考えて理解する方がいいと
思うんだな。
0752釣り人
2007/10/24(水) 09:57:54はっはっはっは。+1ですか。これはキビシイｗ
>>751
こんなこというのもなんですが、
ワタシ、昨日のこともよく覚えてないんですよ。
だからまあ無理だと思いますねｗ。
0753１３２人目の素数さん
2007/10/24(水) 10:55:10生まれ変われるかのように錯覚するのよくない
0754釣り人２人目
2007/10/24(水) 11:56:30まあ、ちょっと虫が良すぎますよね。
私は、手堅く行こうかと思います。
まずはこんな関数から。
Phi[mt1](mt2){n}
基本的にVeblen関数φ[α](β)なんですけど
自然数の引数nを追加してみました。
mt1,mt2はm1，･･･，mnからなるツリーで、
出力も同じツリーで返します。
動作ですが
Phi[mt1](()){n}は、mt1を分岐ｎのヒドラゲームで分解して
m1が頭になる枝が現れるところまでやります。
で、m1が頭の枝が出たら
Phi[(mt* m1)](()){n}=Phi[mt*]（Phi[mt*](･･･Phi[mt*](()){n}･･･){n}){n}
と、Phiをn回反復させます。
で、一番中のPhiを評価して[]の中身が()になったら
Phi[()](){n}=(m1)
とすると。
（続く）
0755釣り人２人目
2007/10/24(水) 12:11:18Phi[mt1](mt2){n}は、mt2をやっぱり分岐ｎのヒドラゲームで分解して
m1が頭になる枝が現れるところまでやります。
で、m1が頭の枝が出たら
Phi[(mt1* m1')]((mt2* m1'')){n}=
Phi[mt1*]（Phi[mt1*](･･･(Phi[mt1*](mt2) mt1){n}･･･){n}){n}
とやっぱりPhiをn回反復させます。
あとmt1が極限順序数なら、mt1をヒドラゲームで分解するとともに
()内の(mt2* m1)をPhi[mt1](mt2){n}に置き換えます。
で、一番中のPhiを評価して[]の中身が()になったら
Phi[()](mt2){n}は、mt2をそっくり１段繰り上げて下にm1を入れると。
まあ、こんな感じでいかがでしょうか。
0756釣り人２人目
2007/10/24(水) 12:18:01FM2(n)＝(Phi[Phi[･･･(n回)･･･Phi[()](()){n}･･･](()){n}](()){n})(n)
0757釣り人２人目
2007/10/24(水) 12:25:01Phiは多分順序数ε0についての原始帰納的関数なのかと。
0758205
2007/10/24(水) 17:49:32ttp://www.uploda.net/cgi/uploader4/index.php?file_id=0000021312.lzh
再アップロードしました。中身は>>205と同じものです。
このプログラムについて著作権を主張するつもりはないので、
転載や改良は自由に行っていただいて構いません。
このプログラムで計算できるのは、>>110のFの方なので注意してください。
>>739
>>203の定義に沿って見ていくと、ψ_1(Ω)は
α=ψ_β(γ)(γは収束列の定義されていない非可算順序数)
でβ=1, γ=Ω=ψ_1(0)としたものになります。
ψ_[δ+1](0)をxに置き換えた後に関数を作るときは、
元々γだった部分をf(x)とするので、この場合はf(x)=xとなります。
そうすると、
α_0=0
α_1=ψ_1(0)
α_2=ψ_1(ψ_0(0))
α_3=ψ_1(ψ_0(ψ_0(0)))
…のようになります。
0759１３２人目の素数さん
2007/10/24(水) 19:42:21Ver1の最終的な定義はどれですか？
L[α](x) のxは自然数？自然数∪{ω}？順序数？
ナゴヤ関数で作った極限順序数のfundamental sequenceは定義されていますか？
L[10](ω), L[10](ω+1), L[ω](ω)
のfundamental sequenceはそれぞれどのように定義されていますか？
0760１３２人目の素数さん
2007/10/24(水) 21:10:14> >>203の定義に沿って見ていくと
誰が定義したの？205自身？
0761１３２人目の素数さん
2007/10/24(水) 21:17:200762１３２人目の素数さん
2007/10/24(水) 21:37:16またはずれ
0763たろう
2007/10/24(水) 22:35:249○↑n ≒ F[ω^ω](n)
9◎↑n ≒ F[ω^(ω+1)](n)
9[３重○]↑n ≒ F[ω^(ω+2)](n)
9△↑n ≒ F[ω^(ω･2)](n)
9□↑n ≒ F[ω^(ω･3)](n)
9☆↑n ≒ F[ω^ω^2](n)
9[六方星]↑n ≒ F[ω^(ω^2+1)](n)
9～・↑n ≒ F[ω^ω^ω](n)
9～・・↑n ≒ F[ω^ω^ω^ω](n)
9・～・n ≒ F[ε_0](n)
強引に解読するとこんな感じかな。
0764１３２人目の素数さん
2007/10/24(水) 22:48:49別人だと言い張るのは松本君の病気
0765たろう
2007/10/24(水) 22:49:189○↑n ≒ F[ω^ω](n)
9○→↑n ≒ F[ω^ω+ω](n)
9○↓→↑n ≒ F[ω^ω+ω^2](n)
9○○↑n ≒ F[ω^ω･2](n)
9○○○↑n ≒ F[ω^ω･3](n)
9◎↑n ≒ F[ω^(ω+1)](n)
9[３重○]↑n ≒ F[ω^(ω+2)](n)
9△↑n ≒ F[ω^(ω･2)](n)
9□↑n ≒ F[ω^(ω･2+1)](n)
9☆↑n ≒ F[ω^(ω･3)](n)
9[六方星]↑n ≒ F[ω^(ω･3+1)](n)
9～・↑n ≒ F[ω^ω^2](n)
9～・・↑n 以降はよくわからん。
07665-682
2007/10/24(水) 23:57:12Ver1の最終的な関数の定義はF[ω_x, ・・・ , 0_2, 0_1](x)です。
L[α](x)のxは普通の自然数です。
質問での各定義については
L[10](ω) = L[9](φ_ω) (φ_n+1 = L[9](φ_n), φ_1 = ω)
L[10](ω+1) = L[9](L[10](ω))
L[L[ω](ω)](x) = L[L[x](ω)](x)
となります。
0767ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
2007/10/25(木) 02:10:06>>727の取り下げられたF6の定義で、
H[ε_a] ができましたが、ここから先に進む為には、
H[ε_a]→H[ε_{a+1}]の演算を定義する必要があります。
ところが、m1(0,a)→m1(0,a+1)の変換はm1(0,a)単体
ではできません。
そこで、集合M[m,n]を考えます。
M[0,n]はF5のMnと同じ。
M[m+1,1]はM[m,1],M[m,2],...の元の無限集合。
M[m,1]は、そこに含まれるM[0,1]の元の関数の働きもします。
M[m,n+2]はM[m,n+1]の元からM[m,n+1]の元への変換とします。
そして、M[m,n]の元m(m,n)を定めて行きます。
m(1,1)=[m(1),m(2),...]
m(1,2)[a1,a2,...]=[b1,b2,...]
bn f{n-1}...f1(x) := fy f{y-1}...an f{n-1}...f1(x)
ここで y=max(x,n)
とすることで、
m(1,2)m(1,1)≒H[ε_0]
m(1,2)^2 m(1,1)≒H[ε_1]
m(1,2)^3 m(1,1)≒H[ε_2]
といった演算が定義できるので、m(1,3),m(1,4)...を
F5のm(n)と同様に定義することで、F5と同様の構造で
m(1,x) m(1,x-1)... m(1,1) ≒H[ε_ε_0]
となります。
0768ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
2007/10/25(木) 02:11:04m(2,2)m(2,1)≒H[ε_ε_0]
m(3,2)m(3,1)≒H[ε_ε_ε_0]
の収束列ができて、
m(x,2)m(x,1)(x)≒H[η_0]
になると思います。
4スレ846の発想でH[η_0]まで行きました。
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