ちなみに、Hardy functionの定義は

H_0(x)=x
H_α+1(x)=H_α(x+1)
H_α(x)=H_α_x(x) (αが極限順序数のとき)

Hydra gameとの対応を考えた場合はすこし変える必要がありますが、
これでよいと思います。ほとんどの論文等ではH_0(x)=xとしています。