巨大数探索スレッド7
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0001１３２人目の素数さん
2006/11/19(日) 23:44:01http://www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/
前スレ、過去スレ、避難所はこのページからどうぞ。
「前の数＋1」
「1/x x→0」
「∞」
「９を延々と書き続けるプログラム」
「本日からこのスレでは、いっさいの数学的ではない話を禁止する。
私以外で検証する能力を持っている人間はいないようなので、
数学的に明確に証明できた場合以外は反論しないように。
特に今日のような低俗な煽りには徹底して放置で対応すること。」
という類の投稿は放置推奨。
0449１３２人目の素数さん
2007/09/24(月) 19:30:14おお、乙！
まだ途中までしか見てないけど、すごい丁寧だ
0450１３２人目の素数さん
2007/09/24(月) 19:45:07グラハム数個の乙!
0451１３２人目の素数さん
2007/09/24(月) 20:06:16そういえばなんで途中で文体を変えているの?
0452１３２人目の素数さん
2007/09/24(月) 20:06:55ふりかえってみるとまさかこんなに高度なところまでくるとは
思いませんでしたね。
0453１３２人目の素数さん
2007/09/24(月) 20:21:21H_0(x)=x
H_α+1(x)=H_α(x+1)
H_α(x)=H_α_x(x) (αが極限順序数のとき)
Hydra gameとの対応を考えた場合はすこし変える必要がありますが、
これでよいと思います。ほとんどの論文等ではH_0(x)=xとしています。
0454１３２人目の素数さん
2007/09/24(月) 20:39:11何て少ないんだ……
おまいには人の心というものがないのか！
0455１３２人目の素数さん
2007/09/24(月) 21:21:28F_αをx回繰り返す関数
・F_α+2(x)
F_αをx回繰り返す関数をx回繰り返す関数
・F_α+ω(x)
F_αをx回繰り返す関数をx回繰り返す関数をx回繰り返す関数を………というのをx回繰り返す関数
・F_α+ω+1(x)
F_αをx回繰り返す関数をx回繰り返す関数をx回繰り返す関数を………というのをx回繰り返す関数をx回繰り返す関数
・F_α+ω*2(x)
F_αをx回繰り返す関数をx回繰り返す関数をx回繰り返す関数を………というのをx回繰り返す関数をx回繰り返す関数を………というのをx回繰り返す関数
・F_α+ω^2(x)
F_αをx回繰り返す関数をx回繰り返す関数を………というのをx回繰り返す関数をx回繰り返す関数を………というのを………
このようなことをx回繰り返す関数
・F_α+ω*3(x)
F_αをx回繰り返す関数をx回繰り返す関数を………というのをx回繰り返す関数をx回繰り返す関数を………というのを………
このようなことをx回繰り返す関数をx回繰り返す関数を………というのをx回繰り返す関数をx回繰り返す関数を………というのを………
このようなことを………
このような………
この……… って感じのことをx回繰り返す関数
・F_α+ω*4(x)
めんどい
・F_α+ω*5(x)
めんどいをx回繰り返す関数を………
アーメン
0456１３２人目の素数さん
2007/09/24(月) 21:29:480457ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
2007/09/25(火) 01:37:32なんとなく、気分で変えてみました。
が、やはり統一しようかな。
>>453
ありがとうございます。
Hardyの説明は手強そうです。
そこまで行くのはまだ先のことになると思いますが、
とりあえず手元のソースファイルを訂正しておきました。
0458１３２人目の素数さん
2007/09/27(木) 03:52:12の表記法を解説していただけるというのはありがたいですね。
自分には数学的知識や英語力が不足しているのか、読んでも理解できなかったので。
0459１３２人目の素数さん
2007/09/27(木) 17:01:250460ルート41
2007/09/28(金) 20:49:11命数法に上数、中数、下数があり、我々は普段中数を使用している訳だが。
(無量大数は下数なら10＾20、中数なら10＾68、上数なら10＾262144となる。)
この下数や上数の考えかたで矢印記号を考えてみました。
まずは上数矢印記号から
↑の定義は以下のようになる。
a↑b＝a＾a＾・・・＾a ※aの数がb＾b個となる
例）3↑4＝3＾3＾・・・3＾3 ※3の数が256個
a↑b↑c＝a↑（a↑（a↑・・・a↑b））） ※（）がb↑b回となる
例）3↑4↑5↑＝3↑(3↑（3↑・・・（3↑4））） ※（）が5↑5回
タワー表記では普通このような表記をしないが、矢印記号の統一を図るため
上数矢印記号では上記のように表記しました。
a↑b↑c↑d＝（a↑b↑（a↑b↑・・・（a↑b↑c））） ※（）がd↑d↑d回となる
例）3↑3↑3↑4＝3↑3↑（3↑3↑（3↑3↑・・・（3↑3↑3））） ※（）が4↑4↑4回
ちなみに、（3↑3↑3）が130個で確実にグラハム数を超えると推測されます。
a↑↑b＝a↑a↑・・・a↑a ※Ｎの数がb↑b個となる
例）3↑↑4＝3↑3↑・・・↑3↑3 で3の数が4↑4個
a↑↑↑b＝a↑↑(a↑↑（a↑↑・・・（a↑↑a））） ※（）がb↑↑b回となる
例）3↑↑↑4＝3↑↑(3↑↑（3↑↑・・・（3↑↑3））） ※（）が4↑↑4回
0461ルート41
2007/09/28(金) 20:50:15a→b＝a↑↑・・・↑↑a ※↑の数がb↑b
例）3→4＝3↑↑・・・↑↑3 ※↑の数が4↑4個
上数矢印 3→3でコンウェイのチェーン表記で表現できない程大きくなると推測されます。
a→b→cとa→→bの変換は↑と一緒
→の次は↓となり
a↓b＝a→→・・・→→a ※→の数がb→b個となる
以降。←、2回転目↑、2回転→と繰り返していく。
最後に矢印回転の表記を○で表すと
a○b＝a←a ※←はb↑b回転目の←となる。
例）3○3＝3←3 ※←は3↑3回転目の←
まあ、通常の矢印記号より遥かに大きい数ではあるが、かなり無節操。その上、
アッカーマン関数を工夫すれば簡単に抜けるだろうし、ふぃっしゅ数バージョン5、
ｂｂ関数、ωからみれば無に等しいけど。
0462ルート41
2007/09/28(金) 20:51:08a↑b＝a＾a＾a・・・＾a ※aの数がb個
（通常のa↑↑bから始めるよりa↑bから始めた方が解りやすいので上記のように表記）
例）3↑4＝3＾3＾3＾3
a↑↑b＝a↑（a↑b）
a↑↑↑b＝a↑（a↑（a↑b）
例）3↑↑↑4＝3↑（3↑（3↑4）
a→b＝a↑↑・・・↑↑a ※↑の数がb個
（これも通常のa→b→cよりa→bとした方が解りやすいので上記のように表記）
例）3→4＝3↑↑↑↑3
a→→b＝a→（a→b）
例）3→→4＝3→（3→4）
なお、a→b→c→・・・→zの変換はタワー表記↑で行われないので。矢印記号の統一を
図るため、下数矢印表記では行わないことにしています。
0463ルート41
2007/09/28(金) 20:51:49a○b＝a←a ※b回転目の←
例）3○4＝3←3 ※4回転目の←ｙ
下数矢印記号ならグラハム数を超えるのは3↓130と推測されます。
また、下数矢印記号のa○bは上数矢印のa↑↑bより
小さい値を示めします。（ａ≧2でｂ≧2の時）
僕自身は最初、通常の矢印記号を間違って下数矢印記号のように理解しておりりました。
なお、コンウェイのチェーン表記
ａ→→ａ→→ａ→→ａ
の正しい計算方法が判らないため、
ａ→ａ→ａ→ａ
と同じ計算をすると仮定しています。（その計算も膨大過ぎるため、結果は推測です）
0464１３２人目の素数さん
2007/09/28(金) 21:03:24a→→a→→a→→aは
(a→→(a→→(a→→a)))の順で計算すると僕は思っています（つまり最後から)
0465ルート41
2007/09/28(金) 22:43:32その計算ならコンウェインのチェーンもそれほど大きくならなくてすみますよね。
仮に
Ａ→→ｂ→→ｃ＝Ａ→→（Ａ→→（ｂ-1）→→ｃ）→→（ｃ-1）
だった場合
3→→3→→3＝3→→（3→→26）
3→→3→→4≒3→→（3→→・・・（3→→3）※（）の数が49個
と物凄い勢いで（）が増えていきますからね。
これで行くと、矢印回転の意味合いが変わってきますからね。
0466たろう
2007/09/29(土) 00:12:25■上数定義
↑↑↑ の定義は合ってる？
↑から↑↑の変化に比べて、↑↑から↑↑↑の変化が小さすぎる。
↑↑↑↑以降の定義も↑↑から↑↑↑に増やした場合と同じ様だとすると、
a○n でやっとコンウェイのチェーンn個のn位の大きさ。
a↑↑b↑↑c や a↑↑b↑↑c↑↑d を a↑b↑c やa↑b↑c↑d と同じように定義して、
a↑↑↑b = a↑↑a↑↑....↑↑a
としないと。
これだと、a→n でコンウェイのチェーンn個のn位の大きさ。
■下数定義
a○b でやっとアッカーマン関数と同程度になるような気がする。
3↓130 ではぜんぜんグラハム数に到達しないんじゃ....
0467１３２人目の素数さん
2007/09/29(土) 07:53:52Ａ→→ｂ→→ｃ＝Ａ→→（Ａ→→（ｂ-1）→→ｃ）→→（ｃ-1）
これは盲点でした確かに凄いことになりますね
0468ルート41
2007/09/29(土) 11:59:02上数定義はご指摘の通り。
Ａ↑↑ｂ↑↑ｃ＝Ａ↑↑（Ａ↑↑・・・（Ａ↑↑ｂ）※（ ）の数ｃ↑↑ｃ
A↑↑↑ｂ＝A↑↑A↑↑・・・↑↑A ※（↑↑）の数がｂ↑↑ｂ
が抜けていました。
僕はタワー表記を
3↑↑↑↑3
＝3↑↑↑（3↑↑↑3）
＝3↑↑↑（3↑↑（3↑↑3）
＝3↑↑（3↑↑（3↑↑（3↑↑3）
と計算出来ると間違えておりました。勉強になりました。
独学でやっていると間違った計算をそのまま使用してしまいますね。
ところで、矢印2回転目の↑はこのスレではタワーの計算で定義して
るんですかね？それともチェーンの計算方法？
0469１３２人目の素数さん
2007/09/29(土) 15:57:31それはおそらくチェーンでしょう(↑2)はチェーンよりも上位の矢印なわけですし
0470１３２人目の素数さん
2007/09/29(土) 16:49:54定義をまとめておきます。
参考：チェーンとの対応は(a→b→...→x→y→z)=↑1(a,b,...,x,y,z)
タワーとの対応は(a↑...c個...↑b)=(a→b→c)=↑1(a,b,c)
以下a,b,...,zは全て自然数(>0)とします。
まず多変数関数↑1を次で定めます。
↑1(a):=a
↑1(a,b):=a^b
3変数以上に対しては、
↑1(a,b,...,x,y,z):=↑1(a,b,...,x,y) (y=1 or z=1)
↑1(a,b,...,x,y,z):=↑1(a,b,...,x,↑1(a,b,...,x,y-1,z),z-1) (y>1,z>1)
次に多変数関数↑n-1から、多変数関数↑nを作ります(n>1)。方法は、
↑n(a):=a
↑n(a,b):=a^b
↑n(a,b,c):=a^b (b=1 or c=1)
↑n(a,b,2):=↑n-1(a,a,...,a) (aがb個)
↑n(a,b,c):=↑n(a,↑n(a,b-1,c),c-1) (b>1,c>2)
4変数以上に対しては、
↑n(a,b,...,x,y,z):=↑n(a,b,...,x,y) (y=1 or z=1)
↑n(a,b,...,x,y,z):=↑n(a,b,...,x,↑n(a,b,...,x,y-1,z),z-1) (y>1,z>1)
0471ルート41
2007/09/29(土) 17:13:49回答ありがとうございます。
矢印回転はチェーンの計算を基本にしているんですね。
ただし、コンウェインのチェーン表記のA→→ｂ＝A→A→・・・→A ※Aの数がB個
A→→→ｂ＝A→→（A→→A→→・・・→→A）※( ）無いのAの数がｂ個
は含まないみたいですね。
0472１３２人目の素数さん
2007/09/29(土) 21:08:34（何を検索していたのかは忘れましたが･･･）
その「暴力的」な増加（というか爆発と表現する方が適切か？）の先に得られるグラハム数に驚愕しました。
また同時にえも云われぬ高揚感を抱きました。
それからすぐに巨大数研究室のページに辿り付き、過去スレの１～６を貪るように読みふけりました。
正直、かなり序盤の方で僕の理解を超える議論がなされていましたが
巨大数探索（今となってはこの表現は不適当でしょうが）スレッドには
ログを読むことを放棄させない魅力、というかなんらかの魔力のようなものがあります。
0473４７２ですが･･･
2007/09/29(土) 21:10:02アッカーマン関数の爆発具合はなんだか凄い、というのも分かります。
熱心に議論している諸氏に対して不謹慎かもしれませんが
スレの途中に出てくるプロジェクトXやRPG風の記載をおもしろく読んでいる程度です。
そんな僕ですがひとつ疑問があります。
今更すぎてスレ汚しなのは承知していますが恥をしのんで聞かせてください。
Hardy functionについて順序数ωが理解できません。
自然数全体集合についての最小の無限順序数がωとのことですが
「つまりωは自然数ではない」との理解でいいのでしょうか？
自然数 → 整数 → 有理数 → 実数･･･というような広がりとは根本的に異なるのでしょうか？
0474ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
2007/10/01(月) 01:03:09「ωは自然数ではない」との理解でいいです。
0475ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
2007/10/01(月) 01:06:09いたところです。
A(1,0,2,1,2)がバード数よりも大きい事が分かりました。
0476１３２人目の素数さん
2007/10/01(月) 17:43:33ど、どういうことですか?
0と1と2しかないのに
0477１３２人目の素数さん
2007/10/01(月) 18:00:18http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A7%E3%83%96%E3%83%AC%E3%83%B3%E9%9A%8E%E5%B1%A4
0478ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
2007/10/01(月) 21:14:03細かい計算は、おいおいアップする文書に書く予定です。
興味のある人は楽しみにしていてください。
Aの定義にしたがって計算して行くと、
A(1,0,0,0,x)=A(x,0,0,x)≒↑x(x,x,x)
A(1,0,0,n,x)>X_n(x)
A(1,0,0,1,0)=3
A(1,0,0,2,0)≒↑3(3,3,3)>G
A(1,0,0,3,0)>↑G(3,3,4)=N
A(1,0,1,4,0)>H
A(1,0,1,5,0)>X_H(N)
A(1,0,2,1,2)>B(バード数)
といった感じになります。細かい計算をしなくても、
バード数の定義の X_n(a) の入れ子操作n回 ≒ F[ω^3+ω+1](n)
A(1,0,2,1,n) ≒ F[ω^3+ω*2+1](n)
から考えると妥当な結果だと思います。
> 0と1と2しかないのに
1だけでも十分ですよ。
A(1,1,1,1,1) > A(1,1,1,0,B) ですから。
0479たろう
2007/10/02(火) 00:04:590480たろう
2007/10/02(火) 00:23:17X[0](n) = ↑n(n,n,n)
X[m+1](n) = X[m]^n(n)
N=↑G(3,3,4)
f(n) = X[n](N)
バード数 = f^(f^2(N)+1) (N)
※↑n(n,n,n) の定義は「巨大数探索スレッド５」の >>7
※n, m = 1,2,3,....
-------------------------
であってるかな？
g(n) = X[n](n) とすると、
g(2) > N となって、g^(n+1)(2) > f^n(N) となり、
バード数 = f^(f^2(N)+1) (N) < g^(g^3(2)+2)(2) となる。
g(n) < Ak(1,0,1,0,2n) から、
g^n(2) < A(1,0,1,1,2n) となり、
g^(g^3(2)+2)(2) < Ak(1,0,1,1,Ak(1,0,1,1,6)*2+4) < Ak(1,0,1,1,Ak(1,0,1,1,Ak(1,0,1,2,0))) = Ak(1,0,1,2,2)
よって バード数 < Ak(1,0,1,2,2)
0481１３２人目の素数さん
2007/10/02(火) 14:02:5950%くらいはわかりました、しかし5変数でこれならn変数akとかはどうなってしまうのだろう?
0482１３２人目の素数さん
2007/10/02(火) 18:42:380483１３２人目の素数さん
2007/10/02(火) 18:47:09じゃあH[ε_0]のほうがはるかにでかいんですね,すごいぞHardy function
0484１３２人目の素数さん
2007/10/02(火) 20:34:140485１３２人目の素数さん
2007/10/02(火) 21:21:21でかいことはわかっているがどれくらいでかいかさっぱりわからんからなぁ。
0486ルート41
2007/10/02(火) 22:04:47＞＞468の修正定義で計算し直してみました。
下数矢印でグラハム数を表記すると
3○（3○・・・（3↓（3→（3↑3）※3○（が63個と計算できました。
ただ、上数矢印の方なんですが、コンウエインのチエーン表記が
4→4→4→9＜4→4→4→3→2であり
（最後の数が多き時よりチェーンを伸ばして3→2にした方が大きい）
a→a→・・・→3→2＝a→a→・・・（a→a→・・・～（a→a→・・・→a)
※Aの数がｎ個の場合（ ）の数が（A→A→・・・→A）Aがｎ個
と計算で出ます。
例）4→4→4→3→2＝（4→4→4→（4→4→4→（・・・（4→4→4）
（ ）の数が4→4→4個
すると上数矢印が
a→a→・・・→a＝a→a→・・・（a→a→・・・～（a→a→・・・→a)
※Aの数が（ｎ+1）個の場合（ ）の数が（A→A→・・・→A）Aがｎ個
となるので、チェーンｎ個のｎに相当すると計算がでたんですが？
例）4→4→4→4＝（4→4→4→（4→4→4→（・・・（4→4→4）
（ ）の数が4→4→4個
また、コンウェインのa→→→・・・→a（右の数がｎ個）と
上数矢印のa↑↑↑・・・↑a（↑がｎ+1個）が同程度になる。
まあ、上のA(1.0.2.1.0）と比べると無に等しいですが。
0487ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
2007/10/02(火) 22:56:33なるほど、そうやって計算するんですね。
たとえばグラハム数だと
f(n)=3→3→nとすると
f(n)<A(1,0,n+2) から
f^n(n)<A(1,1,n+2) となり
グラハム数 = f^64(4) < A(1,1,66) < A(1,1,A(1,2,1)) = A(1,2,2)
よって グラハム数 < A(1,2,2)
といった感じかな。
たぶん A(1,2,1) = A(1,1,61) < グラハム数 < A(1,2,2)
0488ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
2007/10/03(水) 00:49:06http://www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/log/ln023.html
ここの320がF1の定義、329-331がS変換の計算。
S変換をn回施した後のg(x) = A(n-1,x,x)
S変換を2回施した後のg(2) = A(1,2,2) > グラハム数
0489ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
2007/10/03(水) 00:59:22F3改良型
関数f(x)からg(x)への写像s(n) (n>0)を以下のように定める。
s(1)f:=g; g(x)=f^x(x) [原始帰納]
s(n)f:=g; g(x)=[s(n-1)^x]f(x)f (n>1) [n重帰納]
（以下略）
（注）旧F3のs(n)が、新F3のs(n+1)に相当する。
このとき、f(x)=x+1として
[s(1)^a1][s(2)^a2]...[s(n)^an]f(x) = A(an,...a2,a1,x)
0490ルート41
2007/10/03(水) 03:50:22>>486です。
3→3→3→4と3→3→4→3を計算すなおして自分の間違いに築きました。
チェーン表記は僕の理解より大きな数字なんですね。
0491１３２人目の素数さん
2007/10/03(水) 17:35:23F_α+ω^3(x)で矢印回転関数を超えてしまった
0492１３２人目の素数さん
2007/10/05(金) 00:55:350493１３２人目の素数さん
2007/10/06(土) 04:39:09＞n文字（またはn単語、nトークンなど） で表せる最大の可算順序数を
＞o(n) とした場合、この極限 lim o は可算なのだろうか？
＞
＞可算だとすると、
＞帰納的定義では到達できないほど大きな可算順序数が存在することになる。
＞
＞非可算（つまりΩ）になるとすると、
＞可算順序数の列で、極限が非加算になるものが存在することになる。
結局これってどっちなの？ビジービーバーっぽいけど…
可算だとしたらBB(x)に匹敵するH[可算順序数](x)が存在するってこと
になるのでは？
0494１３２人目の素数さん
2007/10/06(土) 13:19:30グラハム数の大きさに仰天していた時代がなつかしい、いまじゃこんな（相対的に）小さい
数になってる
0495１３２人目の素数さん
2007/10/07(日) 01:53:15その文だと分かりにくいが、ω_1^CKのことか
ω^1_CKなら、可算かつ計算不可能な順序数
0496１３２人目の素数さん
2007/10/07(日) 02:01:32って、>>268-273で既に答えられてるじゃないか
というか、可算のものを用いて可算ステップの構成を行ったとき、
その結果は絶対に可算だよ。
0497もやしっ子
2007/10/07(日) 02:30:24場所は文京区シビックセンター和室(と思われます。)
前回は告知がグダグダだったのでトータル2人でした。
11/3あたり場所取りできるかも(他力本願)なので初心者からガチの方まで
参加して頂ければ幸せです。
日程、場所は変更することがあります。
気になった方はメール欄のアドレスに送ってどうのこうのして頂ければ。
特にガチで戦える方、切実にご教授を望みます。素人計算だけでは無理です。
0498１３２人目の素数さん
2007/10/07(日) 05:01:060499もやしっ子
2007/10/07(日) 16:41:39「ねぎ姉さん」の作者だからです。
0500１３２人目の素数さん
2007/10/07(日) 21:58:04東大でゼミをやると聞いて最近驚いたばかりなのに。
0501１３２人目の素数さん
2007/10/07(日) 23:47:26もやしっ子だったのが驚き
0502１３２人目の素数さん
2007/10/08(月) 08:07:580503１３２人目の素数さん
2007/10/08(月) 10:44:55, イ)ィ -─ ──- ､ﾐヽ
ノ ／,．-‐'"´ ｀ヾj ii / Λ
,ｲ／／ ^ヽj(二ﾌ'"´￣｀ヾ､ﾉｲ{
ノ/,／ミ三ﾆｦ´ ﾞ､ﾉi!
{V /ミ三二,ｲ , -─ Yｿ
ﾚ'/三二彡ｲ .:ィこﾗ ;:こﾗ j{
V;;;::. ;ｦヾ!V ｰ '′ i ｰ ' ｿ
Vﾆﾐ( 入 ､ r j ,′
ヾﾐ､｀ゝ ｀ ｰ--‐'ゞﾆ<‐-イ
ヽ ヽ -''ﾆﾆ‐ /
| ｀､ ⌒ ,/
| ＞ ---- r‐'´
ヽ＿ |
ヽ ＿ ＿ 」
ググレカス [ gugurecus ]
（西暦一世紀前半～没年不明）
0504１３２人目の素数さん
2007/10/08(月) 12:51:510505ルート41
2007/10/11(木) 16:36:09定義しなおしてみました。今度は矢印回転でｎ重帰納関数になったと思うんですが。
段落ごとに整理して定義してみます。
①ａ↑0＝ａ ａ↑ｂ＝a＾a＾・・・a＾a ※＾の数がｂ個
例）3↑1＝3＾3
3↑3＝3＾3＾3＾3
②ａ↑↑0＝ａ ※以降右の数字が0のときはａとなります。
ａ↑↑ｂ＝ａ↑（ａ↑↑（ｂ-1）） ※タワーの計算と一緒
例）3↑↑2＝3↑（3↑3）
3↑↑3＝3↑（3↑（3↑3））
③ａ↑↑↑ｂ＝ａ↑（ａ↑↑↑（ｂ-1））
1-①ａ→↑ｂ＝ａ↑↑・・・↑ａ ※↑の数がｂ個
例）3→↑4＝3↑↑↑↑3
1-②ａ→↑↑ｂ＝ａ→↑（ａ→↑↑（ｂ-1））
例）3→↑↑4＝3→↑（3→↑（3→↑（3→↑3）））
2-①ａ→→↑ｂ＝ａ→↑↑・・・↑ａ ※↑の数がｂ個
例） 3→→↑4＝3→↑↑↑↑4
2-②ａ→→↑↑ｂ＝ａ→→↑（ａ→→↑↑（ｂ-1））
※→を伸ばす操作が2重帰納関数
0506ルート41
2007/10/11(木) 16:37:401-1-② ａ↓→↑↑ｂ＝ａ↓→↑（ａ↓→↑↑（ｂ-1））
1-2-① ａ↓→→↑ｂ＝ａ↓→↑↑・・・↑ａ ※↑の数がｂ個
2-1-① ａ↓↓→↑ｂ＝ａ↓→→・・・→↑ａ ※→の数がｂ個
※↓を増やす操作が3重帰納関数
矢印の回転数を○で表すと
ａ○ｂ＝ａ←↓→↑←・・・→↑ａ ※矢印記号がｂ個
※ｂの数値を増やす操作がｎ重帰納関数
ここまで書く気がつく人も多いと思いますが、↓→↑の記号の意味を
左の段階を表す1-1-①のほうが簡単に表してます。
そこで実際の上数矢印は
ａ（ｚ-ｙ-・・・ーｆ-ｅ-ｄ-↑ｃ）ｂと表記します。
例） 7（3-2-4-↑5）6≒7←←7←←7←←7←←6←←5
※コンウエインのチェーン表記の→→の定理を含んだ矢印回転表記です。
また、グラハム数＝3（1-↑1）64となります。
0507133人目の素数さん
2007/10/11(木) 20:20:320508たろう
2007/10/11(木) 22:30:56↑[Ｘ, 0] = N
↑[□, 1, a+1] = N ^ ↑[1, a]
↑[□, 1, 1, △, a+1] = ↑[a+1, △, N]
↑[Ｘ, b+2, 1, △, a+1] = ↑[Ｘ, b+1, a+1, △, N]
↑[Ｘ, b+2, a+1] = ↑[Ｘ, b+1, ↑[Ｘ, b+2, a] ]
N○a = ↑[1がa個, N]
ただし、
a, b : 0以上の整数
N: 1以上の整数
□: 0個以上の0
△: 0個以上の1
Ｘ: 0個以上の0以上の整数
まとめるとこんな感じかな？
③ａ↑↑↑ｂ＝ａ↑（ａ↑↑↑（ｂ-1））
これは
③ａ↑↑↑ｂ＝ａ↑↑（ａ↑↑↑（ｂ-1））
これの間違いですよね？
0509ルート41
2007/10/11(木) 22:38:34ご指摘の通り間違いです。訂正ありがとうございます。
0510もやしっ子
2007/10/12(金) 03:38:26ふぃっしゅしゅ氏とメールでコンタクトを取っています。
僕と遊んで頂けるようなので、2人だと寂しいから誰か来ませんか。
当日の内容は、集まったメンツと流れ次第で決める感じで。
0511有流才蔵
2007/10/12(金) 18:13:35ちなみにHNは「うるさいぞう」って読むんだよｗ
実は関東在住でヒマだから行ってやってもいいけど
もう昔のことなんか忘れちまったよｗ
ちょっと過去ログみたら、モヤシが、カナモリの本持ってるって書いてあって
「をひをひ、そこまでやるか。でも、オレも買ったけど」なんちってｗ
そういえば、どっかの集合論フリークのブログで0#の話書いてあったな。
今のオレはあの程度でもうおなか一杯っていうか、別方面に関心があるんで。
0512有流才蔵
2007/10/12(金) 18:28:47自然数は素数の積で表せるが、その場合素数の指数に表れる
自然数をまたシツコク素数の積で表し・・・なんて続けると、
いい加減どっかで１になる。
こうやって出来た素数による「木」を見て眺めるわけだ。
まるで爺ィの盆栽趣味だなｗ
0513１３２人目の素数さん
2007/10/12(金) 22:03:16木もうまく使えば巨大数生成に役立つかもね。
ていうか多重リストが木に相当するのかな。
0514１３２人目の素数さん
2007/10/12(金) 23:07:310515もやしっ子
2007/10/12(金) 23:11:42カナモリ氏の本はね…僕はいまだにforcingも使えませんからね…
思うにあの頃の才蔵氏はツンデレの最先端を地で行っていたと思います。
今回集まってやるのは、よくて才蔵氏の後を追っかけるようなものなので
(Hardy関数ってなんぞ、とかそういう)
半端なことやってるの見られたらリアル雷落とされちゃうかな？
みたいな。
ま、ママゴトですからよかったらお気軽にどうぞ。
0516１３２人目の素数さん
2007/10/12(金) 23:39:53なんとなくコラッツ予想の木を思い出した
0517有流才蔵
2007/10/13(土) 07:00:20はっはっは、･･･実は漏れも使えん･･･ＯＴＬ
＞思うにあの頃の才蔵氏はツンデレの最先端を地で行っていたと思います。
漏れは涼宮ハルヒかっ！
しかし、このスレに本当に必要なのは・・・長門有希だな・・・
実際には、朝比奈みくるみたいのばっかりだが。
み・み・みらくる・みくるんるんｗ
0518有流才蔵
2007/10/13(土) 16:23:30木に適当な順序をつければε_0になるので
実は自然数をε_0にみなせるんだよね。
0519１３２人目の素数さん
2007/10/13(土) 17:58:15時にすべてをカットしたときの手数をnとすると、
n=Hα(1)-1 α<ε0
となる。
ただし、
H0(x)=x
Hα+1(x)=Hα(x+1)
Hα(x)=Hα[x+1](x+1) (αが極限順序数のとき)
とする。
0520１３２人目の素数さん
2007/10/14(日) 08:45:17＞順序数を木で表し
kwsk
0521１３２人目の素数さん
2007/10/14(日) 15:10:360522有流才蔵
2007/10/14(日) 21:14:00初登場は2003年10月10日か。もうこの頃漏れは別スレで暴れてたな（をひ
（この流儀でいくと
漏れ様は３スレの２６４(2002年11月7日初登場)
モヤシは２スレの６９５(2002年8月8日初登場)
サカナは２スレの１４８(2002年6月20日初登場)）
じゃあ、漏れが渾名をつけてやろう。
ナゴヤンってのはどうだ（ｗ
0523１３２人目の素数さん
2007/10/14(日) 21:45:460524有流才蔵
2007/10/15(月) 16:49:07＞まずはふぃっしゅ数ver.5の定義をはっきりさせる
＞ところからはじめようと思います。
なんかでじゃぶーｗ
もちろん、対角化によって増大度を上げることはいくらでもできるよ。
ただこの場合、関数の列をどう構成するかがカギなので、
そこが記述できてないと全然意味がない。
早い話が、ＢＢだって対角化。でもこの場合関数の列を構成する
手続きが書けないから、関数を手続きとして考える場合には失格。
Hardy関数は、順序数の構成手続きによって、関数の列を構成する
手続きが決まるから、その意味では合格。
0525有流才蔵
2007/10/15(月) 17:07:24発想としてはprimitive recursive functionalを用いる
Goedelの自然数論の無矛盾性証明に通じるものか？
ちなみにprimitive recursive functionalによって
作れる関数の範囲はε_0より小さい超限帰納法による
ものと同等。
0526有流才蔵
2007/10/15(月) 21:28:09>打たれても打たれても立ち上がってくる、
>ジャンプ系の主人公
>戦隊組んだら、間違いなく赤
ふーん。じゃ、後から出てきて
Hardyだのなんだのと、エエとこどりの
ナゴヤンはさしずめクールな青か。
モヤシは・・・喫茶店のマスターだなｗ
そんでもって、漏れは悪役。
イメージとしてはレインボーマンに出てくる
死ね死ね団の団長、ミスターＫだな。
0527１３２人目の素数さん
2007/10/16(火) 06:51:43一番大きいのはH[ψ_0(Ψ)]なのかな。
>>391の方針でうまくいけば、もっと大きい関数が作れそうだけど。
0528１３２人目の素数さん
2007/10/16(火) 10:18:28より大きな帰納的関数を作れば作るほどビジービーバーが
どれだけたがの外れた増加をするのかがわかってくるな。
0529有流才蔵
2007/10/16(火) 14:27:28>過去ログによれば、
>ふぃっしゅ関数ver.1<F[ω^2]、
>ふぃっしゅ関数ver.2<F[ω^3]、
>ふぃっしゅ関数ver.3はF[ω^ω*63]程度
漏れとしては
・ver.1の評価・・・○ (6スレ526-527)
・ver.2の評価・・・△ (6スレ527-529)
・ver.3の評価・・・× (6スレ544)
(どうみてもω^ω未満。あれではω＾ωが出来たとはいえない）
0530有流才蔵
2007/10/16(火) 14:39:45たろうクン、289が正しいよ。292はまちがっとる。
さらに、ω＾ωのレベルになったら、加えたんじゃダメ。掛けなくちゃ。
したがって
>>311
＞ふぃっしゅ数バージョン５のf5(n) ≒ F[ε_0](n)
は却下。差し戻し。
0531有流才蔵
2007/10/16(火) 14:54:22力づくで間違ったな。
>m3 m2 ===> +ω
･･･
>m3 m3 m2 ===> ω^2
>m3^a m2 ===> ω^a
ここが力づくの誤り。
そんなことはふぃっしゅは書いてない。
0532有流才蔵
2007/10/16(火) 15:02:50書いてないから、これはたろうクンのオリジナルな貢献だ。
たろうクン、おめでとう。
ということで、勝手ながら
ふぃっしゅ５に対するたろう氏の解釈を入れた関数を
ふぃっしゅ＝たろう関数、いや、たろう関数、と
呼ぶことにしたい（ｗ
0533１３２人目の素数さん
2007/10/16(火) 16:50:590534有流才蔵
2007/10/16(火) 17:26:576スレ305の魚スキーのことか？
だったら、魚スキー関数だな。
魚スキーの解釈は、こういうことらしいが・・・
果たしてふぃっしゅのいう高階関数による"定義"と一致するかい？
(高階関数＝汎関数(functional)だから、
Goedelの仕事と関連づければうまくいきそうな気はするが）
＋１ １、２、３、・・・
(m2) ＋ω ω、２ω、３ω、・・・
m2^n ×ω ω、ω＾２、ω＾３、・・・
(m3) ×（ω＾ω） ω＾ω、ω^２ω、ω＾３ω、・・・
m3^n ＾ω ω＾ω、ω＾（ω＾２）、ω＾（ω＾３）、・・・
(m4) ＾（ω＾ω） ω＾（ω＾ω）、ω＾（ω＾２ω）、ω＾（ω＾３ω）、・・・
m4^n ＾＾ω ω＾（ω＾ω）、ω＾（ω＾（ω＾２））、ω＾（ω＾（ω＾３））、・・・
(m5) ＾＾（ω＾ω） ω＾（ω＾（ω＾ω））、ω＾（ω＾（ω＾２ω））、ω＾（ω＾（ω＾３ω））
・・・
もちろん、これでうまくいくのはε_0より小さい部分だけだが
0535１３２人目の素数さん
2007/10/16(火) 19:39:24> もう昔のことなんか忘れちまったよｗ
と言っている割には、よく覚えてますね。
05365-682
2007/10/16(火) 21:01:39さすがに関東地方までオフ遠征は時間がなくきついです。
東海地方でやるのなら大丈夫ですがさすがにありえないようですね。
>>528
自分がHardy関数を応用して順序数から巨大関数を
作ることを発案してから皆巨大順序数に追求してしまいましたからね。
自分も今はΩ_ωの段階からさらにΩ_Ω_ ... _ωまでの順序数を考えて、
そこからさらに [1,0] → [1_Ω_n, ... , 1_1] = [Ω_n | 1] → [ [ω | 1]_Ω_n, ...]
と多重リストと順序数を組み合わせたナゴヤ関数Ver2みたいなものも
考えてたりしています。
Ver1.1ではとりあえずF[1_ω, ... , 1_2, 1_1](x)程度にしておきます。
たろう関数とかライバル的な存在も出てきてさらに面白くなると思ってます。
0537たろう
2007/10/16(火) 21:45:51ふぃっしゅ数バージョン５の定義から単純に導いただけで、
新たな定義を加えてはいません。
だから「たろう関数」ではなく「ふぃっしゅ関数バージョン５」です。
m2 ===> +1 （f ≒ F[a] の時、 m2 f ≒ F[a+1] という意味）
m2 m2 ===> +2 （f ≒ F[a] の時、 m2 f ≒ F[a+2] という意味）
m2^a ===> +a ....☆1
ここまでは理解していただいたようなのでこの先。
m3 の定義より、
m3 m2 f (n) = m2^n f (n) で、 ........ただし、f∈M_1, n∈M_0
これと☆1より、f ≒ F[a] の時、m3 m2 f (n) = m2^n f(n) ≒ F[a+n](n) となる。
F の定義より、F[a+n](n) = F[a+ω](n) であるので、
m3 m2 ===> +ω ...☆2
またm3の定義より、
m3 m3 m2 f (n) = (m3 m2)^n f(n) で、 ........ただし、f∈M_1, n∈M_0
これと☆2より、f ≒ F[a] の時、m3 m3 m2 f (n) = (m3 m2)^n f (n) ≒ F[a+ω･n](n) となる。
F の定義より、F[a+ω･n](n) = F[a+ω^2](n) であるので、
m3 m3 m2 ===> +ω^2
0538たろう
2007/10/16(火) 22:47:30>>232 や >>282 は実はあまり大きくなく、ビジービーバーのハーディー関数的拡張と大差ないです。
つまり、B[a](n) を、
B[0](n) = n
B[a+1](n) = BB｢ B[a] ｣(n)
B[A](n) = B[A_n](n)
と定義したとき、B[a](n) ≒ M[a](n) となるようです。
（....BB｢｣ >>228 のもの）
ふぃっしゅ数V4は
>ふぃっしゅ関数ver.3はF[ω^ω*63]程度
これが正しいとすると、F4(n) ≒ B[ω^ω*63](n) 程度となります。
>>229 の CC は
B[帰納的でない最小の順序数](n) 程度となります。
>>233 は>>229 の拡張のつもりでしたが、動作が足りなくてあまり大きくないようです。
0539たろう
2007/10/16(火) 22:58:10大きな関数が作れます。
ω_1^CK (Church-Kleene ordinal)
ω_α^CK
などを使います。
テキストで見やすいように、ω_1^CK = CK, ω_α^CK = CK[α] と書くことにし、
便宜的に CK[0] = 0 とします。
CK[0] = 0
CK[a+1]：CK[a] と帰納的定義で作れない最小の順序数
CK[A]：limit CK[A_n]
となります。
CK[a+1] の収束列は、たとえば >>267 のようにします。
つまり、CK[a] と帰納的定義をある表現でn文字で行い、
その中で得られる最大の順序数を S_n としたとき、
CK[a+1] = limit S_n とします。
BB ≒ F[CK]
BB｢BB｣ ≒ F[CK･2]
M[a] ≒ B[a] ≒ F[CK･(1+a)]
CC ≒ F[CK^2]
0540たろう
2007/10/16(火) 23:23:10順序数から順序数の変換 CK[ ] を用いるとより大きな順序数が作れますが、
これを効率的に行うには以下のようにします。
T[0] = 0
T[a+1]：順序数T[a] と、順序数から順序数の変換CK[ ] と、帰納的定義で作れない最小の順序数
T[A] = lim T[A_n]
多変数化、Ωの導入、C0からC1に拡張したときのような拡張.....
などでさらに大きくすることが出来ます。
0541ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
2007/10/17(水) 01:15:05頭文字Tが登場したところで、「たろう関数」を定義しては
いかがでしょう。F[T[CK]]とか。
0542１３２人目の素数さん
2007/10/17(水) 03:25:260543有流才蔵
2007/10/17(水) 06:18:48＞m3 m2 f (n) = m2^n f (n) で、
＞またm3の定義より、
＞m3 m3 m2 f (n) = (m3 m2)^n f(n) で、
それはキミの定義だよ。ふぃっしゅの定義は全く存在しない。
＞定義から単純に導いただけ
その定義は全てキミの定義
ふぃっしゅは何も定義しなかった。できなかったんだよ。
0544有流才蔵
2007/10/17(水) 06:26:53といっても、実際にたろう氏（魚スキー氏？）がやったのは
ふぃっしゅのmnをハーディ関数で解釈しただけ。
実際に仕事したのはハーディか（ｗ
ふぃっしゅは"高階関数"といったのだから、それを生かす形で、
ハーディ関数との関係を示そう。それができてはじめて
”ふぃっしゅの主張”を汲み取ったことになる。
0545たろう
2007/10/17(水) 07:14:53>>396 の定義より
(..((m(n+1)f_n)f_{n-1})...f_1)f_0:=(..(f_n^{f_0}f_{n-1})...f_1)f_0
括弧を省略し、n => 2, f_2 => m2, f_1 => f, f_0 => n
とすると
m3 m2 f (n) = m2^n f (n)
ほとんど定義そのまま。
また、f_2 => (m3 m2) とすれば、
m3 m3 m2 f (n) = (m3 m2)^n f (n)
0546有流才蔵
2007/10/17(水) 08:22:53>n => 2, f_2 => m2, f_1 => f, f_0 => n とすると
ほら、そこがオリジナルｗ
要は
>(..((m(n+1)f_n)f_{n-1})...f_1)f_0:=(..(f_n^{f_0}f_{n-1})...f_1)f_0
ではダメなので
>(..((m(n+1)m(n))m(n-1))...m(2))f)(x):=(..(m(n)^(x)m(n-1))...m(2))f)(x)
と書くべきであった。
0547有流才蔵
2007/10/17(水) 10:58:576-52
>m~(1)=λ f_0．f_0 f_0
>m~(2)=λ f_1f_0．f_0 f_1 f_0
>・・・
>m~(n+1)=λ f_n f_{n-1} ... f_0．f_0 f_n f_{n-1} ... f_1 f_0
うーん、もう長門有希はあらわれてたんだな・・・ＯＴＬ
で、誰かこれ試したかい？
0548１３２人目の素数さん
2007/10/17(水) 12:38:49■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています