巨大数探索スレッド7
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0001１３２人目の素数さん
2006/11/19(日) 23:44:01http://www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/
前スレ、過去スレ、避難所はこのページからどうぞ。
「前の数＋1」
「1/x x→0」
「∞」
「９を延々と書き続けるプログラム」
「本日からこのスレでは、いっさいの数学的ではない話を禁止する。
私以外で検証する能力を持っている人間はいないようなので、
数学的に明確に証明できた場合以外は反論しないように。
特に今日のような低俗な煽りには徹底して放置で対応すること。」
という類の投稿は放置推奨。
0412１３２人目の素数さん
2007/09/16(日) 19:53:40バージョン5の定義ありがとうございます。
自分で計算してないのですが>>387-388を見るとやっぱりF_(ε_0)(x)に到達して
そうな感じですねぇ・・・。
ヴァージョン６楽しみにしています（笑）
>>405
なるほど。おそらくその定義がn重帰納関数の最低ラインっぽいですね。
前に言われていた所謂「正規形」ってやつかもしれません。
0413１３２人目の素数さん
2007/09/16(日) 21:02:03ﾊｧ?
04145-682
2007/09/17(月) 02:00:15ふいっしゅさんも戻って驚きです。
さて、前から放置してたナゴヤ関数について。（以後L[ω]→F[ω]に表記変更）
順序数ですが、F[F[ω](ω)]（ω）ではφ_(φ_ω)(ω)になってしまうようです。
そこで、ここで取り上げているωとは別の非加算(？)順序数Ωを使って
ωで表す順序数を変換する写像を定義できるようにします。
さらに順序数Ω以降(以後Ω_1と表記)についても同様に
その順序数(式)を変換する写像はΩ_2、Ω_3、・・・の順序数を使えばいいです。
このことを踏まえて、ナゴヤ関数Ver1.1を定義し直していきます。
それぞれの写像Fについて以下のように定義します。
F[Ω_1]：ωからなる順序数α1→β1への写像
F[Ω_2]：Ω_1、ωからなる順序数α2→β2への写像
F[Ω_n]：Ω_n-1以下からなる順序数αn→βnへの写像
F[Ω_1](λ) = F[λ](λ) (λはωで表す可算順序数)
F[Λ+n+1](λ) = F[Λ+n]^λ(λ) (ΛはΩ_1で表す順序数、^aはネスト数)
F[Λ_(Ω_1)](λ) = F[Λ_λ]（λ） (例：Λ_2 = (Ω_1)*2のとき、Λ_λ = (Ω_1)*λ)
F[F[Ω_2](Ω_1)](λ) = F[F[λ](Ω_1)]（λ）
F[Ω_n+1](Λn) = F[Λn](Λn) (Λn：Ω_nで表される順序数)
こうすれば、自然数x→可算順序数λ、可算順序数ω→別の順序数Ω_1、・・・に
置き換えたHardyFunctionやVer1のナゴヤ関数の増大度が
順序数ω、Ω_1、Ω_2へとそのまま伝わっていきます。
例えば、
F[Ω_1](ω) = F[ω](ω) ≒ φ_ω(0)
F[Ω_1](F[ω](ω)) = F[ F[ω](ω) ]（ω） ≒ φ_(φ_ω(0))(0)、
F[Ω_1+1](ω) ≒ Γ_0
F[Ω_1*2 + 1](ω)=Γ_Γ_...Γ_ω
となります。
04155-682
2007/09/17(月) 02:48:30関数の増大度について。
>>125のVebrenリスト関数と比較して、
F[Ω^2](ω) ≒ φ([2, 1][1, ω])
F[Ω^2+1](ω) ≒ φ([2, 2])
F[Ω^3](ω) ≒ φ([3, 1])
F[Ω^ω](ω) ≒ φ([ω, 1])
F[Ω^Ω + 1](ω) ≒ (λ_ω; λ_0 = ω, φ([λ_n, 1]) = λ_n+1)
（仮にφ([0, 1] [ [0,0] ])とおいてみる ）
になると推測でき、この時点で前Ver1と比べて大幅に増大するようです。
F[Ω^Ω^ ... ^Ω + 1]ではおそらく
ふぃっしゅ関数Ver5 ≒ F[ε0]
で変換元の自然数xを変換元順序数ωに置き換えたときの
増大度に匹敵すると考えられます。（多重リストVeblen関数では表記不可能か？）
F[1, 0](x) = F[F[ ... F[Ω_x](Ω_(x-1)) ... ](ω)](x)
F[n+1, 0](λn) = F[n, F[n, ... F[n, 0](Ω_λn) ... ](λ(n+1))](λn) (λnは任意Ω_nの順序数)
と置くとして、
F[1,0]以降の増大度については後で調べます。
0416ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
2007/09/17(月) 13:10:55基本関数 N→→Ｎ＞Ｎ→Ｎ→Ｎの計算方法がよく分かりませんが、
μ作用素を大きくする方法をうまく定義できたのでしょうか？
μ作用素そのものは計算可能関数と正確に一致するそうなので、
問題は「どうやってより大きいμ作用素を生成するか」という
ことになると思います。ふぃっしゅ数の場合は、μ作用素では
ありませんが作用素を大きくしていく、という考え方です。
F1のS変換,SS変換→2重帰納作用素の適用回数を増やす
F2のSS変換→2重帰納作用素の適用回数を数え上げて3重帰納
作用素を作る
F3のs(1),s(2),...s(n)→n-1重作用素の適用回数を数え上げて
n重帰納作用素を作る
F5のm(n)→「M1作用素の適用回数を数え上げるM2作用素」
の適用回数を数え上げるM3作用素の…
→この操作全体の回数を数え上げる
といったイメージです。
0417たろう
2007/09/17(月) 21:09:395スレ目の >>768 のhydra gameです。
A{ リスト }(n) で、リストには
[[[]]]や[[][]] のような文字列が入ります。
[a] で順序数ω^a 、[a][b] のようにリストを並べたもので順序数の加算をあらわし、
A{ [[[....x個....[ ].....x個.....]]] }(x)
で F[ε_0](n) 程度の増大度になるようです。
0418ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
2007/09/17(月) 22:26:14バージョン6では、F[η_0]=F[C0(2,0,0)]あたりを目標にしたいと
思いますが、順序数あるいはそれに相当する多進木のような概念を
使わずに、はたしてそこまでたどりつけるかどうか…。
とりあえず、色々と考えながら試行錯誤していきます。
>>396のようにm(1)(x)からF5(x)を生成する変換をm'(2)とします。
m'(2)は+ε_0に相当するので、>>387-388の計算でm2のところを
m'(2)におきかえれば、m2 ===> +ε_0からはじまって、
m5 m4 m3 m2 ===> ε_0*ω^ω^ω
となりそうです。だとすれば、m'(n)を
((..((m'(n)M(n-1))M(n-2))...M(2))M(1))(x)
:=((..((..((m(x)m(x-1))m(x-2))...m(n))M(n-1))...M(2)M(1))(x)
にて定義することで、m'(2)m'(1) は ε_0^2 にはなりそうです。
m(n)をm_n(0)に、m'(n)をm_n(1)に書き直すことで、
m_n(a_1,a_2,...)を定義することも可能でしょうが、まずはm'(n)の
強さを評価するところからはじめようと思います。
しかし、この様子だとm'(x)m'(x-1)...m'(1)でもε_0^ω程度という
ことになりそうで、F[η_0]まではほど遠い感じですね。
0419ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
2007/09/17(月) 23:05:25m_1(1) ≒ F[ε_0]
m_1(2) ≒ F[ε_0^ω]
m_1(3) ≒ F[ε_0^(ω*2)]
m_1(1,0) := m_1(x) ≒ F[ε_0^ω^2]
m_1(1,1) ≒ F[ε_0^(ω^2+ω)]
m_1(1,2) ≒ F[ε_0^(ω^2+2ω)]
m_1(2,0) := m_1(1,x) ≒ F[ε_0^(ω^2*2)]
m_1(1,0,0) := m_1(x,0) ≒ F[ε_0^(ω^3)]
m_1(1,(0がn個)) ≒ F[ε_0^(ω^ω)]
こんなもんかな。ε_1にも到達しなさそうですね…。
0420ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
2007/09/17(月) 23:15:25そこを多変数Akを参考にしつつもう少し工夫してみる
ことにします。
04215-682
2007/09/18(火) 00:16:21巨大数作成者同士仲間でもライバルでもいいので
お互い頑張れればいいですね。
とりあえずVer1.1のF[1,0]→F[1,1]の過程についてあげておきます。
F[1,0](x) = F[Λx](x) ( Λ(n+1) = F[Λn](Ω_(x-n-1) ),
( Λ0 = Ω_(x-1) ) (0≦n≦x, Ω_0=ωとおく)
F[1,0]^x(x) = F[F[1,0](ω)+1](x)
F[ F[1,0]^ω(ω) ](x) = F[ F[ F[1,0](Ω_1)+1 ](ω) ](x)
F[1,1](x) = F[Λx](x)
( Λ(n+1) = F[Λn](Ω_(x-n-1), Λ0 = F[1,0](Ω_(x-1)) + 1 ) (0≦n≦x)
0422ルート41
2007/09/18(火) 01:04:19アッカーマン関数の意味がやっと解ったです。サンクス
僕が書いたのは最小化をベースにしてアッカーマン関数作るという事だったんですね。
（この書き方で正しいか自分でも疑問だが）
>>416
毎回丁寧な解答ありがとうございます。僕的にはふぃっしゅ数のイメージが
一機に把握できますた。
Ｎ→→Ｎ＞Ｎ→Ｎ→Ｎは、4→→4のほうが4→4→4より大きいという当たり前
の事を書いただけです。（1.2.3は＝になりますが）矢印表記の場合は書き方
によって大きさが全然変わるので確認のために書きました。単純最後の大きな関数
を作るなら、3重回帰関数を作るよりＮ＝1の時1回帰関数 Ｎ＝2の時2重回帰関数
Ｎ＝3の時3重重重回帰関数になる関数を作る方が良いという理想論を書きたかった
だけなんですが（理論上は作れるはずだが、実際に作るのはかなり大変になるはず）
※バージョン6頑張ってください。
0423１３２人目の素数さん
2007/09/18(火) 17:15:37+ωでも*ωでも^ωでもなくω^だってのは何気にすごい。
（単にHのやり方がのろすぎるだけともいえるが）
大きい順序数を作って入れるんじゃなく根っこのやり方を変える
ことでη_0に挑戦できないものだろうか。
0424１３２人目の素数さん
2007/09/18(火) 17:34:27ヴァージョン４でもＢＢを取り入れているわけですし、手段を問わずに
ひたすらでかい数を追求するというのもありかと思います。
あくまで計算可能な範囲で・・・
Hardy functionをＢＢで比較できたらおもしろいんですけどね。
>>423
F[a](x)≒H[ω^a](x)ではなくF[a](x)＝H[ω^a](x)です。
F[0](x)＝H[1](x)
F[1](x)＝H[ω](x)
F[ω](x)＝H[ω^ω](x)
F[ω^ω](x)＝H[ω^ω^ω](x)
...
ですから結局、
F[ε_0](x)＜H[ε_0](x+1)
となりますから、根っこのやり方を変えるんじゃなく大きい順序数を作って入れることが
関数を本質的に大きくするのです。
0425１３２人目の素数さん
2007/09/18(火) 17:41:10F[ε_0](x)=H[ε_0](x)
です。
0426１３２人目の素数さん
2007/09/18(火) 18:18:33>425F[ε_0](x)≒H[ε_0](x)なら知ってます。
大きい順序数を作って入れることに相当するほかの手段を
模索したいのですよ。
根っこで1行ですむような定義をしている限り+ωがせいぜい、
よってε_0を超えられない、といいたいなら私もそう思ってます。
0427１３２人目の素数さん
2007/09/18(火) 18:46:33両辺で(ε_0)_nの取り方を固定した場合、値に関してはイコールにはなりません。
>>426
＞いいえイコールではありません。
反例をお願いします。
0428１３２人目の素数さん
2007/09/18(火) 19:17:09あ、>>110の定義に基づけばイコールになるのですね。
今まで気づかなかった…
（本来Hの定義は>>70）
0429１３２人目の素数さん
2007/09/18(火) 20:56:03H[ε_0](n) = H[ω^^n](n) < H[ω^^(n+1)](n) = F[ω^^n](n) = F[ε_0](n)
0430たろう
2007/09/18(火) 21:22:54手段を問わないなら、
int を無限長整数としたC++言語で、
int function(int a);
という関数を作る。
10000文字以内でできるfunctionのうち増加度が最大のものの１個を考えれば、
この関数は計算可能だが増大度が非常に大きい関数となる。
関数 f と g は、
ある整数aが存在し、b>a となる全ての整数b に対し f(b) > g(b) が成り立った場合に
f > g とする。
上記の関数 f のうち、g > f となる関数 gが存在しないものを、増加度が最大であるとする。
増加度が最大のうちの１個の選び方は、
プログラムの前方からの比較で小さいものを選ぶ。
μ再帰関数でも同様の関数が作れる。
定義の中に基本関数が10000回以内出現するようなμ再帰関数の中で
増大度の最大のものを１個をえらぶ。
これも増大度の非常に大きい計算可能な関数となる。
0431たろう
2007/09/18(火) 22:06:08>Hardy functionをＢＢで比較できたらおもしろいんですけどね。
>>284 で書いた通り、
H[帰納的でない最小の順序数](n) ≒ BB(n)
と言えそう。
0432ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
2007/09/19(水) 00:49:40それはそれで、ちょっと考えた事もありますが、
たとえばm(n)変換上のHardy関数を考えても順序数に
+ω^nする程度になりそうで、あまり意味のある拡張に
なりそうにないんですよね…。
まあ、あくまでも遊びなので、いろいろ考えてみようと
思います。
0433１３２人目の素数さん
2007/09/19(水) 02:16:59b>aのすべての整数に対してf(b) > g(b)であることを、
計算によって示すアルゴリズムはありますすか？
0435ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
2007/09/19(水) 20:09:17f>gを示すために、h=f-gとして、すべての整数b>aに対して
h(b)>0となることを示すアルゴリズムを考える。
b>aが成り立つb1,b2,...を順番に代入する「代入アルゴリズム」
では、有限の計算において常にmax(b1,b2,...,bn)=Bが存在する。
したがって、すべてのd>cに対してh(d)<0であるようなc>Bが
存在する、すなわちf<gである可能性がある。また、B以上で
h(x)が正負を無限に振動するため、fとgの大小関係を決定でき
ない可能性もある。このように、代入アルゴリズムではf>gを
有限時間内に決定できない。
では、代入アルゴリズム以外であれば決定できるのか？
f>gを有限時間内に決定できる一般的なアルゴリズムは存在
しない様に思いますがいかがでしょう。
0436たろう
2007/09/19(水) 21:11:25>>433 と同様の疑問と思われます。
> f>gを有限時間内に決定できる一般的なアルゴリズムは存在
> しない様に思いますがいかがでしょう。
私は上記アルゴリズムが存在するという主張はしていません。
関数を決定するアルゴリズムが存在するかどうかに関わらず、
>>430 で定義された関数は計算可能であると思いますがいかがでしょう。
計算可能な関数から特定の１個を選んでいるので当たり前です。
----
関数を決定するアルゴリズムが存在するかどうかは今のところ私にはわかりません。
10000文字以内で出来る関数は有限個しかないので、
「10000文字以内のアルゴリズムがわかっている２つの関数の大小比較が出来ないようなものが存在するか」
という問題と同値になります。
0437たろう
2007/09/19(水) 21:26:46比較するアルゴリズムが存在する関数に限定してください。
0438ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
2007/09/19(水) 22:05:01なるほど、関数fの決定が計算可能かどうかは分からない
（問題にしない）けど、関数fは明確に定義され、計算可能
である、ということですね。了解しました。
それから、ビジービーバーを小さくするアプローチはない
ですかね。なんらかの停止判定アルゴリズムを設定して、
それによって停止しないものは停止しないとみなす、
といったような形で。そのような疑似BBは計算可能で、
計算不可能なBBよりも増大度が一気に小さくなりますが、
その小さくする幅をいかに小さくするか、という問題に
帰着させます。
結局は、停止判定アルゴリズムの計算度に依存するのかな…。
0439もやしっ子
2007/09/20(木) 09:15:180440１３２人目の素数さん
2007/09/20(木) 14:59:59たとえば停止しない判定をステップ数で行うとしたら、
TMはステップ数以上の1を書くことはできないわけで。
TMが停止する十分条件……原始帰納的関数とかですね。
を状態遷移図から判定するアルゴリズムってできても
かなり難しそう。
0441１３２人目の素数さん
2007/09/20(木) 19:17:02わざわざ小さくする意味がわかんね。
0442１３２人目の素数さん
2007/09/21(金) 05:07:27具体的な値で比較できたら面白いと思いますがそれは無理かな。
たとえば、ＢＢ（６）までなら指数関数くらいで押さえられそう
ですが、ＢＢ（８）とかだとアッカーマン関数でないと追いつかない
とか。実質、H_Ω(x)=BB(x)だとするなら、BB(20)とかBB(30)は
いったいどれくらいの大きさの可算順序数を用いたH_αが必要なのかと
・・・どうアプローチしたらいいのかわかりませんが。
ヒドラ対ヘラクレスのような単純なアルゴリズムでH_[ε_0](x)
になってしまうらしいですからやはりＢＢは人智を超えているのでしょう
ね。といろいろ想像などしています。
0443１３２人目の素数さん
2007/09/21(金) 17:03:390444１３２人目の素数さん
2007/09/21(金) 22:06:08操作を繰り返すチューリングマシンなのか、それとも数論の答えを求めるような計算をする
チューリングマシンなのか、はたまた全く別物なのか…。
0445１３２人目の素数さん
2007/09/22(土) 01:04:17たまたま0を入れたら大きな数が出てくる壊れた機械だ。
0446１３２人目の素数さん
2007/09/22(土) 08:45:14例えば、コラッツの予想（偶数なら2で割り、奇数なら3倍して1を足していくといつかは1になる）で
ルールは単純なのにも関わらず、いつかは1になることの理由がなかなか分からないように。
（コラッツの予想が正しいとは限らないが）
04475-682
2007/09/23(日) 23:59:39F[1,0](Ω_n) = F[ F[1,0](Ω_(n+1)) ](Ω_n)とする。
F[Ω_1](F[1,0](ω)) = F[ F[1,0](ω) ](F[1,0](ω)) = F[Λω](F[1,0](ω))
= F[ F[ ... F[Ω_x] ... ](ω) ](F[1,0](ω))
F[1,0](F[1,0](ω)) = F[ F[1,0](Ω_1) ](F[1,0](ω))
= F[ F[ ... F[Ω_(x+1)] ... ](Ω_1) ](F[1,0](ω))
Ω_ω→Ω_ω+1への定義が非常に困難なのであえて
F[1, 0](λ) = F[F ... F[Ω_ω] ... ](Ω_1)](λ)
と順序数λの形に関わらずΩ_ωに固定収束で定義しています。
この場合、F[1, 1](ω)でネスト元がF[1, 0](Ω_ω)でΩ_(ω*2)に相当します。
またHowardFunction ψ(ε_(Ω+1))については
F[Ω_1^Ω_1^ ... ](ω) = F[ε_(Ω+1)](ω) で達すると考えられます。
F[ F[Ω_2 + 1](Ω_1) ](ω) で ψ(Γ_(Ω+1) 程度になるようです。
0448ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
2007/09/24(月) 18:29:13http://gyafun.jp/ln/largenumber.pdf
0449１３２人目の素数さん
2007/09/24(月) 19:30:14おお、乙！
まだ途中までしか見てないけど、すごい丁寧だ
0450１３２人目の素数さん
2007/09/24(月) 19:45:07グラハム数個の乙!
0451１３２人目の素数さん
2007/09/24(月) 20:06:16そういえばなんで途中で文体を変えているの?
0452１３２人目の素数さん
2007/09/24(月) 20:06:55ふりかえってみるとまさかこんなに高度なところまでくるとは
思いませんでしたね。
0453１３２人目の素数さん
2007/09/24(月) 20:21:21H_0(x)=x
H_α+1(x)=H_α(x+1)
H_α(x)=H_α_x(x) (αが極限順序数のとき)
Hydra gameとの対応を考えた場合はすこし変える必要がありますが、
これでよいと思います。ほとんどの論文等ではH_0(x)=xとしています。
0454１３２人目の素数さん
2007/09/24(月) 20:39:11何て少ないんだ……
おまいには人の心というものがないのか！
0455１３２人目の素数さん
2007/09/24(月) 21:21:28F_αをx回繰り返す関数
・F_α+2(x)
F_αをx回繰り返す関数をx回繰り返す関数
・F_α+ω(x)
F_αをx回繰り返す関数をx回繰り返す関数をx回繰り返す関数を………というのをx回繰り返す関数
・F_α+ω+1(x)
F_αをx回繰り返す関数をx回繰り返す関数をx回繰り返す関数を………というのをx回繰り返す関数をx回繰り返す関数
・F_α+ω*2(x)
F_αをx回繰り返す関数をx回繰り返す関数をx回繰り返す関数を………というのをx回繰り返す関数をx回繰り返す関数を………というのをx回繰り返す関数
・F_α+ω^2(x)
F_αをx回繰り返す関数をx回繰り返す関数を………というのをx回繰り返す関数をx回繰り返す関数を………というのを………
このようなことをx回繰り返す関数
・F_α+ω*3(x)
F_αをx回繰り返す関数をx回繰り返す関数を………というのをx回繰り返す関数をx回繰り返す関数を………というのを………
このようなことをx回繰り返す関数をx回繰り返す関数を………というのをx回繰り返す関数をx回繰り返す関数を………というのを………
このようなことを………
このような………
この……… って感じのことをx回繰り返す関数
・F_α+ω*4(x)
めんどい
・F_α+ω*5(x)
めんどいをx回繰り返す関数を………
アーメン
0456１３２人目の素数さん
2007/09/24(月) 21:29:480457ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
2007/09/25(火) 01:37:32なんとなく、気分で変えてみました。
が、やはり統一しようかな。
>>453
ありがとうございます。
Hardyの説明は手強そうです。
そこまで行くのはまだ先のことになると思いますが、
とりあえず手元のソースファイルを訂正しておきました。
0458１３２人目の素数さん
2007/09/27(木) 03:52:12の表記法を解説していただけるというのはありがたいですね。
自分には数学的知識や英語力が不足しているのか、読んでも理解できなかったので。
0459１３２人目の素数さん
2007/09/27(木) 17:01:250460ルート41
2007/09/28(金) 20:49:11命数法に上数、中数、下数があり、我々は普段中数を使用している訳だが。
(無量大数は下数なら10＾20、中数なら10＾68、上数なら10＾262144となる。)
この下数や上数の考えかたで矢印記号を考えてみました。
まずは上数矢印記号から
↑の定義は以下のようになる。
a↑b＝a＾a＾・・・＾a ※aの数がb＾b個となる
例）3↑4＝3＾3＾・・・3＾3 ※3の数が256個
a↑b↑c＝a↑（a↑（a↑・・・a↑b））） ※（）がb↑b回となる
例）3↑4↑5↑＝3↑(3↑（3↑・・・（3↑4））） ※（）が5↑5回
タワー表記では普通このような表記をしないが、矢印記号の統一を図るため
上数矢印記号では上記のように表記しました。
a↑b↑c↑d＝（a↑b↑（a↑b↑・・・（a↑b↑c））） ※（）がd↑d↑d回となる
例）3↑3↑3↑4＝3↑3↑（3↑3↑（3↑3↑・・・（3↑3↑3））） ※（）が4↑4↑4回
ちなみに、（3↑3↑3）が130個で確実にグラハム数を超えると推測されます。
a↑↑b＝a↑a↑・・・a↑a ※Ｎの数がb↑b個となる
例）3↑↑4＝3↑3↑・・・↑3↑3 で3の数が4↑4個
a↑↑↑b＝a↑↑(a↑↑（a↑↑・・・（a↑↑a））） ※（）がb↑↑b回となる
例）3↑↑↑4＝3↑↑(3↑↑（3↑↑・・・（3↑↑3））） ※（）が4↑↑4回
0461ルート41
2007/09/28(金) 20:50:15a→b＝a↑↑・・・↑↑a ※↑の数がb↑b
例）3→4＝3↑↑・・・↑↑3 ※↑の数が4↑4個
上数矢印 3→3でコンウェイのチェーン表記で表現できない程大きくなると推測されます。
a→b→cとa→→bの変換は↑と一緒
→の次は↓となり
a↓b＝a→→・・・→→a ※→の数がb→b個となる
以降。←、2回転目↑、2回転→と繰り返していく。
最後に矢印回転の表記を○で表すと
a○b＝a←a ※←はb↑b回転目の←となる。
例）3○3＝3←3 ※←は3↑3回転目の←
まあ、通常の矢印記号より遥かに大きい数ではあるが、かなり無節操。その上、
アッカーマン関数を工夫すれば簡単に抜けるだろうし、ふぃっしゅ数バージョン5、
ｂｂ関数、ωからみれば無に等しいけど。
0462ルート41
2007/09/28(金) 20:51:08a↑b＝a＾a＾a・・・＾a ※aの数がb個
（通常のa↑↑bから始めるよりa↑bから始めた方が解りやすいので上記のように表記）
例）3↑4＝3＾3＾3＾3
a↑↑b＝a↑（a↑b）
a↑↑↑b＝a↑（a↑（a↑b）
例）3↑↑↑4＝3↑（3↑（3↑4）
a→b＝a↑↑・・・↑↑a ※↑の数がb個
（これも通常のa→b→cよりa→bとした方が解りやすいので上記のように表記）
例）3→4＝3↑↑↑↑3
a→→b＝a→（a→b）
例）3→→4＝3→（3→4）
なお、a→b→c→・・・→zの変換はタワー表記↑で行われないので。矢印記号の統一を
図るため、下数矢印表記では行わないことにしています。
0463ルート41
2007/09/28(金) 20:51:49a○b＝a←a ※b回転目の←
例）3○4＝3←3 ※4回転目の←ｙ
下数矢印記号ならグラハム数を超えるのは3↓130と推測されます。
また、下数矢印記号のa○bは上数矢印のa↑↑bより
小さい値を示めします。（ａ≧2でｂ≧2の時）
僕自身は最初、通常の矢印記号を間違って下数矢印記号のように理解しておりりました。
なお、コンウェイのチェーン表記
ａ→→ａ→→ａ→→ａ
の正しい計算方法が判らないため、
ａ→ａ→ａ→ａ
と同じ計算をすると仮定しています。（その計算も膨大過ぎるため、結果は推測です）
0464１３２人目の素数さん
2007/09/28(金) 21:03:24a→→a→→a→→aは
(a→→(a→→(a→→a)))の順で計算すると僕は思っています（つまり最後から)
0465ルート41
2007/09/28(金) 22:43:32その計算ならコンウェインのチェーンもそれほど大きくならなくてすみますよね。
仮に
Ａ→→ｂ→→ｃ＝Ａ→→（Ａ→→（ｂ-1）→→ｃ）→→（ｃ-1）
だった場合
3→→3→→3＝3→→（3→→26）
3→→3→→4≒3→→（3→→・・・（3→→3）※（）の数が49個
と物凄い勢いで（）が増えていきますからね。
これで行くと、矢印回転の意味合いが変わってきますからね。
0466たろう
2007/09/29(土) 00:12:25■上数定義
↑↑↑ の定義は合ってる？
↑から↑↑の変化に比べて、↑↑から↑↑↑の変化が小さすぎる。
↑↑↑↑以降の定義も↑↑から↑↑↑に増やした場合と同じ様だとすると、
a○n でやっとコンウェイのチェーンn個のn位の大きさ。
a↑↑b↑↑c や a↑↑b↑↑c↑↑d を a↑b↑c やa↑b↑c↑d と同じように定義して、
a↑↑↑b = a↑↑a↑↑....↑↑a
としないと。
これだと、a→n でコンウェイのチェーンn個のn位の大きさ。
■下数定義
a○b でやっとアッカーマン関数と同程度になるような気がする。
3↓130 ではぜんぜんグラハム数に到達しないんじゃ....
0467１３２人目の素数さん
2007/09/29(土) 07:53:52Ａ→→ｂ→→ｃ＝Ａ→→（Ａ→→（ｂ-1）→→ｃ）→→（ｃ-1）
これは盲点でした確かに凄いことになりますね
0468ルート41
2007/09/29(土) 11:59:02上数定義はご指摘の通り。
Ａ↑↑ｂ↑↑ｃ＝Ａ↑↑（Ａ↑↑・・・（Ａ↑↑ｂ）※（ ）の数ｃ↑↑ｃ
A↑↑↑ｂ＝A↑↑A↑↑・・・↑↑A ※（↑↑）の数がｂ↑↑ｂ
が抜けていました。
僕はタワー表記を
3↑↑↑↑3
＝3↑↑↑（3↑↑↑3）
＝3↑↑↑（3↑↑（3↑↑3）
＝3↑↑（3↑↑（3↑↑（3↑↑3）
と計算出来ると間違えておりました。勉強になりました。
独学でやっていると間違った計算をそのまま使用してしまいますね。
ところで、矢印2回転目の↑はこのスレではタワーの計算で定義して
るんですかね？それともチェーンの計算方法？
0469１３２人目の素数さん
2007/09/29(土) 15:57:31それはおそらくチェーンでしょう(↑2)はチェーンよりも上位の矢印なわけですし
0470１３２人目の素数さん
2007/09/29(土) 16:49:54定義をまとめておきます。
参考：チェーンとの対応は(a→b→...→x→y→z)=↑1(a,b,...,x,y,z)
タワーとの対応は(a↑...c個...↑b)=(a→b→c)=↑1(a,b,c)
以下a,b,...,zは全て自然数(>0)とします。
まず多変数関数↑1を次で定めます。
↑1(a):=a
↑1(a,b):=a^b
3変数以上に対しては、
↑1(a,b,...,x,y,z):=↑1(a,b,...,x,y) (y=1 or z=1)
↑1(a,b,...,x,y,z):=↑1(a,b,...,x,↑1(a,b,...,x,y-1,z),z-1) (y>1,z>1)
次に多変数関数↑n-1から、多変数関数↑nを作ります(n>1)。方法は、
↑n(a):=a
↑n(a,b):=a^b
↑n(a,b,c):=a^b (b=1 or c=1)
↑n(a,b,2):=↑n-1(a,a,...,a) (aがb個)
↑n(a,b,c):=↑n(a,↑n(a,b-1,c),c-1) (b>1,c>2)
4変数以上に対しては、
↑n(a,b,...,x,y,z):=↑n(a,b,...,x,y) (y=1 or z=1)
↑n(a,b,...,x,y,z):=↑n(a,b,...,x,↑n(a,b,...,x,y-1,z),z-1) (y>1,z>1)
0471ルート41
2007/09/29(土) 17:13:49回答ありがとうございます。
矢印回転はチェーンの計算を基本にしているんですね。
ただし、コンウェインのチェーン表記のA→→ｂ＝A→A→・・・→A ※Aの数がB個
A→→→ｂ＝A→→（A→→A→→・・・→→A）※( ）無いのAの数がｂ個
は含まないみたいですね。
0472１３２人目の素数さん
2007/09/29(土) 21:08:34（何を検索していたのかは忘れましたが･･･）
その「暴力的」な増加（というか爆発と表現する方が適切か？）の先に得られるグラハム数に驚愕しました。
また同時にえも云われぬ高揚感を抱きました。
それからすぐに巨大数研究室のページに辿り付き、過去スレの１～６を貪るように読みふけりました。
正直、かなり序盤の方で僕の理解を超える議論がなされていましたが
巨大数探索（今となってはこの表現は不適当でしょうが）スレッドには
ログを読むことを放棄させない魅力、というかなんらかの魔力のようなものがあります。
0473４７２ですが･･･
2007/09/29(土) 21:10:02アッカーマン関数の爆発具合はなんだか凄い、というのも分かります。
熱心に議論している諸氏に対して不謹慎かもしれませんが
スレの途中に出てくるプロジェクトXやRPG風の記載をおもしろく読んでいる程度です。
そんな僕ですがひとつ疑問があります。
今更すぎてスレ汚しなのは承知していますが恥をしのんで聞かせてください。
Hardy functionについて順序数ωが理解できません。
自然数全体集合についての最小の無限順序数がωとのことですが
「つまりωは自然数ではない」との理解でいいのでしょうか？
自然数 → 整数 → 有理数 → 実数･･･というような広がりとは根本的に異なるのでしょうか？
0474ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
2007/10/01(月) 01:03:09「ωは自然数ではない」との理解でいいです。
0475ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
2007/10/01(月) 01:06:09いたところです。
A(1,0,2,1,2)がバード数よりも大きい事が分かりました。
0476１３２人目の素数さん
2007/10/01(月) 17:43:33ど、どういうことですか?
0と1と2しかないのに
0477１３２人目の素数さん
2007/10/01(月) 18:00:18http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A7%E3%83%96%E3%83%AC%E3%83%B3%E9%9A%8E%E5%B1%A4
0478ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
2007/10/01(月) 21:14:03細かい計算は、おいおいアップする文書に書く予定です。
興味のある人は楽しみにしていてください。
Aの定義にしたがって計算して行くと、
A(1,0,0,0,x)=A(x,0,0,x)≒↑x(x,x,x)
A(1,0,0,n,x)>X_n(x)
A(1,0,0,1,0)=3
A(1,0,0,2,0)≒↑3(3,3,3)>G
A(1,0,0,3,0)>↑G(3,3,4)=N
A(1,0,1,4,0)>H
A(1,0,1,5,0)>X_H(N)
A(1,0,2,1,2)>B(バード数)
といった感じになります。細かい計算をしなくても、
バード数の定義の X_n(a) の入れ子操作n回 ≒ F[ω^3+ω+1](n)
A(1,0,2,1,n) ≒ F[ω^3+ω*2+1](n)
から考えると妥当な結果だと思います。
> 0と1と2しかないのに
1だけでも十分ですよ。
A(1,1,1,1,1) > A(1,1,1,0,B) ですから。
0479たろう
2007/10/02(火) 00:04:590480たろう
2007/10/02(火) 00:23:17X[0](n) = ↑n(n,n,n)
X[m+1](n) = X[m]^n(n)
N=↑G(3,3,4)
f(n) = X[n](N)
バード数 = f^(f^2(N)+1) (N)
※↑n(n,n,n) の定義は「巨大数探索スレッド５」の >>7
※n, m = 1,2,3,....
-------------------------
であってるかな？
g(n) = X[n](n) とすると、
g(2) > N となって、g^(n+1)(2) > f^n(N) となり、
バード数 = f^(f^2(N)+1) (N) < g^(g^3(2)+2)(2) となる。
g(n) < Ak(1,0,1,0,2n) から、
g^n(2) < A(1,0,1,1,2n) となり、
g^(g^3(2)+2)(2) < Ak(1,0,1,1,Ak(1,0,1,1,6)*2+4) < Ak(1,0,1,1,Ak(1,0,1,1,Ak(1,0,1,2,0))) = Ak(1,0,1,2,2)
よって バード数 < Ak(1,0,1,2,2)
0481１３２人目の素数さん
2007/10/02(火) 14:02:5950%くらいはわかりました、しかし5変数でこれならn変数akとかはどうなってしまうのだろう?
0482１３２人目の素数さん
2007/10/02(火) 18:42:380483１３２人目の素数さん
2007/10/02(火) 18:47:09じゃあH[ε_0]のほうがはるかにでかいんですね,すごいぞHardy function
0484１３２人目の素数さん
2007/10/02(火) 20:34:140485１３２人目の素数さん
2007/10/02(火) 21:21:21でかいことはわかっているがどれくらいでかいかさっぱりわからんからなぁ。
0486ルート41
2007/10/02(火) 22:04:47＞＞468の修正定義で計算し直してみました。
下数矢印でグラハム数を表記すると
3○（3○・・・（3↓（3→（3↑3）※3○（が63個と計算できました。
ただ、上数矢印の方なんですが、コンウエインのチエーン表記が
4→4→4→9＜4→4→4→3→2であり
（最後の数が多き時よりチェーンを伸ばして3→2にした方が大きい）
a→a→・・・→3→2＝a→a→・・・（a→a→・・・～（a→a→・・・→a)
※Aの数がｎ個の場合（ ）の数が（A→A→・・・→A）Aがｎ個
と計算で出ます。
例）4→4→4→3→2＝（4→4→4→（4→4→4→（・・・（4→4→4）
（ ）の数が4→4→4個
すると上数矢印が
a→a→・・・→a＝a→a→・・・（a→a→・・・～（a→a→・・・→a)
※Aの数が（ｎ+1）個の場合（ ）の数が（A→A→・・・→A）Aがｎ個
となるので、チェーンｎ個のｎに相当すると計算がでたんですが？
例）4→4→4→4＝（4→4→4→（4→4→4→（・・・（4→4→4）
（ ）の数が4→4→4個
また、コンウェインのa→→→・・・→a（右の数がｎ個）と
上数矢印のa↑↑↑・・・↑a（↑がｎ+1個）が同程度になる。
まあ、上のA(1.0.2.1.0）と比べると無に等しいですが。
0487ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
2007/10/02(火) 22:56:33なるほど、そうやって計算するんですね。
たとえばグラハム数だと
f(n)=3→3→nとすると
f(n)<A(1,0,n+2) から
f^n(n)<A(1,1,n+2) となり
グラハム数 = f^64(4) < A(1,1,66) < A(1,1,A(1,2,1)) = A(1,2,2)
よって グラハム数 < A(1,2,2)
といった感じかな。
たぶん A(1,2,1) = A(1,1,61) < グラハム数 < A(1,2,2)
0488ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
2007/10/03(水) 00:49:06http://www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/log/ln023.html
ここの320がF1の定義、329-331がS変換の計算。
S変換をn回施した後のg(x) = A(n-1,x,x)
S変換を2回施した後のg(2) = A(1,2,2) > グラハム数
0489ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
2007/10/03(水) 00:59:22F3改良型
関数f(x)からg(x)への写像s(n) (n>0)を以下のように定める。
s(1)f:=g; g(x)=f^x(x) [原始帰納]
s(n)f:=g; g(x)=[s(n-1)^x]f(x)f (n>1) [n重帰納]
（以下略）
（注）旧F3のs(n)が、新F3のs(n+1)に相当する。
このとき、f(x)=x+1として
[s(1)^a1][s(2)^a2]...[s(n)^an]f(x) = A(an,...a2,a1,x)
0490ルート41
2007/10/03(水) 03:50:22>>486です。
3→3→3→4と3→3→4→3を計算すなおして自分の間違いに築きました。
チェーン表記は僕の理解より大きな数字なんですね。
0491１３２人目の素数さん
2007/10/03(水) 17:35:23F_α+ω^3(x)で矢印回転関数を超えてしまった
0492１３２人目の素数さん
2007/10/05(金) 00:55:350493１３２人目の素数さん
2007/10/06(土) 04:39:09＞n文字（またはn単語、nトークンなど） で表せる最大の可算順序数を
＞o(n) とした場合、この極限 lim o は可算なのだろうか？
＞
＞可算だとすると、
＞帰納的定義では到達できないほど大きな可算順序数が存在することになる。
＞
＞非可算（つまりΩ）になるとすると、
＞可算順序数の列で、極限が非加算になるものが存在することになる。
結局これってどっちなの？ビジービーバーっぽいけど…
可算だとしたらBB(x)に匹敵するH[可算順序数](x)が存在するってこと
になるのでは？
0494１３２人目の素数さん
2007/10/06(土) 13:19:30グラハム数の大きさに仰天していた時代がなつかしい、いまじゃこんな（相対的に）小さい
数になってる
0495１３２人目の素数さん
2007/10/07(日) 01:53:15その文だと分かりにくいが、ω_1^CKのことか
ω^1_CKなら、可算かつ計算不可能な順序数
0496１３２人目の素数さん
2007/10/07(日) 02:01:32って、>>268-273で既に答えられてるじゃないか
というか、可算のものを用いて可算ステップの構成を行ったとき、
その結果は絶対に可算だよ。
0497もやしっ子
2007/10/07(日) 02:30:24場所は文京区シビックセンター和室(と思われます。)
前回は告知がグダグダだったのでトータル2人でした。
11/3あたり場所取りできるかも(他力本願)なので初心者からガチの方まで
参加して頂ければ幸せです。
日程、場所は変更することがあります。
気になった方はメール欄のアドレスに送ってどうのこうのして頂ければ。
特にガチで戦える方、切実にご教授を望みます。素人計算だけでは無理です。
0498１３２人目の素数さん
2007/10/07(日) 05:01:060499もやしっ子
2007/10/07(日) 16:41:39「ねぎ姉さん」の作者だからです。
0500１３２人目の素数さん
2007/10/07(日) 21:58:04東大でゼミをやると聞いて最近驚いたばかりなのに。
0501１３２人目の素数さん
2007/10/07(日) 23:47:26もやしっ子だったのが驚き
0502１３２人目の素数さん
2007/10/08(月) 08:07:580503１３２人目の素数さん
2007/10/08(月) 10:44:55, イ)ィ -─ ──- ､ﾐヽ
ノ ／,．-‐'"´ ｀ヾj ii / Λ
,ｲ／／ ^ヽj(二ﾌ'"´￣｀ヾ､ﾉｲ{
ノ/,／ミ三ﾆｦ´ ﾞ､ﾉi!
{V /ミ三二,ｲ , -─ Yｿ
ﾚ'/三二彡ｲ .:ィこﾗ ;:こﾗ j{
V;;;::. ;ｦヾ!V ｰ '′ i ｰ ' ｿ
Vﾆﾐ( 入 ､ r j ,′
ヾﾐ､｀ゝ ｀ ｰ--‐'ゞﾆ<‐-イ
ヽ ヽ -''ﾆﾆ‐ /
| ｀､ ⌒ ,/
| ＞ ---- r‐'´
ヽ＿ |
ヽ ＿ ＿ 」
ググレカス [ gugurecus ]
（西暦一世紀前半～没年不明）
0504１３２人目の素数さん
2007/10/08(月) 12:51:510505ルート41
2007/10/11(木) 16:36:09定義しなおしてみました。今度は矢印回転でｎ重帰納関数になったと思うんですが。
段落ごとに整理して定義してみます。
①ａ↑0＝ａ ａ↑ｂ＝a＾a＾・・・a＾a ※＾の数がｂ個
例）3↑1＝3＾3
3↑3＝3＾3＾3＾3
②ａ↑↑0＝ａ ※以降右の数字が0のときはａとなります。
ａ↑↑ｂ＝ａ↑（ａ↑↑（ｂ-1）） ※タワーの計算と一緒
例）3↑↑2＝3↑（3↑3）
3↑↑3＝3↑（3↑（3↑3））
③ａ↑↑↑ｂ＝ａ↑（ａ↑↑↑（ｂ-1））
1-①ａ→↑ｂ＝ａ↑↑・・・↑ａ ※↑の数がｂ個
例）3→↑4＝3↑↑↑↑3
1-②ａ→↑↑ｂ＝ａ→↑（ａ→↑↑（ｂ-1））
例）3→↑↑4＝3→↑（3→↑（3→↑（3→↑3）））
2-①ａ→→↑ｂ＝ａ→↑↑・・・↑ａ ※↑の数がｂ個
例） 3→→↑4＝3→↑↑↑↑4
2-②ａ→→↑↑ｂ＝ａ→→↑（ａ→→↑↑（ｂ-1））
※→を伸ばす操作が2重帰納関数
0506ルート41
2007/10/11(木) 16:37:401-1-② ａ↓→↑↑ｂ＝ａ↓→↑（ａ↓→↑↑（ｂ-1））
1-2-① ａ↓→→↑ｂ＝ａ↓→↑↑・・・↑ａ ※↑の数がｂ個
2-1-① ａ↓↓→↑ｂ＝ａ↓→→・・・→↑ａ ※→の数がｂ個
※↓を増やす操作が3重帰納関数
矢印の回転数を○で表すと
ａ○ｂ＝ａ←↓→↑←・・・→↑ａ ※矢印記号がｂ個
※ｂの数値を増やす操作がｎ重帰納関数
ここまで書く気がつく人も多いと思いますが、↓→↑の記号の意味を
左の段階を表す1-1-①のほうが簡単に表してます。
そこで実際の上数矢印は
ａ（ｚ-ｙ-・・・ーｆ-ｅ-ｄ-↑ｃ）ｂと表記します。
例） 7（3-2-4-↑5）6≒7←←7←←7←←7←←6←←5
※コンウエインのチェーン表記の→→の定理を含んだ矢印回転表記です。
また、グラハム数＝3（1-↑1）64となります。
0507133人目の素数さん
2007/10/11(木) 20:20:320508たろう
2007/10/11(木) 22:30:56↑[Ｘ, 0] = N
↑[□, 1, a+1] = N ^ ↑[1, a]
↑[□, 1, 1, △, a+1] = ↑[a+1, △, N]
↑[Ｘ, b+2, 1, △, a+1] = ↑[Ｘ, b+1, a+1, △, N]
↑[Ｘ, b+2, a+1] = ↑[Ｘ, b+1, ↑[Ｘ, b+2, a] ]
N○a = ↑[1がa個, N]
ただし、
a, b : 0以上の整数
N: 1以上の整数
□: 0個以上の0
△: 0個以上の1
Ｘ: 0個以上の0以上の整数
まとめるとこんな感じかな？
③ａ↑↑↑ｂ＝ａ↑（ａ↑↑↑（ｂ-1））
これは
③ａ↑↑↑ｂ＝ａ↑↑（ａ↑↑↑（ｂ-1））
これの間違いですよね？
0509ルート41
2007/10/11(木) 22:38:34ご指摘の通り間違いです。訂正ありがとうございます。
0510もやしっ子
2007/10/12(金) 03:38:26ふぃっしゅしゅ氏とメールでコンタクトを取っています。
僕と遊んで頂けるようなので、2人だと寂しいから誰か来ませんか。
当日の内容は、集まったメンツと流れ次第で決める感じで。
0511有流才蔵
2007/10/12(金) 18:13:35ちなみにHNは「うるさいぞう」って読むんだよｗ
実は関東在住でヒマだから行ってやってもいいけど
もう昔のことなんか忘れちまったよｗ
ちょっと過去ログみたら、モヤシが、カナモリの本持ってるって書いてあって
「をひをひ、そこまでやるか。でも、オレも買ったけど」なんちってｗ
そういえば、どっかの集合論フリークのブログで0#の話書いてあったな。
今のオレはあの程度でもうおなか一杯っていうか、別方面に関心があるんで。
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