3変数アッカーマン関数
A(x+1,y+1,z+1) = A(x,A(x+1,y,A(x+1,y+1,z)),A(x+1,y+1,z)))
が3重帰納 F[ω^2] であることの証明

A(x+1,y+1,z) からAへの代入(合成)2回で A(x+1,y+1,z+1)ができる
→ zに+1する操作は合成の操作

Z=A(x+1,y+1,z)-a (Z > z+1) とすると、
f=A(x+1,y,Z) からg=A(x+1,y+1,Z)を合成と原始帰納で生成できる。
(1) Zをa増やす → A(x+1,y,A(x+1,y+1,z))
(2) A(x,y,A(x+1,y+1,z))のyに代入 → A(x+1,y+1,z+1)
(3) zをZ-(z+1)増やす (zを増やす操作を数え上げるので原始帰納)
したがって、yに+1するのは原始帰納

Y=A(x+1,y,Z)-bとすると、
f=A(x,Y,Z)からg=A(x+1,Y,Z)を3番目の引数を増やす原始帰納と
2番目の引数を増やす2重帰納で生成できるので、xへの+1は2重帰納

A(x,y,z)はxへの+1を数え上げるので3重帰納