俺用まとめ。

足し算a+bは1を足すのをb回繰り返す
掛け算a*bはaを足すのをb回繰り返す
階乗a^bはaかけるのをb回繰り返す
タワーa↑↑bはaをb乗するのをb回繰り返す
タワーa↑↑↑bはa↑↑bをb回繰り返す
タワーa↑^nbはa↑(n-1個)bをb回繰り返す
これを改良したのがコンウェイのチェーン表記

アッカーマン関数
　原始帰納的でない帰納的関数
　　ack(0,n)=n+1
　　ack(1,n)=n+2
　　ack(2,n)=2*n+3
　　ack(k,n)はack(k-1,n)と階乗を使って表わせる。

以下、俺の理解
バード数
　タワーと、グラハム数を使った関数を用いた数。
ふぃっしゅ数
　バージョン1のS変換は↑^nのこと
　その次のS変換(SS変換?)は↑の代わりにアッカーマン関数を使ったもの
　それらの変換を使って定義した数
ビジービーバー関数
　どんな計算可能な関数よりも増加率の大きい関数。
　「じゃあ、俺今まで出た一番でかい関数+1ね。」っていうズルと一緒
ハーディ関数：ω(無限順序数のうち最小のもの)が計算可能でないのでズルに思える。

多分、S変換とバード数の回転だと、初期の値の振る舞いはバード数が勝つ(グラハム数を使っているため)が
基本的にタワーよりはアッカーマン関数のほうが増加率が大きいので
グラハム数を...回適用する程度の差は吸収されて、S変換を使った数のほうが大きくなるように感じる。