英語版Wikipediaには、ψの拡張法の方針も載っていたので、それを定義してみました。
　ψ_α(β)は、0に対して加法、Veblen関数、ψを繰り返し適用しても
　作ることのできない、濃度がω_α(α番目の無限基数)の最小の順序数である。
　ただし、ψの添字として用いる順序数を除いては、ψはβより小さい順序数にのみ適用する。
最後の行では、例えばψ_[ψ_0(1)](0)=ψ_[ψ_0(1)](1)＜ψ_[ψ_0(1)](2)のような
不自然なことを起こさないために、添字ではψを自由に使えるようにしてあります。

濃度に関しては、次の性質だけ理解しておけば十分だと思います。
　ω以上の順序数には、濃度として一つの無限基数が対応する。
　可算順序数の濃度は、ω(=ω_0)である。
　α＜βならば、濃度ω_αの順序数＜濃度ω_βの順序数である。
　濃度ω_α以下の順序数の収束列は、濃度ω_α以下の順序数に収束する。
最後の行は、「以下」であって「未満」ではありません。
例えば、ω_nはω_ω未満の順序数の収束列ですが、ω_ωに収束します。

添字付きψで定義される最大の非可算順序数はω_ω_…_0の極限です。
この順序数を仮にΨと書くことにすると、
添字付きψで定義される最大の可算順序数は、ψ_0(Ψ)となります。