ψで表された順序数への収束列は、おそらく以下のように定まるはずです。
　α=ψ(0)のとき、α_0=φ_0(0), α_(n+1)=φ_(α_n)(0)
　α=ψ(β+1)のとき、α_0=ψ(β)+1, α_(n+1)=φ_(α_n)(0)
　α=ψ(β)(βは収束列の定義された順序数)のとき、α_n=ψ(β_n)
　α=ψ(β)(βは収束列の定義されていない非可算順序数)のときは、
　以下の手順で収束列を定める。
　　まず、βに注目する。
　　注目する順序数がΩになるまで、以下の手順を繰り返す。
　　　注目する順序数が和のときは、一番右の項に注目する。
　　　注目する順序数がφ_γ(δ)の形のときは、以下のようにする。
　　　　δ=0のときは、γに注目する。
　　　　δ=δ'+1のときは、δをφ_γ(δ')+1に置き換えてからγに注目する。
　　　　その他のときは、δに注目する。
　　ψ(β)の、注目するΩをxで置き換えた関数をf(x)とする。(f(x)は順序数の関数)
　　α_0=0, α_(n+1)=f(α_n)とする。
最後の手順を、具体例でやってみます。(かなり複雑な例ですが)
　ψ(φ_(φ_(φ_Ω(Ω+Ω))(Ω+2))(0))でやってみると、
　まずはφ_(φ_(φ_Ω(Ω+Ω))(Ω+2))(0)に注目します。
　( )の中が0なので、添え字のφ_(φ_Ω(Ω+Ω))(Ω+2)に注目します。
　( )の中が+1の形なので、Ω+2をφ_(φ_Ω(Ω+Ω))(Ω+1)+1に置き換えて、
　添え字のφ_Ω(Ω+Ω)に注目します。
　今度は( )の中が0でも+1の形でもないので、Ω+Ωに注目します。
　Ω+Ωは和なので、右のΩに注目します。
　注目したΩをxに変えると、
　f(x)=ψ(φ_(φ_(φ_Ω(Ω+x))(φ_(φ_Ω(Ω+Ω))(Ω+1)+1))(0))
　となります。　この関数を入れ子にしたものが収束列となります。
この収束列の定義でHardy functionも使ってF[ψ(Γ_(Ω+1))]という関数を作ると、
ものすごく大きな自然数の関数となるはずです。
ただし、Γ_(Ω+1)の収束列はα_0=Ω+1, α_(n+1)=φ_(α_n)(0)です。