βへの収束列がβ(n)の場合の具体例の様子を見てみました。
ここではβ=ωとおいて　β(n)=n,γ'=0とする。　このとき、

α=φ_ω(1)
α(n)=φ_n(φ_ω(0)+1)
α(0)=φ_0(2)=0^2=1

ここで定義より　α=φ_ω(1)=ε_1　なお、このαの収束列は、

1,ε_0,ω^(ε_0+1),ω^ω^(ε_0+1),ω^ω^ω^(ε_0+1),…と続き、

α(0)=1
α(1)=ε_0　そして最終的にnが十分大きいとき
α(n)=(ω↑↑(n-2))^(ε_0+1)となる。

これがα=(ω↑↑ω)^(ε_0+1)=ε_1　の収束列である。

話を　α(n)=φ_n(φ_ω(0)+1)　に戻すと、

φ_ω(0) = 「すべての ω'< ω に対し φ_ω'(δ)=δ となる δ」 のうち
0番目のもの。　ω'=0　とおくと(ωより小さい順序数は自然数しかない)
φ_0(δ)=ω^δ=δ　が得られ、

定義より　φ_ω(0)=ε_0　から　α(n)=φ_n(ε_0+1)　以上より

φ_n(ε_0+1)=(ω↑↑(n-2))^(ε_0+1)　(n<2)　　　謎のオチ。