以前の定義は間違っているところがあったので、書き直しました。
順序数を知らない人は「極限順序数」を「数列」と読み替え、
limは無視して「左辺の記号＝右辺の数列」だと思えば理解できると思います。
　α=lim φ_nと書いたとき、αは極限順序数、α_n=φ_n
　βが極限順序数のとき
　　α+β=lim α+β_n
φの定義(Veblen関数の拡張)
　　φ(…,[α,0],…)=φ(…,…)
　　φ()=1
　　φ([0,α+1])=lim φ_n
　　　ただしφ_0=0,φ_(n+1)=φ_n+φ([0,α])
　　φ(…,[α+1,1],[0,β+1])=lim φ_n
　　　ただしφ_0=φ(…,[α+1,1],[0,β])+1,φ_(n+1)=φ(…,[α,φ_n])
　　φ(…,[α+1,β+1])=lim φ_n
　　　ただしφ_0=0,φ_(n+1)=φ(…,[α+1,β],[α,φ_n])
　β≠0のとき
　　φ(…,[α,β+1],[0,γ+1])=lim φ_n
　　　ただしφ_0=φ(…,[α,β+1],[0,γ])+1,φ_(n+1)=φ(…,[α,β],[0,φ_n])
　αが極限順序数のとき
　　φ(…,[α,1],[0,β+1])=lim φ(…,[α_n,1],[0,φ(…,[α,1],[0,β])+1])
　　φ(…,[α,β+1])=lim φ(…,[α,β],[α_n,1])
　βが極限順序数のとき
　　φ(…,[α,β])=lim φ(…,[α,β_n])
　　φ(…,[α,β],[0,γ+1])=lim φ(…,[α,β_n],[0,φ(…,[α,β],[0,γ])+1])
Fの定義(Hardy function)
　　F[0](x)=x+1
　　F[α+1](x)=F[α]^x(x)
　αが極限順序数のとき
　　F[α](x)=F[α_x](x)
巨大関数の定義
　f(x)=F[φ_x](x)　ただしφ_0=0,φ_(n+1)=φ([φ_n,1]))