ω^ε_0やε_0は単なる収束列を表す記号だという考え方について。
Hardy Functionに順序数を入れるときは、極限順序数は収束列のx番目の項に置き換えるわけです。
ならば、Hardy Functionを使う分には極限順序数と収束列は一対一に対応するものとみなせます。

では、1+ω=ω≠ω+1のような、順序数に対する等式は何を意味するのでしょうか。
これは、Hardy Functionに入れたときの関数の増加度を表しています。
F[1+ω](x)=F[1+x](x), F[ω](x)=F[x](x), F[ω+1](x)=F[ω]^x(x)という三つの関数を考えたとき、
F[ω](x)＜F[1+ω](x)＜F[ω](x+1)となるので、この二つの関数の増加度はほぼ同じです。
一方、F[ω](x)とF[ω+1](x)では明らかに増加度が違います。
なので、急激に増加する関数を作りたいときは、順序数の大きさをちゃんと考えなければいけません。

でも、順序数の大きさが分からなくても計算することだけならできます。
順序数を使った関数の計算法を理解したいだけなら、
「極限順序数と収束列が一対一に対応する」という不正確な理解でも十分です。