二重に投稿されてますね。すみません。
Hardy functionのもう一つの定義である、
　F[0](x)=x+1　F[α+1](x)=F[α]^x(x)　F[α](x)=F[α_x](x)
を使えばうまく定義できそうです。
　F[0](β)=β+1
　F[α+1](β)=F[α]^β(β)
　F[α](β)はF[α_n](β)の極限(ただしβ<ωのときn=β)
ただし、F[α]^β(γ)は以下のように定義します。
　F[α]^0(γ)=γ
　F[α]^(β+1)(γ)=F[α](F[α]^β(γ))
　F[α]^β(γ)はF[α]^(β_n)(γ)の極限
こうすると、F[1](β)=β*2、F[2](β)=β*2＾β、F[3](ω)=ε_0となります。
ただ、F[3](ω)への収束列はω, ω^2, ω^ω, ω^ω^ω, …となり、
ε_0への普通の収束列とは少し異なります。