>>672
f = 0 は自明な反例．f は非ゼロとする。

∫f dx = c < ∞ ならば，f は a.e. 有界．
十分大きな n を取って f/n < 1 a.e. とし，
log(1+y) > y/2 (0<y<1) ... (*) を用いて

∫n log(1 + (f/n)^a) dx > ∫n 1/2 (f/n)^a dx = 1/2 n^{1-a} ∫ f^a dx
ここで ∫ f^a dx ≠ 0 とすれば n → ∞ で n^{1-a} → ∞。

(*) は g(y) = log(1+y) - y/2 とおいて (0,1) で単調を示す．