ならば・・・
やたらデカい球の端に薄ーい4面体作って内接球の半径をものすごく小さくして，
その小さい内接球を真ん中にもってくれば等面4面体にはできない気がする

外接球の半径を固定したとき，等面4面体の内接球の半径には最小値が存在するか？
という問題になるわけで，ありそうだと思う
証明はしてないが