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分からない問題はここに書いてね２６５

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0001１３２人目の素数さん2006/11/17(金) 09:47:01
さあ、今日も１日頑張ろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね２６４
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1162905141/
0002１３２人目の素数さん2006/11/17(金) 11:05:36
ありがとうございます
0003１３２人目の素数さん2006/11/17(金) 13:33:43
１５０人いる学年で、「４人」誕生日が一緒になる確率を教えてください。
求め方もお願いします。
0004１３２人目の素数さん2006/11/17(金) 19:08:52
閉区間　、円周、実数実線は一次元多様体であると本で読みました。ということなのですが一次元ユークリッド空間Ｒ＾１と同相な近傍がとれることがなぜかわかりません。教えてください。
0005１３２人目の素数さん2006/11/17(金) 19:31:23
君の本では境界のあるやつも多様体に含めてるのかね？
そういうときはR^1じゃなくて[0,∞)だぞ。
あと、全体と同相じゃなくて、[0,∞)のある開集合と同相だ。
0006１３２人目の素数さん2006/11/17(金) 20:40:37
放物線y=3/4 - x^2 をy軸のまわりに回転して得られる曲面ｋを、原点を通り回転軸と45度の角をなす平面Hで切る。曲面Kと平面Hで囲まれた立体の体積を求めよ

A,B２人がコインを１個づつもち、同時に投げて一方が表で他方が裏なら、表のでたほうに○、裏が出た方に×、また、ともに裏か表ならどちらにも△を与える。そして繰り返し投げて、間に×を挾間津に○を２個先にとった方（△は破産でもよい）を勝ちとする。
このとき、ｎ回目（ｎ≧２）で勝負が決まる確率をもとめよ

二問お願いします
0007１３２人目の素数さん2006/11/17(金) 21:05:49
>>6
１回でも○か×が出た後は
どの回でもA、Bいずれかに勝ちになる可能性がありその確率は1/4
k回目に初めて○か×が出てその後n-1回目まで
勝負が決しないでn回目に勝負が決する確率は、
(1/2)^(k-1)*(3/4)^(n-1-k)*(1/4)
そのkは1からn-1まで考えられる。
よって求める確率は
Σ[k=1,n-1](1/2)^(k-1)*(3/4)^(n-1-k)*(1/4)
=(3^(n-1)/4^n)Σ[k=1,n-1](2/3)^(k-1)
=(3^(n-1)/4^n)((2/3)^(n-1)-1)/((2/3)-1)
=(3^n)/(4^n*((2/3)^(n-1)-1))
0008１３２人目の素数さん2006/11/17(金) 22:29:04
>>6
その立体を x = k で切ったときの切り口が
どうなるかを考えてみたら？
0009１３２人目の素数さん2006/11/17(金) 23:11:59
ｆを可測関数で[0.∞]に値を持つとき
∫ｆdx＝c; cは定数
この時
lim∫nlog[1+(f/n)＾α]dx= ∞,0＜α＜1　ｃ,α＝1　０,1＜α＜∞　　を示せ。

誰かお願いします！！
eを使うだろうっていうのはわかるんですが…
0010１３２人目の素数さん2006/11/17(金) 23:22:30
いまゲーデルの不完全性定理を読んでいるのですが、
「型」と「類」がよくわかりません＞＜
知っている人いますか？
0011１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 00:19:50
α<1のときは

lim ∫n log[1+(f/n)^α]dx >= liminf ∫n log[1+(f/n)^α]dx
>= ∫liminf n log[1+(f/n)^α]dx = ∞

他の場合はがんばって極限と積分をいれかえろ
0012１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 01:06:09
(1)f:[0,1]→Rで可算無限個の連続点を持ち、それ以外は不連続な関数を作れ。
(2)一点のみで微分可能でそれ以外では不連続な関数を作れ。

お願いします。
0013１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 01:11:20
>>12
(1)は
f(x) = x for x∈Q
f(x) = 0 else
0014132006/11/18(土) 01:12:11
>>12
ごめん、問題読み違えた。
0015１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 01:13:40
[前スレ.991]
　直円柱： x^2 +y^2 ≦ a^2,　0≦z≦b.
　これを平面 z=x で切る。
　底面に平行な断面積S(z)は
　0≦z≦m のとき S(z) = 2∫[x=z,a] √(a^2 -x^2) dx = (a^2)arccos(z/a) -z√(a^2 -z^2).
　z>m のとき S(z)=0.
　ここに、m=min(a,b).
　V = ∫[z=0,m] S(z)dz = [ (a^2)z･arccos(z/a) -(a^2)√(a^2 -z^2) +(1/3)(a^2 -z^2)^(3/2) ](z=0,m)
　　=　(a^2)b･arccos(b/a) -(a^2)√(a^2 -b^2) +(1/3)(a^2 -b^2)^(3/2) +(2/3)a^3,　　(0<m=b≦a)
　　=　(2/3)a^3.　　　　　(0<m=a≦b)
0016１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 01:20:15
nを正の整数とするとき
∫[x=n､n+1](1/x)dx＞1/(n+1/2)を示せ


お願いします
0017１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 01:28:32
>>12お願いします。
可算無限個ってのもいまいち意味がよくわからなくて。
可算って自然数全体の集合と一対一が存在するってことでしたっけ？
0018１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 01:29:53
>>12
そんな関数あるのかよ
問題あってる？
0019１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 01:30:24
>>17
自然数全体の、ある部分集合と一対一が存在するってこと
0020１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 01:30:26
y=-cos(pi*x)+1 0≦x≦1
をx=1を軸に回転させたときの体積を求めよ

お願いします
0021１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 01:31:46
>18
問題はこの通りです。
0022１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 01:32:11
前スレ993
ありがとうございます
0023１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 01:35:56
>16
f(x) = 1/x　とおくと f "(x) = 2/(x^3) > 0.
f(x) > f(m) + (x-m)f '(m), m = (a+b)/2　　…　接線より上にある。
∫[x=a,b] f(x)dx > ∫[x=a,b] {f(m) +(x-m)f '(m)}dx = (b-a)f(m).
0024１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 01:40:41
>>12
(1)
f(x) = sin(1/x) (x∈Q-{0})
f(x) = 0 (else) ならOKかな
0025182006/11/18(土) 01:41:36
>>12
と思ってたらできた

g(x) = x^2 (xは有理数)
g(x) = 0 (xは無理数)

とすればgは0で連続、他では不連続
この関数をうまく繋げてやればできる

(2)の答えはgそのもの
条件にあわなけりゃ、適当に平行移動しとくれ
0026１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 01:42:25
>>24
無限可算個ってのはどのように示されるのですか？
無限個あるってのはわかるのですが。
0027１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 01:44:09
>>23
詳しくお願いします
0028１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 01:46:02
>>26
sin(1/x) = 0のところで連続だから、
1/x = nπ (n∈N)
x = 1/(nπ) となるxで連続になる。
自然数でラベル付けできてるから加算無限個。
0029１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 01:48:15
なるほど、ありがとうございました。

>>25
この場合は可算無限個であることはどのように示されるのですか？
0030１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 01:49:28
>16
　(1/x) + 1/(2n+1-x) > 2/(n +1/2)　　…… 相加･調和平均
　∫[n,n+1] (1/x)dx +∫[n,n+1] 1/(2n+1-y) dy > 2/(n +1/2).
0031１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 01:55:36
>>29
>>25は
>この関数をうまく繋げてやれば
と言ってるから繋ぐのは自分でやらなきゃ。

例えば[0,1]を{0}∪(∪[n=1,∞] [2^(-n),2^(1-n)]) と分割して
それぞれの区間で>>25の関数を平行移動して入れてみるとか。
0032１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 01:56:25
>>30
相加・調和平均とは？
0033１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 01:58:21
>>32
自分で調べることを覚えろ
0034１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 01:58:44
>>31
なるほど～。自分でも考えてみることにします。
0035１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 02:12:03
>>33
調べました。
逆数の相加平均の逆数ですよね？
0036１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 02:16:26
＞　∫[n,n+1] (1/x)dx +∫[n,n+1] 1/(2n+1-y) dy > 2/(n +1/2).

なぜ1/(2n+1-x) dxが
1/(2n+1-y) dyになっているのですか？
0037302006/11/18(土) 02:16:36
>32
〔相加･調和平均の不等式〕
　n個の正の実数 a,b,…,z について
　{(1/a) + (1/b) + … + (1/z)}/n ≧ n/(a+b+ … +z).
　等号成立は a=b=…=z のとき。

(略証)
　(a/b) +(b/a) -2 =(a-b)^2 /(2ab) ≧0, etc.
　{(1/a) + (1/b) + … + (1/z)}･(a+b+ … +z) = n^2 +(a/b + b/a -2) + …… ≧ n^2,
　{(1/a) + (1/b) + … + (1/z)} /n ≧ n/(a+b+ … +z).　
0038１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 02:32:47
>>16
y=1/x の x=n+1/2 における接線で囲まれる台形の面積と比較してみればいい。
0039１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 02:36:02
第２問

　ｎを正の整数とする。2n^2+1、4n^2+1、6n^2+1がいずれも平方数であるような正の整数ｎは存在しないことを示せ。

答えじゃなくてもいいんで、何か解法のヒントを教えていただけたら幸いです
0040１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 02:48:39
4n^2+1が平方数になるnはいくつだ？
0041１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 02:56:59
…………(´^ωﾟ｀;)

0？
0042１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 03:30:50
>>39
何だ、マルチか。
0043１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 03:37:05
>>39 4^n+1じゃなくて3^n+1ならどっかでやったことあるな。ただマルチは消えろ
0044１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 04:58:11
>>20

y = -cos(πx) +1,　0≦x≦1,
S(y) = π(1-x)^2
V = ∫[0,2] S(y)dy = ∫[0,1] π(1-x)^2･(dy/dx)dx = ∫[0,1] (π^2)(1-x)^2･sin(πx)dx
　= [ {-π(1-x)^2 +(2/π)}cos(πx) -2(1-x)sin(πx) ](x=0,1)
　= π-(4/π).

∫(π^2)(1-x)^2･sin(πx)dx
　= -π(1-x)^2･cos(πx) -2π∫(1-x)cos(πx)dx
　= -π(1-x)^2･cos(πx) -2(1-x)sin(πx) -2∫sin(πx)dx
　= -π(1-x)^2･cos(πx) -2(1-x)sin(πx) +(2/π)cos(πx) +c.
0045１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 06:27:15
第１問
　1から100までの番号が書かれた玉100個が袋に入っている。いま、この袋から無作為に10個の玉を取り出し
それらに書かれた数字を覚えた後、袋に戻す。次に、再び袋から無作為に10個の玉を取り出す。

(1)1回目と2回目で取り出した10個の玉のうち、書かれた数字が同じ玉が7組あるような確率を求めよ。

(2)1回目と2回目で取り出した10個の玉のうち、書かれた数字が同じ玉の組の数の期待値を求めよ。


お願いします
0046１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 06:50:26
>>45
最近はマルチが流行なのか？
0047１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 08:02:19
半径１の球体を平行な３つの面で切ってできた、４つの立体の体積が等しいとき、中心を通らない面と中心の距離はいくつでしょうか？
すいかを縦に切るようなイメージ。
0048１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 08:07:44
>>46
スレごとに専任の回答者がいると思っているのだろう。
0049１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 08:30:20
>>47
π∫[d,1](1-x^2)dx=π/3
d-(1/3)d^3=1/3
d^3-3d+1=0 の正の解の小さい方。
d=2sinθ とおくと
8(sinθ)^3-6sinθ+1=0
-2sin(3θ)+1=0
sin(3θ)=1/2
3θ=π/6
d=2sin(π/18)
0050１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 09:26:47
>>45

の２番解ける人いませんか？
0051１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 09:29:58
>>50
マルチではいかんともしがたい
0052１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 09:31:10
>>50
>>46が読めないのか？
0053１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 10:09:59
むきになりすぎー笑
0054１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 10:27:16
>>50
(1)が分かったなら同様に考えたらいいだろ
0055１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 10:29:20
同様に考えたらどうよ？
0056１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 10:51:29
>>39
これの4を3にかえればいいんだよね？
今からやってみる
0057１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 11:21:55
ﾜｶﾗﾅｲ
0058１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 11:26:50
理系第2問
nを3以上の自然数とスる。
集合A(k)=[1,2,3,・・・・,kn]としたとき
3数の組(p,q,r)を次の二つの条件で定める。
・p,q,rは全て集合Aの元であり、3数は相異なる
・p+q+rはkの倍数である。
ただしp,q,rを並べ替えたものは異なるものとして考える。
(1)k=3のとき(p,q,r)の組の個数を求めよ
(2)k=4のとき(p,q,r)の組の個数を求めよ
00592822006/11/18(土) 11:51:21
スレ違いだったようなのでこのスレで質問させていただきます。

円に内接する四角形の対角の和は何度ですか？
0060１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 11:52:37
>>59
180°
0061１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 11:52:50
180
0062１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 11:54:37
>>59
マルチしちゃ駄目よ。
しかも前のスレの285に答えが書いてある。
00632822006/11/18(土) 13:17:18
別のスレで質問させていただきますと書き込んだのでマルチにはならないと思うのですが。
答えは見落としてしまいました。

答えて下さってありがとうございました。
0064１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 13:38:59
「ある数xが3の倍数→xの各位の数の和は3の倍数」
(たとえばx＝693は3の倍数、6＋9＋3＝18も3の倍数)

の必要十分性はどうやって証明するんですか？
0065１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 13:42:18
>>64
10 = 9+1
100 = 99+1
1000 = 999+1
…
(10^n) = 99999…9999 +1

693 = 6*100 + 9*10 + 3 = 6*(99+1) + 9*(9+1) + 3
= 6*99 + 9*9 + 6+9+3
0066１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 13:43:13
>>64
単に等式変形
0067１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 13:44:24
>>64
xの各桁の数を1の位から順にa0,a1,,,,,,,a(n)とかくと
x=a(n)*10^n+a(n-1)*10^(n-1)+…+a(1)*10+a(0)
とおける。
これを式変形すれば
x=a(n)*(10^n-1)+a(n-1)*(10^(n-1)-1)+…+a(10-1)
+a(n)+a(n-1)+…+a(1)+a(0)

ここで一般に10^n-1=999…9は3の倍数なので
xが3の倍数ならば各桁の和a(n)+…+a(0)は3の倍数
各桁の和が3の倍数ならxは3の倍数
0068１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 13:48:26
なるほど
0069１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 14:09:43
>>49
ありがとうございます。
0070１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 14:45:04
(x+1)/(x^2+x+1)の積分はどうやって解くんですか？
0071１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 15:09:23
>>70

分母を微分すると2x+1=2(x+1/2)となることに注目して、
(x+1)/(x^2+x+1)=(x+1/2)/(x^2+x+1)+(1/2)/(x^2+x+1)と分ける

１項目は(1/2)log( )
２項目は(1/2)/{(x+1/2)^2+(3/4)}として、x+1/2=tan(t)と置換
0072702006/11/18(土) 15:21:07
>>71
ありがとうございます
やっと分かりました
0073素数2006/11/18(土) 15:24:05
x^4+4x^3+2x^2を整式Aで割ると、商がA、余りが4x-1になる。この時Aを求めなさい
どなたがお願いします
0074１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 15:33:26
>>73
問題文どおりに式を立てろ
0075１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 16:18:11
>>73
x^4+4x^3+2x^2-(4x-1)を因数分解
0076１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 16:40:47

xy平面上の楕円E:2x^2+y^2=1,z=0を、中心がyz平面上の円弧C:y^2+z^2=1,y≧0,z≧0,x=0上
にあるように平行移動したもの全体が作る曲面をFとする。
さらに、曲面Fをz軸のまわりに回転するときFが通過する部分をKとする。
o≦t≦1を満たす実数tに対して、平面z=tによるKの切り口の面積をS(t)とおく。
(1) t=sinθのとき、S(t)をθで表せ。ただし、0≦θ≦π/2とする。
(2) Kの体積Vを求めよ。


よろしくお願いします
0077１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 16:47:11
>>73
x^4+4x^3+2x^2=A^2+4x-1 から、A=±(x^2+bx±1) とおける。
A^2+4x-1=(x^2+bx±1)^2+4x-1=x^4+2bx^3+(b^2±2)x^2+2(2±b)x=x^4+4x^3+2x^2
係数の比較で定数項が-1のときb=2、よってA=±(x^2+2x-1)
0078１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 16:51:18
>>76は東大実戦模試のネタバレだから誰も答えないように
0079匿名係長2006/11/18(土) 17:12:11
実数x,yがx^2+y^2-2xy-4x-4y+6=0を満たし、x+y=p、xy=qとおくとき、pとqの最小値をそれぞれ求めよ

お願いしますm(>_<)m
0080１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 17:34:32
>>79
x^2+y^2-2xy-4x-4y+6=0

p^2 -4q -4p +6 = 0

また、x,yは実数で
t^2 -pt +q=0の解だから
D = p^2 -4q = 4p-6≧0

p ≧ 3/2

4q = p^2 -4p+6 = (p-2)^2 +2
だから4q ≧2
0081１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 19:11:35
>>76　って楕円である必要性があるのか？　線分１本と変わらん気もするが？
0082１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 19:31:26
3^10*m=2^n+1
これを満たす整数m,nを一組求めよ

誰かお願いします
0083１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 20:02:00
>>81
z軸が楕円の内部を通っているから
z軸を中心に回転させたときの
楕円の周の通過領域は
円環になる。
0084１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 20:51:27
>>83
なるほど！！！
0085１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 20:51:54
A,y=2x B,2x+y=5 C,y=2x+5 D,y=-2x+5 E,y=2/x
この中でｙがｘの１次関数であるものを答えなさい。
よろしくお願いします。
0086１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 21:00:30
中２の問題だ
Ａ　比例なので○
Ｂ　y=-2x+5なので○
Ｃ　普通に○
Ｄ　普通に○
Ｅ　反比例なので×
0087１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 21:03:58
>>86
ありがとうございました！
0088１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 21:25:31
>>79

45°回す。
　(x-y)/√2 =u,　(x+y)/√2 =v
とおくと、
　x+y = v√2,　xy = (v^2 -u^2)/2

さて、与式は放物線
　v = (1/√8)(u^2 +3) ≧ 3/√8,
となるから
　p = v√2 ≧ 3/2,　　　(u=0, x=y=3/4)
　q = (v^2 -2v√2 +3)/2 = (1/2){(v-√2)^2 +1} ≧ 1/2.　　(v=√2, u=±1)
0089１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 21:26:48
数直線って数でできているんですか？
0090１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 21:28:50
①f(z)=π/(z^2*tanπz)の極をすべて求め、各極における留数を求めよ。
②Rは正の実数とする。z=t±iR(-R≦t≦R)のとき、
ltanπzl≧{exp(2πR)-1}/{exp(2πR)+1}を示せ。
③自然数Nに対して、R[N]=N+1/2とおく。z=±R[N]+it(-R[N]≦t≦R[N])のとき、
ltanπzl≧{exp(2πR[N])+1}/{exp(2πR[N])-1}を示せ。
④4点±R[N]±iR[N]を頂点とする正方形の周に沿ってf(z)を積分しN→∞にすることで、
π＾2/6=1+1/2^2+1/3^2+・・・を示せ

そのまま書き写して答えにできる書き込みをしてもらえると、助かります。
よろしくお願いします。
0091１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 21:36:32
>>11
∫liminf n log[1+(f/n)^α]dx = ∞
の極限はどう計算するんですか？
eの式を使うってヒントがあるんですが…
0092１３２人目の素数さん2006/11/18(土) 21:55:25
>>82 フェルマーの小定理の拡張のオイラーの定理を使うんジャマイカ？
２と3^10は互いに素。
2^φ(3^10)≡1(mod.3^10)かな？
φ(3^10)=3^10-3^9
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