>>480
p↑=OA↑、q↑=OB↑、r↑=AD↑とすると
OC↑=OB↑+BC↑=OB↑+(3/2)AD↑=q↑+(3/2)r↑
OD↑=OA↑+AD↑=p↑+r↑
OE↑=(2/3)p↑
OF↑=(1/2)q↑
OG↑=(1/3)OC↑=(1/3)q↑+(1/2)r↑

AIC、BIDはそれぞれ一直線上にあるので、AI:IC=x:1-x、BI:ID=y:1-yとすると
OI↑=(1-x)OA↑+xOC↑=(1-x)p↑+xq↑+(3/2)xr↑
OI↑=(1-y)OB↑+yOD↑=yp↑+(1-y)q↑+yr↑
係数を比較して1-x=y、x=1-y、(3/2)x=y
これを連立させて解いてx=2/5、y=3/5
よってOI↑=(3/5)p↑+(2/5)q↑+(3/5)r↑

点Hは平面EFG上にあるのでEH↑=uEF↑+vEG↑と表せる。
OH↑=OE↑+EH↑
=OE↑+uEF↑+vEG↑=OE↑+u(OF↑-OE↑)+v(OG↑-OE↑)
=(2/3)(1-u-v)p↑+((1/2)u+(1/3)v)q↑+(1/2)vr↑
またOHDは一直線上にあるのでOH:HD=w:1-wとすると
OH↑=wOD↑=wp↑+wr↑
係数を比較して1-u-v=w、(1/2)u+(1/3)v=0、(1/2)v=w
これを連立させて解いてu=-4/5、v=6/5、w=3/5
よってOH↑=(3/5)p↑+(3/5)r↑

まだまだ続くけど、急用ができたのでここまで。
工夫すればもう少し楽になるかも知れないけれど、
あえて、定石だけでやってみた