>>619
P_(n+1) - P_n を考えてもいいし、P_(n+1) / P_n を考えてもいいです。
今回は前者の場合のみで説明するので、後者も考えてみてください。
例えば、
P_(n+1) - P_n > 0…(*)
が n = 1, 2, 3, 4 で成立することがわかったとしよう。
具体的に(*)に代入してみると、それぞれ
P_2 - P_1 > 0, P_3 - P_2 > 0, …, P_5 - P_4 > 0
もう少し整理すると上記の条件は、
P_5 > P_4 > … > P_1…(★)
であることが分かる。
また n ≧ 5 では (*) は成り立たないのだから、
例えば n = 5, 6, 7 を代入してみると、それぞれ
P_6 - P_5 ≦ 0, P_7 - P_6 ≦ 0, P_8 - P_7 ≦ 0
同様に整理すると上記の条件は、
P_5 ≧ P_6 > P_7 > …(★★)
であることがわかる。
(★)と(★★)をあわせると、
P_1 < … < P_4 < P_5 ≧ P_6 > P_7 > …(★★★)
この式は、P_1 から P_5 にかけては増加し、
P_5 から P_6、P_7 と徐々に減少することを意味しています。
つまり、P_5 で最大値を取ることがわかります。
ただし、P_5 = P_6 となる可能性もありますから、それは調べましょう。
その場合、最大値は n = 5, 6 のとき、となるのです。

長くなりましたが…色々実験してみましょう。