>>978
被覆空間の被覆ホモトピー定理は、まず、基本的な場合として、
base space に値をとる path のリフトが、
始点を決めてやれば一意に存在することからはじめます。

この「基本」の応用として、被覆空間の被覆ホモトピー定理
を証明している本があります：
G.W.Whitehead 著　Elements of Homotopy Theory（Springer,GTM）
絶版なんで、大学の図書館で見るほかないです。

もし、Singer&Thorp の本で納得いかなければ、
こちらを当たってみるのもよいでしょう。