μをメビウス関数とし、p[k]でk番目の素数を表すものとする。
納n=1〜∞]μ(n)・・・(1)を考える。
メビウス関数は乗法的関数なので、(1)の級数はオイラー積表示を持つ、従って
(1)=Π[k=1〜∞]{1+μ(p[k])+μ(p[k]^2)+μ(p[k]^3)+・・・}・・・(2)
となる。続いて、任意の素数pに対して、μ(p^k)=-1(k=1)、0(k≧2)より、
(2)=Π[k=1〜∞]{1+(-1)+0+0+・・・}=Π[k=1〜∞]0=0
となり、結局納n=1〜∞]μ(n)=0・・・(※)である。

ここで、(※)に命題「 S[n]=a[1]+a[2]+・・・+a[n]が収束⇒lim[n→∞]a[n]=0 」
を適用すると、lim[n→∞]μ(n)=0・・・(※※)を得る。
他方、数列{μ(n)}の部分列{μ(p[k])}の極限は
lim[k→∞]μ(p[k])=lim[k→∞](-1)=(-1)となり、(※※)より
これは0に等しい、つまり-1=0。この式の両辺に2を足して、
1=2を得る。