m^2=2^n+1　を満たす自然数m,nを求めよ。
この問題で部分的に質問したいところが有ります。

m^2-1=2^n
⇔(m-1)(m+1)=2^n

ここで
(m-1)=2^α　　・・・・①
(m+1)=2^β　　・・・・②
とおくと、
2^α・2^β=2^n
よりα+β=n　　・・・・③

また②-①よりmを消去すると、2=2^β-2^α
2=2^α(2^(β-α)-1)
1=2^(α-1)(2^(β-α)-1)

ここで2^(α-1)と(2^(β-α)-1)は整数と書いて有りますが、何故整数と
言えるのでしょうか？。αの範囲を調べてみたのですが、(m-1)=2^αから
m=1のとき0=2^αを満たすαは存在しないので
m=2のとき1=2^αを満たすαはα=0、よってαの範囲は一0以上なのかな～？
でもα=0だと2^(α-1)が分数になってしまうのでないか？
まぁとにかく2^(α-1)と(2^(β-α)-1)は何故、整数と言えるのか教えてください.