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◆ わからない問題はここに書いてね 204 ◆

■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
0001１３２人目の素数さん2006/11/02(木) 07:45:38
　　・累乗　x^2=x*x（掛け算で×は使わない） ・対数　log_[3](9)=2（底は3）
　　・積分　∫[x=1,3] (e^(x+3))dx　　　　　　　　・数列の和　　Σ[k=1,n]A(k)
　　・分数　(a+b)/(c+d)　（分子a+b､分母c+d） ・ベクトル　AB↑　a↑

ローマ数字や丸付き数字などを避けて頂けると嬉しいです。

また複数のスレッドで質問する行為はご遠慮下さい。 スルー対象になります。

※累乗や分数などは誤解されぬよう括弧の多用をお願いします

他の記号と過去ログ
http://members.at.infoseek.co.jp/mathmathmath/
前のスレッド
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1161040558/
0685１３２人目の素数さん2006/11/15(水) 23:29:54
>>683
問題意味不明
「イチゴ３つとみかん３つを無作為に並べたとき
（イチゴみかんイチゴ…みかん）となる確率」
であればyes
「交互に並ぶ確率」であればその倍
0686１３２人目の素数さん2006/11/15(水) 23:35:04
>>684 >>685すいません。いちごとみかんを一列に並べたとき、交互に並ぶ確率です。
0687１３２人目の素数さん2006/11/15(水) 23:35:40
>>678
何も考えずに写して提出できる形にしてください
って最初から書けよ
0688１３２人目の素数さん2006/11/15(水) 23:44:08
(12x^3-x^2-12x-4)÷(3x+2)

x^3÷(x-1)

の答えを教えて下さい。
0689１３２人目の素数さん2006/11/15(水) 23:44:52
>>676
某定理＝逆写像定理、とかですか？ノートとってあるものの、位相の言葉ばかりでさっぱりです。可能なら、微積の言葉で言ってもらえると助かります。
0690１３２人目の素数さん2006/11/15(水) 23:45:31
>>688
そのまま、分数の形で書き直せばいいだけなんじゃね？
上のほうは因数定理か何かで確認したいところだけど……
0691１３２人目の素数さん2006/11/15(水) 23:48:32
>>686どうやるのですか？
0692１３２人目の素数さん2006/11/15(水) 23:50:57
>>691
おまえ誰だよ
0693１３２人目の素数さん2006/11/16(木) 00:08:29
回転体の問題について教えてください。
xyz空間
O（０００）、A（６、０、０）、B（０，３，０）、C（０，３，３）を頂点とする三角錐を考え、０＜a＜３のときY＝aで切る断面積は「−２a＾２＋６」←ここまで自力で解けてます
また三角錐をｙ軸周りに回転してできる体積Vは「４５π」←ここまで自力でわかります

y軸周りの回転体Vのｘｙ平面による断面積は、双曲線「　　　」とｙ＝０、Y=３とで囲まれる図形である。←ここが全然わかりません双曲線になるということも確認できません。お願いします。

ちなみに体積４５πの回転体Vは半球のような形だと思うのですがなぜそれをｘｙ平面で切ると双曲線なんかが出てくるのかわかりません。
0694６９３2006/11/16(木) 00:11:06
↑ちなみに上智大学の過去問題のようです
0695６９３2006/11/16(木) 00:14:54
↑あと双曲線の答えは「ｘ＾２＝５ｙ＾２−２４ｙ＋３６」らしいです。
0696１３２人目の素数さん2006/11/16(木) 00:15:15
アストラル空間
0697１３２人目の素数さん2006/11/16(木) 00:16:13
数列{an}について、Sn=Σ[k=1,n]A(k)(n=1,2,3,....)とおく。
an=S(n-1)+n2^n(n=1,2,3....)が成り立つとき、Snをnの式で表せ。

またlim(n→∞)Σ[k=1,n](2^k)/(ak)を求めよ。

だれか教えてください…φ(-ω−｀))
0698１３２人目の素数さん2006/11/16(木) 00:17:09
あ、↑S0=0とおくそうです!!!
0699６９３2006/11/16(木) 00:35:43
あまり大したことではないのですが訂正します。

Y＝aで切る断面積は「−２a＾２＋６a」←６aが６になってました。すみません。
0700１３２人目の素数さん2006/11/16(木) 00:47:24
>>697
an=Sn-S(n-1) から
Sn=2S(n-1)+n2^n
Sn/2^n=S(n-1)/2^(n-1)+n
Sn/2^n=S0/2^0+(1/2)n(n+1)
Sn=n(n+1)2^(n-1)

an=n(n+1)2^(n-1)-(n-1)n2^(n-2)=(n+2)n2^(n-1)

(2^k)/(ak)=2/k(k+2)=1/k-1/(k+2)
Σ[k=1,n](2^k)/(ak)=1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)→3/2
0701６９３2006/11/16(木) 00:47:52
もう誰も居ないんでしょうか？まだ張り付いてます
07025062006/11/16(木) 00:55:20
>>599
どうもありがとうございました。

＞すなわち exp(1)exp(-1) = exp(0) = 1.
この部分はどう解釈したらよいのでしょうか？

＞Yahoo!掲示板、科学板、数学カテ、「質問コーナー」トピ、No.10532-10533
誰かがヤフーでも質問くれたみたいですね
10532に>>506が転載されていますが、10533は関係ないように見えるのですが、関係あるのでしょうか？

個人的な予想にとどまってた式なので証明されて嬉しいです
0703１３２人目の素数さん2006/11/16(木) 01:03:51
>>693
y軸と平面Y =a との交点をP、三角錐の断面でPから最も遠い点をQとする。
Qは線分AC上にあるのでその座標は(2(3-a),a,a)だから
PQ^2={2(3-a)}^2+a^2=5a^2-24a+36
V=π∫[0,3](5a^2-24a+36)da=π(5*9-12*9+36*3)=45π
回転体Vの平面z=a による断面はPを中心とする半径√(5a^2-24a+36) の円。
この円とxy平面との交点は(±√(5a^2-24a+36),a,0)
x=±√(5a^2-24a+36) , y=a , z=0 として、 a を消去すると
x^2=5y^2-24y+36
0704１３２人目の素数さん2006/11/16(木) 01:05:06
>回転体Vの平面z=a による断面

回転体Vの平面y=a による断面
に訂正
0705６９３2006/11/16(木) 01:06:51
>>703ありがとうございます！ちょっと今からじっくり読ませていただきます。
0706１３２人目の素数さん2006/11/16(木) 01:16:42
Ａはいつも早朝まで仕事をしてＳ駅から電車で帰ります。
Ｓ駅ではＡが帰宅するための電車は、５時１５分を初電として、
以降１５分間隔で発車しています。ＡがＳ駅のホームに到着する時刻
は４時から６時まで一様に分布しています。ＡがＳ駅のホームに到着
してから電車が発車するまでの待ち時間をＸとする時
１．Ｘの確率密度関数　２．Ｘが３０以上となる確立　３．Ｘの期待値

この問題がどうしてもわからないのでどなたか教えてください！
0707１３２人目の素数さん2006/11/16(木) 01:16:57
無限級数納n=1,∞]log(1+1/n)は発散することを示せ


どのように証明すればいいのか分かりません。
教えてください
0708６９３2006/11/16(木) 01:20:53
>>703様理解できました。こんな方法は想像もできませんでした。
特に４５πを出すまでの式はまったく同じだったので
双曲線の式を出す円との交点の考え方はかなり有名な解法なのでしょう。しかし自分がやっている１対１の数学の例題をやったくらいでは４５πまでしか解けませんでした。
どんな参考書を見ればいいのやらです・・。夜分遅く本当にありがとうございました。
0709１３２人目の素数さん2006/11/16(木) 01:24:18
>>708
そんなに難しいことやってるわけじゃない。
断面上で考えるとわかりやすくなる。
0710１３２人目の素数さん2006/11/16(木) 01:27:28
>>689
あらかじめ言っておくと、自身も多様体は独学につき全くの素人ですが
出来る範囲でアドバイスしたいと思います。

定理の名前はしらないのですが
「点q∈ＮがＣ^r級写像f:Ｍ→Ｎの正則値でf^-1(q)≠Φであるとすると
逆像f^-1(q)はＭの(m-n)次元Ｃ^r級部分多様体である」（多様体の基礎　p207）
今の場合Ｍ＝Ｒ^4,Ｎ＝Ｒ^2,m=4,n=2
あとはfの点(x1,x2,x3,x4)におけるヤコビ行列
(Jf)＝(2x1,2x2,0,0)(0,0,2x3,2x4)　　（←(１行目)(２行目)）
を調べればすぐ。正則値や臨界値の定義は調べてください。

ただ今回の場合、いちいちアトラス（座標近傍系）を具体的に定めよとあるので
この定理を使うのは２度手間だったかも；

ここは部分多様体の最初の定義に戻って･･･
例えばＲ^4-{0}の点x=(x1,x2,x3,x4)に対して、座標φ(x)=(r1,θ1,r2,θ2)を
r1=x1^2+x2^2,x1=cosθ1,x2=sinθ1
r2=x3^2+x4^2,x3=cosθ2,x4=sinθ1
（要するに局座標的なにか。この対応は明らかに同相）
として考える。
（定義域を適当に調整すればＲ^4座標近傍系ができる）
ここでφ(x)の定義域をＳ×Ｓに制限すると
そのままＳ×Ｓの局所座標になるので、
Ｓ×ＳはＲ^4-{0}の部分多様体でありＲ^4の部分多様体

スーマトな方法かは分かりませんが、
以前テストで似たようなことを書いて点数をもらったので大丈夫かと･･･
0711１３２人目の素数さん2006/11/16(木) 01:32:30
>>707
S(N)=納n=1,N]log(1+1/n)
とおくと
log(1+1/n)=log((n+1)/n)=log(n+1)-log(n)
なので
S(N)=log(N+1)-log(1)=log(N+1)
よって
lim[N→∞]S(N)=∞
07126462006/11/16(木) 01:34:55
>>647>>656>>657
「増加」「減少」はミスです。仰るとおり両方増加でした。スミマセン……

改めて考えてみると2次関数の増加量の増減を問う意味はあまりなさそうですね。
レスくださった方、ありがとうございました。
0713１３２人目の素数さん2006/11/16(木) 01:50:51
>>711

あの、
log(n+1)-log(n)
↓
S(N)=log(N+1)-log(1)=log(N+1)
これはどのように変形してるのですか？
0714１３２人目の素数さん2006/11/16(木) 01:54:18
>>713
最初の数項を実際に書いてみろよ
0715１３２人目の素数さん2006/11/16(木) 01:56:45
>>713マルチ
0716１３２人目の素数さん2006/11/16(木) 02:39:32
ある数を(p1^n1)(p2^n2)…(pk^nk)と素因数分解します。
この数をm個の因数に分ける分け方は何通りありますか？

例　99=(3^2)(11)を２個の因数に分ける分け方は(1,99),(3,33),(9,11)の３通り
0717１３２人目の素数さん2006/11/16(木) 02:43:00
[((n1 + 1)(n2 + 1)…(nk + 1) + 1)/2]

ただし、[x]はxを超えない最大の整数
0718１３２人目の素数さん2006/11/16(木) 02:51:08
>>717
ありがとうございます。
何故そのようになるのでしょうか？
また、それはm=2の場合でしょうか？
0719１３２人目の素数さん2006/11/16(木) 02:58:56
>>718
うん、2個の場合。
あぁ、一般にm個で分けるのね……よく読んでなかったわ。
0720１３２人目の素数さん2006/11/16(木) 03:17:35
逆行列を勉強しているのですが、使っている参考書の問題にはない形の行列の逆行列が気になっています。
一番下の行がすべて0、もしくは一番最後の列が0だとそれだけで逆行列は存在しませんよね？
他の行がすべて0の時でも逆行列存在しませんか？
0721１３２人目の素数さん2006/11/16(木) 03:20:21
>>720
存在しません
0722１３２人目の素数さん2006/11/16(木) 03:24:08
>>721
ありがとうございます
３行３列までは書いてみれば明らかに1行もしくは1列がすべて0だとdet=0になるとわかったのですが
４行４列以降は計算が大変で……って、しまった、
一般的な行列式計算法を考えれば、何行何列でも一列すべて0ならすぐにdet=0になりますね……orz
0723１３２人目の素数さん2006/11/16(木) 03:34:06
すみません、もう一つ質問お願いします。
一見して、すべて0の行や列がなくても、ガウス法などで整理していくうちにすべて0の行か列ができたらやはり逆行列が存在しませんよね？
これが、階数ということなのでしょうか？
0724１３２人目の素数さん2006/11/16(木) 04:09:40
分散分析のことで質問をしたいのですがここで大丈夫ですか？
0725１３２人目の素数さん2006/11/16(木) 04:18:58
>>723
存在しないけど
これが、階数ということというのは意味がわからない
0726１３２人目の素数さん2006/11/16(木) 04:41:04
>>725
バカ発見
0727１３２人目の素数さん2006/11/16(木) 09:03:33
>>665
eに収束する級数
1/1!
1/1!+1/2!
1/1!+1/2!+1/3!
…
をそれぞれ連分数表示して見ろ
そうすれば理由が見えてくると思う。
07287162006/11/16(木) 11:20:29
＞ある数を(p1^n1)(p2^n2)…(pk^nk)と素因数分解します。
＞この数をm個の因数に分ける分け方は何通りありますか？
＞
＞例　99=(3^2)(11)を２個の因数に分ける分け方は(1,99),(3,33),(9,11)の３通り

ずっとこの問題を考えてるんですが、どうやら分割数とか難しい話が絡んでくるようです。

なので、上の問題をちょっと変えて

ある数を(p1^n1)(p2^n2)…(pk^nk)と素因数分解します。
この数をm個の因数に順番を考慮して分ける分け方は何通りありますか？

例　99=(3^2)(11)を２個の因数に分ける分け方は(1,99),(3,33),(9,11),(99,1),(33,3),(11,9)の６通り

というものを考えると

H(m,n1)H(m,n2)…H(m,nk)

になりました。これで合ってますか？
（Hは重複組み合わせ）
0729１３２人目の素数さん2006/11/16(木) 11:23:22
正四面体の重心の位置ベクトルって公式表せますか？
07307162006/11/16(木) 11:23:39
ちなみに例に適用してみると

H(2,2)H(2,1)=C(3,2)C(2,1)=3*2=6

となります。
07317162006/11/16(木) 11:25:24
>>729
まずはググりましょうね＾＾；
ttp://homepage2.nifty.com/PAF00305/math/triangle/node7.html
0732132人目の素数さん2006/11/16(木) 14:43:54
p,qは素数　p<q

p+qはp,qの倍数でない　
おしえてください
0733１３２人目の素数さん2006/11/16(木) 15:01:04
>>732
割れ
0734１３２人目の素数さん2006/11/16(木) 16:15:10
>>732
こんな簡単な問題もわからないのかよ
0735１３２人目の素数さん2006/11/16(木) 16:44:23
を可測関数で[0.∞]に値を持つとき
∫ｆ＝c; cは定数
この時
lim∫nlog[1+(f/n)＾α]dx= ∞,0＜α＜1　ｃ,α＝1　０,1＜α＜∞　　を示せ。

誰かお願いします！！
0736１３２人目の素数さん2006/11/16(木) 16:46:25
>>728
合ってる。
順序リストが求まったんだから組合せリストも求まりそうな気がするんだけどな〜
おんなじものが何個かあったらその数の階乗で割ればいいだけじゃないか？
まーそのおんなじものが何個あるのかを求めるのが難しいのか・・・・・・
0737１３２人目の素数さん2006/11/16(木) 18:00:33
オートマトン詳しい人いないかな？(´･ω･｀)
スレ違い？
0738１３２人目の素数さん2006/11/16(木) 18:16:47
6x+5y=840
5y+2z=460
6x+2z=700

これどうやるんですか＞＜；
0739１３２人目の素数さん2006/11/16(木) 18:50:11
>>738
x=((6x+5y)-(5y+2z)+(6x+2z))/12
y=((6x+5y)+(5y+2z)-(6x+2z))/10
z=(-(6x+5y)+(5y+2z)+(6x+2z))/4
0740１３２人目の素数さん2006/11/16(木) 19:38:34
某乳品工場で営業をやってる者なんですが、
もう一時間半もある計算式を求める事にてこずり困ってます。
何卒、ご教授下さい。

A という 10000 kg で 乳脂肪 3.70 % の牛乳があります。
これに B という牛乳を 15000 kg 混ぜ合わせ C という牛乳を作ります。
この C という牛乳の乳脂肪は 3.90 % ありました。
では B の乳脂肪はいくらでしょう？

というものなんですが…。
もう僕にはサッパリで本当に頭を抱えてます。
ちなみに判っている数字は以上の内容だけです。
どうか宜しくお願いします。
0741１３２人目の素数さん2006/11/16(木) 19:50:31
(10000*3.7+15000*b)/(10000+15000)=3.9
0742１３２人目の素数さん2006/11/16(木) 19:53:23
(Aの乳脂肪)=10000*(3.70/100)kg、(Bの乳脂肪)=15000*(x/100)}kg だから、
100*{10000*(3.70/100)+15000*(x/100)}/(10000+15000)=3.90%、x=4.03%
0743１３２人目の素数さん2006/11/16(木) 20:16:57
>741,742
おぉー！ありがとうございます！
もう、ここしか頼りがなかったので本当に感謝です。
0744132人目の素数さん2006/11/16(木) 21:11:17
>>733
背理法
p+q=kp(k=1,2,3,,)

1+q/p=k(pで割る）　
こうですか？
0745１３２人目の素数さん2006/11/16(木) 21:14:14
そうじゃない

こうだ
q=kp - p

0746132人目の素数さん2006/11/16(木) 21:27:52
>>745
q=kp - p

q/p=k-1

k-1は整数より矛盾　
こうですか？
0747１３２人目の素数さん2006/11/16(木) 22:10:51
>>746
自分で判断しろよ
0748１３２人目の素数さん2006/11/16(木) 22:26:58
２変数関数ｆ(ｘ，ｙ)があり，ある領域でｆ_xy　，ｆ_yx　が連続ならば，ｆ_xy＝ｆ_yx
となるのですが，例えば、３変数関数ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）でも，（ｆ_x）_yz　，
（ｆ_yz）_x　が連続ならば，直接（ｆ_x）_yz　＝　(ｆ_yz）_x　とできるので
しょうか？つまり、ｙｚを一つのかたまりとして，ｘと交換することは可能でしょうか？
0749１３２人目の素数さん2006/11/16(木) 22:51:07
命題「xは実数かつx^2=-1」は真ですか、偽ですか？
0750１３２人目の素数さん2006/11/16(木) 22:59:52
>>749
実数と複素数の違いって何だ？
0751１３２人目の素数さん2006/11/16(木) 23:01:39
>>750
そんなこと聞いてない
真か偽かあるいは判断できないか教えてくれ
0752１３２人目の素数さん2006/11/16(木) 23:02:35
真
0753１３２人目の素数さん2006/11/16(木) 23:08:24
xについての2つの2次不等式
　　(x+4)(2x-1)≧0 ・・・ （ア）
　　(x-2a)(x-a-1)≦0 ・・・ （イ）
がある。ただし、aは定数とする。
　
　
（１）不等式（ア）を解け。また、a=-3のとき、不等式（ア）、（イ）を同時に満たすxの値の範囲を求めよ。
　
（２）不等式（イ）を満たすすべてのxに対して、不等式（ア）が成り立つようなaの値の範囲を求めよ。
　
（３）不等式（ア）、（イ）のどちらにも含まれない整数がただ1つ存在するようなaの値の範囲を求めよ。
　
　
（２）で躓きました。問題の意味がよくわからないんです。
（２）、（３）の考え方を教えてください。
0754１３２人目の素数さん2006/11/16(木) 23:23:59
偽だろ
0755１３２人目の素数さん2006/11/16(木) 23:29:12
線形微分方程式の教科書に載ってた式についてお聞きしたいのですが

y'+x*y=0　これを解いてくと

log{e}(y)=-1/2*x^2+C になって、これをｙについて変形すると

なんで　y=e^(-1/2*x^2+C)　にならずに

y=C*e^(-1/2*x^2)　になるんですか？
0756１３２人目の素数さん2006/11/16(木) 23:32:14
複素変数で指数法則って成り立つのでしょうか？
すなわち、log(z) + log(w) = log(zw)のようなもの。

分かる人教えてください。
0757１３２人目の素数さんNGNG?2BP(0)
最後の式のCはその上の式のe^Cのこと
0758１３２人目の素数さん2006/11/16(木) 23:36:38
http://nijibox.ohflip.com/futabafiles/001/src/sa9382.pdf
小一時間悩んでくる･･･
0759１３２人目の素数さん2006/11/16(木) 23:38:50
>>757
今、足りない脳でやっと理解しましたｗ
定数になるから置き換えるんですね
速いレスありがとうございました！！
0760１３２人目の素数さん2006/11/16(木) 23:38:52
>>752>>754
どっちが正しいの？？
0761１３２人目の素数さん2006/11/16(木) 23:39:06
>>748
証明できるのなら
0762１３２人目の素数さん2006/11/16(木) 23:41:24
iは実数かつi^2=-1
0763１３２人目の素数さん2006/11/16(木) 23:42:49
{Q,R,C}は実数かつ{Q,R,C}^2=-1
0764１３２人目の素数さん2006/11/16(木) 23:43:08
>>749
何が疑問なんだ？
真だと思うのか？
0765１３２人目の素数さん2006/11/16(木) 23:43:11
>>760
両方同じ意見だろ。
0766１３２人目の素数さん2006/11/16(木) 23:49:29
1〜nまでの異なる番号が1つずつ書かれたn個の箱と、1〜nまでの異なる数字が1つずつ書かれたn枚のカードがある。
カードの数字と箱の数字が異なるように、箱の中に1枚ずつカードを入れる。
このときの場合の数をf(n)とするとき、
lim[n→∞]f(n)/(n!)
を求めよ。
お願いします。
0767１３２人目の素数さん2006/11/16(木) 23:49:58
>>766
1/e
0768１３２人目の素数さん2006/11/16(木) 23:52:25
どうも偽のようだな
変化球はいいから解答だけ書けよ
頼むから
0769１３２人目の素数さん2006/11/16(木) 23:52:40
>>767
早すぎ。
0770１３２人目の素数さん2006/11/16(木) 23:54:56
>>756もお願いします。
0771１３２人目の素数さん2006/11/17(金) 00:02:08
マルチでごめんなさい。
もし良かったら教えてください。

あまりにくだらない問題だとは思いますが

箱の中に１９個の白玉と１個の赤玉が入っている。
これを３０回引くときに赤玉を引ける確率を求めよ。

要するに３０回中に１／２０を引ける確率という事なんですが
解き方と答えを教えてもらえませんか？
0772１３２人目の素数さん2006/11/17(金) 00:05:07
>>771
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1163520000/19
0773１３２人目の素数さん2006/11/17(金) 00:07:23
>>771
> マルチでごめんなさい。
ふざけてんのか？
0774１３２人目の素数さん2006/11/17(金) 00:08:52
それなら、みんな「マルチでごめんなさい」って書いてマルチすればいいことになるな。
0775１３２人目の素数さん2006/11/17(金) 00:09:55
tan-1 x + tan-1 1/x = π/2 を示せ。（x＞0）
よろしくお願いします
0776１３２人目の素数さん2006/11/17(金) 00:11:32
>>775
左辺を微分すると０、つまり定数。
0777１３２人目の素数さん2006/11/17(金) 00:12:34
>>773-774
本当に申し訳ない
0778１３２人目の素数さん2006/11/17(金) 00:15:03
y = atan(x) とすれば　x = tan(y), 0≦y<π/2　であり
　　1/x = 1/tan(y) = tan(π/2-y), 0≦π/2-y<π/2

あとはやって
0779１３２人目の素数さん2006/11/17(金) 00:42:54
arctan1/xを微分するとどうなるんですか？
0780１３２人目の素数さん2006/11/17(金) 00:45:46
>>764
偽だといろいろと困ることがあってな。
不能の方程式は解がないだけで真なんじゃないのか・・
07817582006/11/17(金) 00:50:33
普通の微分で頭傾けてる俺には難しすぎるｏｒｚ
参考書見てもさっぱり理解できない
（＠）は応用なのでそれ以外だけでもお願いします
07827802006/11/17(金) 00:55:55
実のところ、xの値が分からないから判断できない、
という回答が欲しかった。
0783１３２人目の素数さん2006/11/17(金) 01:43:00
(2n)(2n-1)(1/2)^2/n^2=(2n-1)/2n<1.
0784１３２人目の素数さん2006/11/17(金) 05:12:08
-arctan1/x^2
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