1=0.999… その13.999…
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0001１３２人目の素数さん
2006/10/26(木) 18:36:06前スレ:1=0.999… その10.999… http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1136133055/
前スレ:1=0.999… その11.999… http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1142173277/
前スレ:1=0.999… その12.999… http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1154943310/
一応激しい論議の結果、回答テンプレートが作成されました >2-5
今後書き込む際には、できるだけまず回答テンプレートを参照してから、それをふまえて行ってください。
また、回答テンプレートへの意見なども自由に書き込んでください。
0310１３２人目の素数さん
2006/11/21(火) 00:26:51実数論の勉強して来い。
0311１３２人目の素数さん
2006/11/21(火) 17:48:48lim[N→1]Ｎ
で良いんだよね
この問題の答えは１になる・・・はず
Ｎが限りなく１に近づく（0.999…）ときの極限は１
ってな感じ？
0.999…の極限は1
を
0.999…=1
に
するのは・・・変？
0312１３２人目の素数さん
2006/11/21(火) 18:10:24極限は数列とか関数なんかに使う言葉であり、実数に対しては使わない。
○ an＝1/nの極限は～～～
× 2006の極限は～～～
0.999…もまた実数だから、「0.999…の極限」とは言わない。
0313１３２人目の素数さん
2006/11/21(火) 19:41:25関数f(x)において、xがaと異なる値をとりながら限りなくaに近づくとき、
f(x)が一定の値aに限りなく近づくならば
x→aのとき f(x)→a または lim[x→a]f(x)
と書き、aをxがaに近づくときのf(x)の極限値という
ほんとだ実数じゃない・・・関数か
じゃあどう書けば良いんだ
0314１３２人目の素数さん
2006/11/21(火) 20:28:020315１３２人目の素数さん
2006/11/21(火) 20:50:011≠0.999…が有意義に定義できるんじゃ、
そっちの方が深度は上じゃなかろうか？
深みにどっぷりな気もするけど。
0316１３２人目の素数さん
2006/11/21(火) 23:02:410317１３２人目の素数さん
2006/11/21(火) 23:05:45重箱のスミだが、xもf(x)も同じaに近付かなくてもいいんだぞ
0318１３２人目の素数さん
2006/11/21(火) 23:15:400319１３２人目の素数さん
2006/11/22(水) 13:42:48ε-δ論法知らんのか？
0320１３２人目の素数さん
2006/11/22(水) 14:53:500321平家蟹 ◆CoWlhnNErE
2006/11/22(水) 18:09:010322１３２人目の素数さん
2006/11/22(水) 20:44:37つーかオマエはまず実数論の勉強してこい。
0323平家蟹 ◆CoWlhnNErE
2006/11/22(水) 22:10:17S（n)＝1－(0.1)^nとするとだよ、
S(1)=0.9
俺、現在形
S(n)=0.9…9(9がn個)
俺達、ただいま現在進行形
0.9dot=1
俺は過去形
っーことだろ。
しかしさー、
0.999………は、
俺、現在進行完了形、
みたいじゃない？
0324１３２人目の素数さん
2006/11/22(水) 23:07:30実数をデデキントの切断で構成してくれ。あるいは、有理コーシー列を使う方でもいい。
少なくともこれが出来ないと、実数論を勉強したとは言わない。
0325平家蟹 ◆CoWlhnNErE
2006/11/23(木) 07:32:03よかったら誰か説明してくださいなm(__)m
0326１３２人目の素数さん
2006/11/23(木) 18:57:100327平家蟹 ◆CoWlhnNErE
2006/11/23(木) 20:00:40まあ、いいや、しゃしゃりこんでごめんなさい。
0328１３２人目の素数さん
2006/11/23(木) 21:38:22要するにさー。実数ってのは「連続している」ってイメージあるよね。ところが、「連続している」
なんてのを数学的にイエスかノーかはっきりできる論理の形で表さないと、数学的にはマズイ
わけだ。下手すると、延々とアカデミックの場でここでの論議みたいなのが拡大されて収拾つ
かなくなってしまう。
で、世界で初めて明確なイエス・ノーの論理の形で「連続している」ってイメージを表したのが
デテキントさん。で、使っているのが「デテキントの切断」なわけだ。その後で、コーシーさんとか
色々な人が別の表現を試みたけど、後々でそれらが「結局、皆同じ」ってことが証明されるわけ
だな。
実数が「連続している」ってイメージを認めるなら、結局どこかでこれらを認めて話を進めない
といけない…ってのが解析学の初歩。
デテキントの切断なんていやだーってんで超準解析なんてのを作った人もいるけど、これは
無茶難しい。
0329１３２人目の素数さん
2006/11/23(木) 21:54:270330１３２人目の素数さん
2006/11/23(木) 22:07:35定義次第って話は纏まった筈では？
1≠0.9dotとする事に因る不便さが付き纏って随分と細かく複雑な注意事項が出てきそうだが。
0331１３２人目の素数さん
2006/11/23(木) 22:21:13> で、世界で初めて明確なイエス・ノーの論理の形で「連続している」ってイメージを表したのが
> デテキントさん。で、使っているのが「デテキントの切断」なわけだ。その後で、コーシーさんとか
> 色々な人が別の表現を試みたけど、後々でそれらが
その「その後で、」の位置を工夫しないと
まるでコーシーがデデキント切断の後みたいじゃないか
0332!^r
2006/11/25(土) 03:43:390333平家蟹 ◆CoWlhnNErE
2006/11/28(火) 21:14:49こーこーせー、疑問をぶつけるのだ！
0334１３２人目の素数さん
2006/11/29(水) 02:11:59>>333
１＝0.9dotでも１≠0.9dotでも良い事が
>>278-281によって示されている。
0335１３２人目の素数さん
2006/11/29(水) 23:00:040336１３２人目の素数さん
2006/11/30(木) 01:35:42＝
変わった実数やアレンジされた超実数（超現実数等も含む）
≠
0337１３２人目の素数さん
2006/11/30(木) 04:03:26>>335-336
すっかり忘れ。謝。
というわけで取り敢えずＱ＆Ａ７(>>5)に>>278-281を添える。
0338１３２人目の素数さん
2006/11/30(木) 15:15:490340１３２人目の素数さん
2006/12/02(土) 18:27:48その循環小数の整数部分に１を足した値(0.999…なら0に1を足して1、10.999…なら10に1を足して11）と等しい
＜証明＞
実数の定義より、循環小数は有理数であることから、四則演算が適用できる。
あとはＱ７の⑦とか使う
＜証明終わり＞
とかじゃ駄目なのか
0341１３２人目の素数さん
2006/12/03(日) 00:48:54つうか、1=0.999…と同値な問題だろ
0342平家蟹 ◆CoWlhnNErE
2006/12/03(日) 10:31:110343源氏蛍 ◆EGfEOrbUDA
2006/12/03(日) 23:13:400344１３２人目の素数さん
2006/12/04(月) 00:04:500345１３２人目の素数さん
2006/12/04(月) 00:07:360346１３２人目の素数さん
2006/12/05(火) 20:24:100347１３２人目の素数さん
2006/12/08(金) 22:45:25不完全性定理が関係有るヤツなの？
0348１３２人目の素数さん
2006/12/09(土) 02:23:00どっちか一方が絶対、じゃないっ事じゃねっすか
0349１３２人目の素数さん
2006/12/09(土) 17:26:370350１３２人目の素数さん
2006/12/09(土) 18:22:500.999……≠1が証明されないことは証明できないはず。
なぜならばＱではＮが定義できるので、自然数論を含む体系になるから。
もし0.999……≠1が証明されればＱが矛盾していることになり、
エライことになってしまう。
ということをＱ４は言っているのでは？
0351１３２人目の素数さん
2006/12/09(土) 18:25:55もし0.999……≠1が証明されないことが証明されれば
無矛盾であることが証明できたことになり、Ｑが矛盾している
ことになり、エライことになる。
だな。
0352１３２人目の素数さん
2006/12/09(土) 19:35:300353１３２人目の素数さん
2006/12/10(日) 02:04:21別個の公理系。
0354１３２人目の素数さん
2006/12/10(日) 04:04:05という人もいる。それは厳密には無理と言うことで書いてあるのだと思う。
0355１３２人目の素数さん
2006/12/10(日) 04:18:20合、其処等辺の解説に不完全性定理的回答也、と云う事で御座る。
0356１３２人目の素数さん
2006/12/10(日) 11:42:20㌧でもも超準解析も入り込む余地はないんじゃね。
0357１３２人目の素数さん
2006/12/10(日) 11:55:05というか、通常でない解釈として採用した方が（しても？）いい
ものが具体的にあがっていないからじゃないのかな？
コンウェイの超現実数はたしかに採用されても良いと思うけど。
0358１３２人目の素数さん
2006/12/10(日) 23:23:21↑
これってどーなの？
0359１３２人目の素数さん
2006/12/10(日) 23:35:19これほど読む気が失せる前文も珍しいな。
0360１３２人目の素数さん
2006/12/12(火) 12:34:30いやいやｗ
実数の定義だからね循環小数が有理数ってのは・・・・・
0361１３２人目の素数さん
2006/12/12(火) 13:04:50・例えば0.333…＝1/3－無限小 であり、1/3には一致せず、有理数でない。
0362１３２人目の素数さん
2006/12/12(火) 16:18:100.99も、もちろん有理数
0.999も、もちろん有理数
0.999…は循環小数なので有理数
1は、もちろん有理数
0.999…を考えるときには有理数しか出てこない
だからそんなに難しく考えなくても良いのでは
0363小が臭え
2006/12/12(火) 21:23:33でも普通は有理数じゃんね。
0364.
2006/12/13(水) 19:58:15洋一石
一石 って ein steinつまりアインシュタインのもじりのつもり？
0365１３２人目の素数さん
2006/12/14(木) 05:24:300366１３２人目の素数さん
2006/12/14(木) 19:55:100367KingOfUniverse ◆667la1PjK2
2006/12/14(木) 20:52:090368１３２人目の素数さん
2006/12/15(金) 05:20:32問題は、1≠0.999なる公理系(例えば、>>278-281)。
儂ゃ知らんがな(´･ω･｀)
0369１３２人目の素数さん
2006/12/15(金) 21:59:57初項a_0=0、一般項a_n=a_(n-1)/10+0.9の数列を考える。
この数列の無限番目は１と等しくなると仮定する。
次に、上と順序が逆の数列を考える。
初項a_0=1、一般項a_n=a_(n-1)*10-9。
しかし、この数列の項は、すべて１である。
よって最初の数列の無限番目は１に等しいとは言えない。
0370１３２人目の素数さん
2006/12/15(金) 23:28:35背理法を使っているつもりなのだろうが、一体どこが矛盾してるのか分からん。
0371１３２人目の素数さん
2006/12/15(金) 23:53:300372１３２人目の素数さん
2006/12/16(土) 01:56:200373１３２人目の素数さん
2006/12/16(土) 02:18:22どうにかしてくれ
0374369
2006/12/16(土) 07:55:45これで仮定は矛盾しないと思う。
0375１３２人目の素数さん
2006/12/16(土) 08:44:07「無限番目」を「lim(n→∞)a_n」に変えて議論すると、こうなる。
初項a_0=0、一般項a_n=a_(n-1)/10+0.9の数列を考える。
lim(n→∞)a_n＝1だと仮定する。
次に、上と順序が逆の数列を考える。
初項b_0=1、一般項b_n=b_(n-1)*10-9。
さて、この数列{b_n}は、本当に数列{a_n}と「順序が逆」なのだろうか？
そもそも、「順序が逆の数列」とは何なのか？岩波の分厚い数学辞典を
見ても、「順序が逆の数列」なるものは載っていない。従って、>>374に
質問しなければならない。
質問：「順序が逆の数列」の定義は？
0376375
2006/12/16(土) 08:51:22これも追加で質問。
質問：次の3つの数列に対して、「順序が逆の数列」を教えてくれ。
x_n＝2^n
y_n＝1/n
z_n＝cos(n)
0377369
2006/12/16(土) 10:49:52>質問：「順序が逆の数列」の定義は？
a_n=f(a_(n-1))のとき、漸化式の逆関数をf^(-1)とすると、
a_n=f(^-1)(a_(n-1))な数列のこと。これは逆数列というのかな？
このとき初項が問題になるけど、a_∞=lim(n→∞)a_n（つまり0.99…=1）ならば
初項は１にすべきだと思う。
わたしは、初項を１にすると「順序が逆」の数列はlim(n→∞)a_n=0になりえない
ことだけを示せれば十分かなぁと思った。
でも、これを書いている途中で、たとえ初項を0.99…にしたとしても順序が逆の数列は
できない気がしてきたので、>>369はちょっと撤回させてもらいます。
0378１３２人目の素数さん
2006/12/16(土) 17:40:25しかもそのキモが俺理論ときたｗ
0379１３２人目の素数さん
2006/12/16(土) 17:47:46>ことだけを示せれば十分かなぁと思った。
「十分かなあと思った」・・・・・
全然十分ではありません。以上。
0380１３２人目の素数さん
2006/12/17(日) 11:54:260381１３２人目の素数さん
2006/12/23(土) 09:55:18じゃあそのネタで
[1＝0.999…の話]or[1≠0.999…の話]でも
してくれ～ぃ。
0382１３２人目の素数さん
2006/12/23(土) 10:21:120.99=1という系があることも認める事か？
0383１３２人目の素数さん
2006/12/25(月) 06:42:330384１３２人目の素数さん
2006/12/25(月) 15:16:24どこにそんなおかしな記述がある？
0385１３２人目の素数さん
2006/12/26(火) 02:17:44普段私達が日常生活や数学の問題を解く中で使用する０なんですが
０そのもの、1から０へ近づけた０、-1から０へ近づけた０
以上、３種類存在すると思うのですが、これも前提条件を元に考えられた概念なのでしょうか？
将来覆される可能性があるのでしょうか？
0386１３２人目の素数さん
2006/12/26(火) 03:12:12φ|空集合と→+0成る数と→ｰ0成る数か。
極限概念…とだけで答えを済ませてはもらえないだろうな。
0387１３２人目の素数さん
2006/12/26(火) 05:02:33極限の本質を理解していないな。（ある面ネタではあるけど。）
0.9が充分１に近い数値であれば、0.99は１である。
自然数ｎが無限大という値を取らない限り、
級数が極値を取る事はあり得ない。
0388１３２人目の素数さん
2006/12/26(火) 07:40:53x = lim[n→∞]{ (-0.5)^n } とする。
xはゼロなわけだが、君のいう3種類のうちどれになるの？
0389１３２人目の素数さん
2006/12/26(火) 07:46:14たった4行で突っ込み所多すぎｗ
0390素人
2006/12/26(火) 10:13:42のレベルだと思います。
どなたか、数学以外の分野からの感想を聞きたいです。
どなたかいらっしゃいますか？
0391１３２人目の素数さん
2006/12/26(火) 10:45:20そう思うのはオマエが素人だから。
0393１３２人目の素数さん
2006/12/26(火) 10:50:00そう思うのはオマエが素人だから。
0394素人
2006/12/26(火) 11:54:20そう言えるのはあなたが素人だからだと思います。
…で、詳細を数学以外の分野から説明できる人いますか？
0395１３２人目の素数さん
2006/12/26(火) 12:10:36＞そう言えるのはあなたが素人だからだと思います。
自分で「ド素人」だと宣言しておきながら、そのことを実際に指摘されるとこのザマ。
実はこれっぽっちも、自分が「ド素人」だとは思っていないのである。しかし、現実は
やはりド素人。何も知識が無いから、考えても答えが出ない。そんなド素人が最後に
行き着くのは、「仏」「神」という最も安易な結論。典型的な 思 考 停 止 。ド素人が
犯しやすい事例の1つである。
＞…で、詳細を数学以外の分野から説明できる人いますか？
何の分野がいいの？哲学の分野か？(笑)
0396１３２人目の素数さん
2006/12/26(火) 12:14:56次世代の数学が必要
１０個の数字で全てを表すのが傲慢
0398１３２人目の素数さん
2006/12/26(火) 12:32:25オマエのような、自分の分からないことは全て「神・仏のレベル」として
思考停止する人間ばかりだったら、数学は今のように進歩していない。
＞そう言えるのもあなたが素人だからです。
オマエは俺を素人呼ばわりしているが、では、俺は”何の分野の”素人なのか？
ちなみに、オマエは”数学の分野の”素人。自分でそう言ってるしな。
>>396
具体的な欠陥はどこだ？
0399素人
2006/12/26(火) 12:46:24進歩しているのにもかかわらず、いまだに1=0.999
で討論できる数学はどこか間抜けでかわいいように見えます。
僕はあなたのことをけんか腰でしか物事を話せない討論の素人のように見えます。
ついでに僕は人生すべてに対して素人です。
11進法、もしくは36進法などではこの問題は起こりえるのでしょうか？
0400１３２人目の素数さん
2006/12/26(火) 13:07:270401１３２人目の素数さん
2006/12/26(火) 13:13:38＞進歩しているのにもかかわらず、いまだに1=0.999
＞で討論できる数学はどこか間抜けでかわいいように見えます。
違うな。数学的には、0.999…の問題は既に決着がついている。この
スレでも、討論は既に終わっていて、テンプレにまとめてある。
テンプレが理解できない無知な人間だけが、「まだだ！まだ問題は
終わっていないのだ！」と討論を続けている。
＞僕はあなたのことをけんか腰でしか物事を話せない討論の素人のように見えます。
素人だと宣言しておきながら、「神」だの「仏」だの「常に答えはパラドックスの箱」
だの勝手な解釈を繰り返している(典型的なトンデモ)のを見るとイライラするのだよ。
なぜ、すぐにそういう「俺理論」に走るのか？
＞11進法、もしくは36進法などではこの問題は起こりえるのでしょうか？
2進法の場合、0.111…＝1になる。
5進法の場合、0.444…＝1になる。
10進法の場合、0.999…＝1になる。
11進法の場合、0.aaa…＝1になる(数字は0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,aの11個)。
何進法でも同様。
0402素人
2006/12/26(火) 13:29:29で、答えは何なのですか？
結局、見方によるってことですよね。勝手な解釈が出回る原因は、
答えがしっかりしてないからだと思うのです。
僕はあなたに対して起こってもないし、批判もしてませんよ。
素人であるということはすばらしいことだと思います。
僕はあなたのことをまったく知りません、あなたは私のことをどれだけ知っているのか
疑問です。
11進法の0.aaa になってしまうのは、10進法から見る11進法だからではないのでしょうか？
0403素人
2006/12/26(火) 13:32:08では数学的には1+1＝2ではないということですか？
0404１３２人目の素数さん
2006/12/26(火) 13:49:18テンプレ2より。
Ａ１： 「前提条件」によって「１＝０．９９９９…」となったり「１≠０．９９９９…」になったりする。
しかし、通常はそのような前提条件を採用することのメリットや、過去の経緯を考えると
「１＝０．９９９９…」であるとした方が妥当である。
＞結局、見方によるってことですよね。勝手な解釈が出回る原因は、
＞答えがしっかりしてないからだと思うのです。
これが素人であるオマエの悪い癖。「俺理論」ってやつよ。トンデモの典型例。
前提によって、与えられた記号が持つ意味が変わるのは当然のことであり、
これを以って「答えがしっかりしていない」と結論することは出来ない。
＞素人であるということはすばらしいことだと思います。
全然素晴らしくない。なぜなら、素人は 間 違 っ た 方 向 に 行 く か ら 。
そして、それを修正する術を知らないから。たとえば、
＞11進法の0.aaa になってしまうのは、10進法から見る11進法だからではないのでしょうか？
こういうトンチンカンな発言を繰り返し(↑n進法の定義を知らない証拠)、挙句の果てには、
「答えがしっかりしてないからだと思うのです」などと勝手な「俺理論」を展開して間違いを
繰り返す。これのどこが素晴らしいのか？いい加減にしろクズ。
ちなみに、数学において「n進法から見るm進法」などという概念は存在しない。従って、
「10進法から見る11進法」などという考え方もまた存在しない。オマエが勝手に構築した
「俺理論」に過ぎない。
質問：「n進法から見るm進法」の定義は？
0405素人
2006/12/26(火) 14:05:15その質問は僕には答えられません、すみません。
でも、何回回答を見てもすっきりしません。
最初に与えられる定義により答えが変わるというのが答えですか？
あ、あと、
11進法に、－1は入らないのですか？
0406１３２人目の素数さん
2006/12/26(火) 14:10:33そもそも、君をすっきりさせる必要性が数学側にあるのか？
0407１３２人目の素数さん
2006/12/26(火) 14:19:10「こーゆー時にはこれ、こんな時には結論はこれ、こうだったら結論はこう」
みたいな事しかいえないんだけど…。
すべてにおいてすっきりさせたい…なんて人は、自信ありげに何やら自説を述べる
新興宗教にはまってしまう危険性があるんじゃないのか？
0408１３２人目の素数さん
2006/12/26(火) 14:24:24＞最初に与えられる定義により答えが変わるというのが答えですか？
そういうこと。そして、そんなのは高校時代から皆経験していること。
たとえば、問題集にある二次関数の問題を解くときに、「f(x)＝x^2＋2xとおく」と
定義すれば、その問題を解いている間は、「 f(x) 」という記号列はx^2＋2xを表す
記号となる。三角関数の問題を解くときに、「f(x)＝sinx+xcosx とおく」と定義
すれば、その問題を解いている間は、「 f(x) 」という記号列はsinx+xcosxを表す
記号となる。両方とも「 f(x) 」という同一の記号を使っていながら、その意味が
全然違う。しかし、だからといって「f(x)に2つの意味がある…これはおかしい。
答えがしっかりしていない。」などと考えるバカはいない。
＞11進法に、－1は入らないのですか？
桁を表す記号に「－1」を入れることは無いが、負の数としての「－1」なら当然ある。
0409素人
2006/12/26(火) 14:28:25もし数学側に人間をすっきりさせる必要性がないとした場合、
数学は一人歩きをし、数学教とされてしまう恐れがあるのではないでしょうか？
数学は、なるたけ、万人に解るようにに考えられているものだと思います。
では、答えは、1=0.999に場合によりなりうるということですね。
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