1=0.999… その13.999…

0001１３２人目の素数さん

2006/10/26(木) 18:36:06

前スレ:1=0.999… その 9.999… http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1118452051/
前スレ:1=0.999… その10.999… http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1136133055/
前スレ:1=0.999… その11.999… http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1142173277/
前スレ:1=0.999… その12.999… http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1154943310/
一応激しい論議の結果、回答テンプレートが作成されました　>2-5
今後書き込む際には、できるだけまず回答テンプレートを参照してから、それをふまえて行ってください。
また、回答テンプレートへの意見なども自由に書き込んでください。

0293１３２人目の素数さん

2006/11/19(日) 20:46:04

１／１　＝　２／２　＝　３／３　＝　…

を「釈然としない感じ」という人もいるやも知れないですね。

0294１３２人目の素数さん

2006/11/19(日) 20:54:05

>>292
実数論の勉強して来い。その方が早い。

0295平家蟹 ◆CoWlhnNErE

2006/11/19(日) 21:21:06

実数論？っージャンルあるの？

0296１３２人目の素数さん

2006/11/19(日) 23:17:49

>291に突っ込みが入らない件について

0297１３２人目の素数さん

2006/11/19(日) 23:19:30

>>295
「実数論」でググれ。

0298１３２人目の素数さん

2006/11/20(月) 12:45:38

０．９９９９・・・は、小数点以下の９の数が多くなるほど
限りなく１に近づく事は分かるが、１より小さい事は明らかである。
１＝０．９９９９・・・はおかしいと思う。

0299１３２人目の素数さん

2006/11/20(月) 13:11:31

>>298
＞＞１より小さい事は明らかである。

なんで明らかなの？

0300１３２人目の素数さん

2006/11/20(月) 17:43:24

>>291
違う

整数は有理数
有限小数は有理数
循環する無限小数（循環小数）は有理数
循環しない無限小数は無理数

0301１３２人目の素数さん

2006/11/20(月) 17:49:54

一般に数列 S(n) (n=0,1,2,…) に対して、その極限

　　S = lim[n→∞] S(n)

は、

どんな正数 ε に対しても、ある自然数 n_0(ε) が存在して、
　　n ≧ n_0(ε) ⇒ | S - S(n) | <　ε

を満たすようなSとして定義されます。

0.9999… の定義は色々あるでしょうけれど、最も単純なものは、
数列 S(n) = 1 - (0.1)^n の極限

　　0.9999… = lim[n→∞] S(n)

であり、上の極限の定義から

　　0.9999… = 1

となります。

0302１３２人目の素数さん

2006/11/20(月) 20:15:37

>>298
もうね0.999...を動いているイメージでしか捉えられなくて、「近づく」とか言う人は仕方ないと思うのよ。
「近づくその行き先のことなんだよ」って何回か言ってわからなければそれ以上はムダ

しかしそういう人は 1/3 = 0.3333... には疑問を抱かないのだろうか、とは思う。
0.333...だって「そういう人」から見れば「限りなく1/3に近づくけど1/3より明らかに小さい」
と思うんだが。

0303平家蟹 ◆CoWlhnNErE

2006/11/20(月) 22:09:03

じゃ0.9dotは閉区間［０、１］には入っているが、開区間（０、１）には入ってないことになるんだけど、それでokですか？

0304１３２人目の素数さん

2006/11/20(月) 22:43:44

OKだけど、1もそうだよ。

0305１３２人目の素数さん

2006/11/20(月) 22:44:15

OK。
点列の極限が、点列の入っている集合を飛び出すのはよくあること。

0306１３２人目の素数さん

2006/11/20(月) 22:51:24

なぜ「閉」区間というかもそこにあるわけだし。

0307１３２人目の素数さん

2006/11/20(月) 22:56:38

数列 an = {0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ...}について、
an in ( 0, 1 ) for any n だが、
lim[n→∞]an not in ( 0, 1 )

0308平家蟹 ◆CoWlhnNErE

2006/11/20(月) 23:57:46

ではMAX［０、１］＝１
SUP［０、１］＝１

　　SUP（０、１）＝１

MAX（０、１）＝？

定義されないのですか？
超準解析だと（１－無限小）みたいなのが定義されるんでしょうか？

なんか質問はかりですみません。

0309１３２人目の素数さん

2006/11/21(火) 00:18:41

>>302
その調子だと、>>278-281を否定するわけだ。
やはり定義次第なんと違うのか？

0310１３２人目の素数さん

2006/11/21(火) 00:26:51

>>308
実数論の勉強して来い。

0311１３２人目の素数さん

2006/11/21(火) 17:48:48

0.999…の極限を表すのって
lim[N→1]Ｎ
で良いんだよね
この問題の答えは１になる・・・はず
Ｎが限りなく１に近づく（0.999…）ときの極限は１
ってな感じ？

0.999…の極限は1
を
0.999…=1
に
するのは・・・変？

0312１３２人目の素数さん

2006/11/21(火) 18:10:24

>>311
極限は数列とか関数なんかに使う言葉であり、実数に対しては使わない。

○ an＝1/nの極限は～～～
× 2006の極限は～～～

0.999…もまた実数だから、「0.999…の極限」とは言わない。

0313１３２人目の素数さん

2006/11/21(火) 19:41:25

極限の定義

関数f(x)において、xがaと異なる値をとりながら限りなくaに近づくとき、
f(x)が一定の値aに限りなく近づくならば
x→aのとき　f(x)→a　または　lim[x→a]f(x)
と書き、aをxがaに近づくときのf(x)の極限値という

ほんとだ実数じゃない・・・関数か

じゃあどう書けば良いんだ

0314１３２人目の素数さん

2006/11/21(火) 20:28:02

an＝1－1/10^n＝0.99…99 (←9がn個並んでいる) の極限は1

0315１３２人目の素数さん

2006/11/21(火) 20:50:01

>>309
1≠0.999…が有意義に定義できるんじゃ、
そっちの方が深度は上じゃなかろうか？
深みにどっぷりな気もするけど。

0316１３２人目の素数さん

2006/11/21(火) 23:02:41

極限に向いてない人、ってのがいるんだな。

0317１３２人目の素数さん

2006/11/21(火) 23:05:45

>>313
重箱のスミだが、xもf(x)も同じaに近付かなくてもいいんだぞ

0318１３２人目の素数さん

2006/11/21(火) 23:15:40

>>197参照

0319１３２人目の素数さん

2006/11/22(水) 13:42:48

>>313
ε-δ論法知らんのか？

0320１３２人目の素数さん

2006/11/22(水) 14:53:50

知らないんじゃね？高校生向けの参考書あたりからコピペしたんだろう。

0321平家蟹 ◆CoWlhnNErE

2006/11/22(水) 18:09:01

つーか超準解析の話は？

0322１３２人目の素数さん

2006/11/22(水) 20:44:37

>>321
つーかオマエはまず実数論の勉強してこい。

0323平家蟹 ◆CoWlhnNErE

2006/11/22(水) 22:10:17

実数論、勉強したよ。わかったo(^-^)o楽勝
S（n)＝1－(0.1)^nとするとだよ、
S(1)=0.9
俺、現在形

S(n)=0.9…9(9がn個)
俺達、ただいま現在進行形

0.9dot=1
俺は過去形

っーことだろ。

しかしさー、
0.999………は、
俺、現在進行完了形、
みたいじゃない？

0324１３２人目の素数さん

2006/11/22(水) 23:07:30

>>323
実数をデデキントの切断で構成してくれ。あるいは、有理コーシー列を使う方でもいい。
少なくともこれが出来ないと、実数論を勉強したとは言わない。

0325平家蟹 ◆CoWlhnNErE

2006/11/23(木) 07:32:03

DEDEKINDの切断？わからない……、生意気言ってすみません、基礎的な集合論かと思ったんだよ。

よかったら誰か説明してくださいなm(__)m

0326１３２人目の素数さん

2006/11/23(木) 18:57:10

基礎的な用語なんだから、それこそ本読むかネットで調べればいいだろ。

0327平家蟹 ◆CoWlhnNErE

2006/11/23(木) 20:00:40

あー、ここはそういうスレなのか。
まあ、いいや、しゃしゃりこんでごめんなさい。

0328１３２人目の素数さん

2006/11/23(木) 21:38:22

>>327
要するにさー。実数ってのは「連続している」ってイメージあるよね。ところが、「連続している」
なんてのを数学的にイエスかノーかはっきりできる論理の形で表さないと、数学的にはマズイ
わけだ。下手すると、延々とアカデミックの場でここでの論議みたいなのが拡大されて収拾つ
かなくなってしまう。

で、世界で初めて明確なイエス・ノーの論理の形で「連続している」ってイメージを表したのが
デテキントさん。で、使っているのが「デテキントの切断」なわけだ。その後で、コーシーさんとか
色々な人が別の表現を試みたけど、後々でそれらが「結局、皆同じ」ってことが証明されるわけ
だな。

実数が「連続している」ってイメージを認めるなら、結局どこかでこれらを認めて話を進めない
といけない…ってのが解析学の初歩。

デテキントの切断なんていやだーってんで超準解析なんてのを作った人もいるけど、これは
無茶難しい。

0329１３２人目の素数さん

2006/11/23(木) 21:54:27

超フィルターを使って超実数を構成するくらいなら簡単。

0330１３２人目の素数さん

2006/11/23(木) 22:07:35

もう、>>278-281で
定義次第って話は纏まった筈では？
1≠0.9dotとする事に因る不便さが付き纏って随分と細かく複雑な注意事項が出てきそうだが。

0331１３２人目の素数さん

2006/11/23(木) 22:21:13

>>328
> で、世界で初めて明確なイエス・ノーの論理の形で「連続している」ってイメージを表したのが
> デテキントさん。で、使っているのが「デテキントの切断」なわけだ。その後で、コーシーさんとか
> 色々な人が別の表現を試みたけど、後々でそれらが

その「その後で、」の位置を工夫しないと
まるでコーシーがデデキント切断の後みたいじゃないか

0332!^r

2006/11/25(土) 03:43:39

もうどっちでもいいんじゃね

0333平家蟹 ◆CoWlhnNErE

2006/11/28(火) 21:14:49

あースレとめちまったのかな。
こーこーせー、疑問をぶつけるのだ！

0334１３２人目の素数さん

2006/11/29(水) 02:11:59

【>>330】
>>333
１＝0.9dotでも１≠0.9dotでも良い事が
>>278-281によって示されている。

0335１３２人目の素数さん

2006/11/29(水) 23:00:04

最初のテンプレからして、条件次第って書いているんですけど…。

0336１３２人目の素数さん

2006/11/30(木) 01:35:42

普通の実数や超実数
＝
変わった実数やアレンジされた超実数（超現実数等も含む）
≠

0337１３２人目の素数さん

2006/11/30(木) 04:03:26

【>>334】
>>335-336
すっかり忘れ。謝。
というわけで取り敢えずＱ＆Ａ７(>>5)に>>278-281を添える。

0338１３２人目の素数さん

2006/11/30(木) 15:15:49

Ｑ＆Ａ８かな

0339337

2006/11/30(木) 17:18:32

>>338
ありゃま、Ｑ＆Ａ７じゃなかった
新しくＱ＆Ａ８として設置になりますね。

0340１３２人目の素数さん

2006/12/02(土) 18:27:48

小数点以下で9が連続する循環小数（0.999…とか1.999…とか10.999…とか)は
その循環小数の整数部分に１を足した値(0.999…なら0に1を足して1、10.999…なら10に1を足して11）と等しい
＜証明＞
実数の定義より、循環小数は有理数であることから、四則演算が適用できる。
あとはＱ７の⑦とか使う
＜証明終わり＞

とかじゃ駄目なのか

0341１３２人目の素数さん

2006/12/03(日) 00:48:54

>>340
つうか、1=0.999…と同値な問題だろ

0342平家蟹 ◆CoWlhnNErE

2006/12/03(日) 10:31:11

とりあえず１＝０．９dotの話は面白みがないから、≠として、なんか話が展開されないのかな。

0343源氏蛍 ◆EGfEOrbUDA

2006/12/03(日) 23:13:40

でも、面白いとかツマラナイの問題じゃないでしょ。

0344１３２人目の素数さん

2006/12/04(月) 00:04:50

正直、誰かトンデモ理論を言い出してこないかとワクテカしてる

0345１３２人目の素数さん

2006/12/04(月) 00:07:36

考えてるんだけどな＞トンデモ理論。

0346１３２人目の素数さん

2006/12/05(火) 20:24:10

1≒0.999…

0347１３２人目の素数さん

2006/12/08(金) 22:45:25

Q4がいま一つ理解できない。
不完全性定理が関係有るヤツなの？

0348１３２人目の素数さん

2006/12/09(土) 02:23:00

ってか、不完全性定理的回答ってだけで
どっちか一方が絶対、じゃないっ事じゃねっすか

0349１３２人目の素数さん

2006/12/09(土) 17:26:37

不完全正定理云々以前に定義の問題だと思うけど。

0350１３２人目の素数さん

2006/12/09(土) 18:22:50

ただどう定義してもＱで0.999……=1が証明されたときに、
0.999……≠1が証明されないことは証明できないはず。
なぜならばＱではＮが定義できるので、自然数論を含む体系になるから。
もし0.999……≠1が証明されればＱが矛盾していることになり、
エライことになってしまう。

ということをＱ４は言っているのでは？

0351１３２人目の素数さん

2006/12/09(土) 18:25:55

後半死んでるな。
もし0.999……≠1が証明されないことが証明されれば
無矛盾であることが証明できたことになり、Ｑが矛盾している
ことになり、エライことになる。

だな。

0352１３２人目の素数さん

2006/12/09(土) 19:35:30

そもそも前提条件が違う証明同士だったらそんな余計な文面要らないんじゃないの？

0353１３２人目の素数さん

2006/12/10(日) 02:04:21

>>352でおｋ。
別個の公理系。

0354１３２人目の素数さん

2006/12/10(日) 04:04:05

当たり前と言えばそうだが、「前提を定めれば論理的にどちらかが正しいと証明できるはず」
という人もいる。それは厳密には無理と言うことで書いてあるのだと思う。

0355１３２人目の素数さん

2006/12/10(日) 04:18:20

>>354
合、其処等辺の解説に不完全性定理的回答也、と云う事で御座る。

0356１３２人目の素数さん

2006/12/10(日) 11:42:20

しかし、テンプレのＱ５Ａ５がこのスレの前提条件としたんでは、
㌧でもも超準解析も入り込む余地はないんじゃね。

0357１３２人目の素数さん

2006/12/10(日) 11:55:05

まあ通常の解釈の話であればああ書くことになるんじゃない？
というか、通常でない解釈として採用した方が（しても？）いい
ものが具体的にあがっていないからじゃないのかな？
コンウェイの超現実数はたしかに採用されても良いと思うけど。

0358１３２人目の素数さん

2006/12/10(日) 23:23:21

http://www.taiyo-g.com/shousai72.html
↑
これってどーなの？

0359１３２人目の素数さん

2006/12/10(日) 23:35:19

文系が哲学者のMLに話題を投げた記録て…
これほど読む気が失せる前文も珍しいな。

0360１３２人目の素数さん

2006/12/12(火) 12:34:30

循環小数は、有理数ではない！

いやいやｗ
実数の定義だからね循環小数が有理数ってのは・・・・・

0361１３２人目の素数さん

2006/12/12(火) 13:04:50

どうせこんなことが書いてあるんだろ。

・例えば0.333…＝1/3－無限小であり、1/3には一致せず、有理数でない。

0362１３２人目の素数さん

2006/12/12(火) 16:18:10

0.9は、もちろん有理数
0.99も、もちろん有理数
0.999も、もちろん有理数
0.999…は循環小数なので有理数
1は、もちろん有理数

0.999…を考えるときには有理数しか出てこない
だからそんなに難しく考えなくても良いのでは

0363小が臭え

2006/12/12(火) 21:23:33

コンウェイの超限実数では…何だろねぃ。
でも普通は有理数じゃんね。

0364.

2006/12/13(水) 19:58:15

>>360
洋一石
一石　って　ein steinつまりアインシュタインのもじりのつもり？

0365１３２人目の素数さん

2006/12/14(木) 05:24:30

純粋に数理的に考えていった場合、実数の定義自体が怪しいんでは？

0366１３２人目の素数さん

2006/12/14(木) 19:55:10

なんでやねん！

0367KingOfUniverse ◆667la1PjK2

2006/12/14(木) 20:52:09

talk:>>365 実数空間の満たすべき性質は、順序体であることと、完備であることだ。その条件を満たす集合を具体的に定義することもでき、それらは互いに同型だ。

0368１３２人目の素数さん

2006/12/15(金) 05:20:32

実数はそのまま実数でおｋ。
問題は、1≠0.999なる公理系(例えば、>>278-281)。

儂ゃ知らんがな(´･ω･｀)

0369１３２人目の素数さん

2006/12/15(金) 21:59:57

【1≠0.999…の証明】

初項a_0=0、一般項a_n=a_(n-1)/10+0.9の数列を考える。
この数列の無限番目は１と等しくなると仮定する。

次に、上と順序が逆の数列を考える。
初項a_0=1、一般項a_n=a_(n-1)*10-9。
しかし、この数列の項は、すべて１である。

よって最初の数列の無限番目は１に等しいとは言えない。

0370１３２人目の素数さん

2006/12/15(金) 23:28:35

>>369
背理法を使っているつもりなのだろうが、一体どこが矛盾してるのか分からん。

0371１３２人目の素数さん

2006/12/15(金) 23:53:30

無限番目ってあんたｗ

0372１３２人目の素数さん

2006/12/16(土) 01:56:20

仮定が矛盾してんじゃん

0373１３２人目の素数さん

2006/12/16(土) 02:18:22

ブルバキスレにまたもや文keiが偽名を使って出没している
どうにかしてくれ

0374369

2006/12/16(土) 07:55:45

無限番目をlim(n→∞)a_nとしてください。
これで仮定は矛盾しないと思う。

0375１３２人目の素数さん

2006/12/16(土) 08:44:07

>>374
「無限番目」を「lim(n→∞)a_n」に変えて議論すると、こうなる。

初項a_0=0、一般項a_n=a_(n-1)/10+0.9の数列を考える。
lim(n→∞)a_n＝1だと仮定する。

次に、上と順序が逆の数列を考える。
初項b_0=1、一般項b_n=b_(n-1)*10-9。
さて、この数列{b_n}は、本当に数列{a_n}と「順序が逆」なのだろうか？
そもそも、「順序が逆の数列」とは何なのか？岩波の分厚い数学辞典を
見ても、「順序が逆の数列」なるものは載っていない。従って、>>374に
質問しなければならない。

質問：「順序が逆の数列」の定義は？

0376375

2006/12/16(土) 08:51:22

>>374
これも追加で質問。

質問：次の3つの数列に対して、「順序が逆の数列」を教えてくれ。
x_n＝2^n
y_n＝1/n
z_n＝cos(n)

0377369

2006/12/16(土) 10:49:52

>>375
>質問：「順序が逆の数列」の定義は？

a_n=f(a_(n-1))のとき、漸化式の逆関数をf^(-1)とすると、
a_n=f(^-1)(a_(n-1))な数列のこと。これは逆数列というのかな？
このとき初項が問題になるけど、a_∞=lim(n→∞)a_n（つまり0.99…=1）ならば
初項は１にすべきだと思う。
わたしは、初項を１にすると「順序が逆」の数列はlim(n→∞)a_n=0になりえない
ことだけを示せれば十分かなぁと思った。

でも、これを書いている途中で、たとえ初項を0.99…にしたとしても順序が逆の数列は
できない気がしてきたので、>>369はちょっと撤回させてもらいます。

0378１３２人目の素数さん

2006/12/16(土) 17:40:25

つうか>>369って本気で書いてたのかよ。
しかもそのキモが俺理論ときたｗ

0379１３２人目の素数さん

2006/12/16(土) 17:47:46

>わたしは、初項を１にすると「順序が逆」の数列はlim(n→∞)a_n=0になりえない
>ことだけを示せれば十分かなぁと思った。

「十分かなあと思った」・・・・・
全然十分ではありません。以上。

0380１３２人目の素数さん

2006/12/17(日) 11:54:26

射影的極限の話でもするのかと思った

0381１３２人目の素数さん

2006/12/23(土) 09:55:18

>>380
じゃあそのネタで
[1＝0.999…の話]or[1≠0.999…の話]でも
してくれ～ぃ。

0382１３２人目の素数さん

2006/12/23(土) 10:21:12

0.999……=1であるということは、
0.99=1という系があることも認める事か？

0383１３２人目の素数さん

2006/12/25(月) 06:42:33

このスレたまにバカが湧くな

0384１３２人目の素数さん

2006/12/25(月) 15:16:24

>>382
どこにそんなおかしな記述がある？

0385１３２人目の素数さん

2006/12/26(火) 02:17:44

関連する話で、一つ質問です
普段私達が日常生活や数学の問題を解く中で使用する０なんですが
０そのもの、1から０へ近づけた０、-1から０へ近づけた０
以上、３種類存在すると思うのですが、これも前提条件を元に考えられた概念なのでしょうか？
将来覆される可能性があるのでしょうか？

0386１３２人目の素数さん

2006/12/26(火) 03:12:12

>>385
φ|空集合と→+0成る数と→ｰ0成る数か。
極限概念…とだけで答えを済ませてはもらえないだろうな。

0387１３２人目の素数さん

2006/12/26(火) 05:02:33

>>384
極限の本質を理解していないな。（ある面ネタではあるけど。）
0.9が充分１に近い数値であれば、0.99は１である。
自然数ｎが無限大という値を取らない限り、
級数が極値を取る事はあり得ない。

0388１３２人目の素数さん

2006/12/26(火) 07:40:53

>>385
x = lim[n→∞]{ (-0.5)^n } とする。
xはゼロなわけだが、君のいう3種類のうちどれになるの？

0389１３２人目の素数さん

2006/12/26(火) 07:46:14

>>387
たった4行で突っ込み所多すぎｗ

0390素人

2006/12/26(火) 10:13:42

私は、ド素人ですがこのスレを見て、考えたのですが、答えは仏か神か
のレベルだと思います。
どなたか、数学以外の分野からの感想を聞きたいです。
どなたかいらっしゃいますか？

0391１３２人目の素数さん

2006/12/26(火) 10:45:20

＞答えは仏か神かのレベルだと思います。
そう思うのはオマエが素人だから。

0392素人

2006/12/26(火) 10:49:06

>>391
でも、常に答えはパラドックスの箱ですよね。