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1=0.999… その13.999…

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0001１３２人目の素数さん2006/10/26(木) 18:36:06
前スレ:1=0.999… その 9.999… http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1118452051/
前スレ:1=0.999… その10.999… http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1136133055/
前スレ:1=0.999… その11.999… http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1142173277/
前スレ:1=0.999… その12.999… http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1154943310/
一応激しい論議の結果、回答テンプレートが作成されました　>2-5
今後書き込む際には、できるだけまず回答テンプレートを参照してから、それをふまえて行ってください。
また、回答テンプレートへの意見なども自由に書き込んでください。
0247１３２人目の素数さん2006/11/11(土) 09:29:45
そうだなｗ　しかもそれも何度も指摘されている。
0248１３２人目の素数さん2006/11/11(土) 12:32:59
＞無限の先に１があると言うつもりかもしれませんが、無限の先とは何でしょうか。
非可算な整列集合とか。
0249１３２人目の素数さん2006/11/12(日) 07:53:38
>>246-247
どうかな、
確かに切断でも連続体仮説でも、1と0.999…は同一にしているけど、
分別しても、これらの議論では問題ないのでは？
より難解だろうけど。
第一、このｽﾚではその様に片付きはしないはず。
0250１３２人目の素数さん2006/11/12(日) 08:03:11
＞確かに切断でも連続体仮説でも、1と0.999…は同一にしているけど
デデキントの切断では、同一に「している」のではなくて、同一に「なる」んだよ。

＞第一、このｽﾚではその様に片付きはしないはず。
バカは消えろ。デデキントの切断では、同一に「している」のではなくて、同一に「なる」わけよ。
0251１３２人目の素数さん2006/11/12(日) 09:43:38
>>250
相手も相手だが、文章に叩きを含めるのも如何なものか？
揃ってお立ち退き頂きたい。
0252１３２人目の素数さん2006/11/12(日) 10:07:01
{ [0 , 1/2) , [1/2 , 1] } と { [0 , 1/2] , (1/2 , 1] }
の同一視（もしくは一方の排除）は
「している」のではなく「なる」ものなの？
0253１３２人目の素数さん2006/11/12(日) 10:43:19
デテキントの切断を認めれば当然「単調増加数列はその上限に収束する」んだろ？
数列　０．９、０．９９、０．９９９、…　の上限は１だから当然１に収束するな。

で、君の立場だと、収束しても同一視はしないってコトか？
0254>>251でも>>252でもないが2006/11/12(日) 10:54:47
収束か。
>>108参照。
0255１３２人目の素数さん2006/11/12(日) 11:14:25
>>253
> ０．９、０．９９、０．９９９、…　の上限は１だから

いや、それを切断の形式で書かないと意味が
ないという話だと思ったんだが・・・。

> 君の立場

別に俺何の立場も表明してないけど？
他の奴と間違えんでくれよ。
0256１３２人目の素数さん2006/11/12(日) 11:49:32
>>254
で？

>>255
デテキントの切断と上限に収束するってやつは同値なんだからさー。
片方だけで考える必要あるんか？
0257１３２人目の素数さん2006/11/12(日) 12:06:16
>>256
それ全然>>252に答えられてないよ。
ていうか252きちんと読んだ？
デデキントの切断はまず252の2種類の集合を
どちらか一方に絞ってることは知ってるでしょ？
そうやって絞るからこそ君の言う同値が証明できる
わけなので、その同値を持ち出しても252に
答えてることにはならんべ。
0258１３２人目の素数さん2006/11/12(日) 12:34:41
べつに>>252に答えている訳じゃなかったのだが…紛らわしくてスマソ
0259１３２人目の素数さん2006/11/12(日) 16:04:34
>>252
もしかして、
{[0, 1), [1, 2]} が 0.999・・・で
{[0, 1), [1, 2]} が 1に対応してると考えてるの？
0260１３２人目の素数さん2006/11/12(日) 16:06:42
あ、ミスった

{[0, 1), [1, 2]} が 0.999・・・で
{[0, 1], (1, 2]} が 1に対応してると考えてるの？
02612522006/11/12(日) 16:15:37
いや、俺自身はそう考えてないけどね
（俺は>>246だし）
>>237が言いたかったことを好意的に解釈しようとすると
そんなことを考えていたんじゃないかなあと
0262平家蟹 ◆CoWlhnNErE 2006/11/12(日) 20:21:50
なんで同じなの？
明らかに違うと思うんだが。
0263１３２人目の素数さん2006/11/12(日) 20:24:08
アルキメデスの原理とかなんでこの問題に使うんだよｗｗｗｗｗ
水の中の物体は、それがおしのけた水の重量だけ軽くなる
どこで使うんだよｗｗｗｗｗ
0264１３２人目の素数さん2006/11/12(日) 20:56:44
>>263
釣れますか？
0265１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 00:42:48
>>263
ﾜﾛｽ
0266マジレスするぞぉ！2006/11/13(月) 01:19:14
>>263
そっちかよ！質量保存則の方かよ！
取り尽くし法(古代のε-δ論法)の方だよ!!
0267１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 08:01:36
独力で超限解析を再発見するような活きのいい電波はおらんかのう…
0268平家蟹の舎弟2006/11/13(月) 20:22:10
いまよんできます。
0269平家蟹 ◆CoWlhnNErE 2006/11/13(月) 20:24:42
はいはーい。
0270１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 20:57:40
>>267
超準解析作ったヤツもこのスレみたいに、数学者から煽られて奮発して作ったに違いないｗ

でも…おいそれとはできんよな…コレ。
0271平家蟹 ◆CoWlhnNErE 2006/11/13(月) 21:14:44
超準解析ってなに？
0272１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 22:02:14
「超準解析」は難しいけど、超フィルターを使って超実数を構成するくらいなら簡単。
0273１３２人目の素数さん2006/11/14(火) 10:56:21
>>271
簡単に言うと、無限小が実在する世界での微積分、
及び、それと一般的な実数の世界の問題とを互いに翻訳する方法。
0274１３２人目の素数さん2006/11/14(火) 19:15:20
1=0.999…ではないとすればこのスレタイはかなり変になるとは思いませんか
0275平家蟹 ◆CoWlhnNErE 2006/11/14(火) 21:48:32
んー、1＝0.9dotってさー、綺麗じゃないよ。綺麗じゃなきゃ駄目だろ。
0276平家蟹 ◆qZKkuPC36I 2006/11/14(火) 22:15:45
f(x)=1/x だと
０に右から近付くのと
左から近付くのとだと値違うけどいいの？
0277１３２人目の素数さん2006/11/15(水) 00:18:39
>>275
泥臭いのもまた数学なのさ。

>>276
だから？
0278１３２人目の素数さん2006/11/15(水) 05:04:17
コンウェイの超現実数だと0.999……≠1だな。
0279１３２人目の素数さん2006/11/15(水) 05:51:29
>>278
なにそれ？
0280１３２人目の素数さん2006/11/15(水) 06:34:16
クヌースのこの本をどうぞ。
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4760126465
実数と無限大・無限小でできている。平たく言うと、左が右以上にならない数のペア（実際には空でも良い）から作られる。
0281１３２人目の素数さん2006/11/15(水) 21:51:30
実数+無限小とかももちろん含まれている。わかってるだろうけど念のため。
0282平家蟹 ◆CoWlhnNErE 2006/11/15(水) 21:55:53
素人考えなんだがｆ(x)=1/(x-1)で
0.9dot=1=1.0dot
（ニュアンス的にこう書くとすると）

f(0.9d)=-∞
f(1) 定義なし
f(1.0d)=+∞

となるから、0.9dot=1っていかにも違うよなきがするんだが、数学的だとなんら問題ないの？
0283１３２人目の素数さん2006/11/15(水) 22:01:05
全部、定義なしで無問題。
0284平家蟹 ◆CoWlhnNErE 2006/11/15(水) 22:09:08
定義ないのか。わかりました、ありがとう。
しかしひねくれ者だから、いちゃもんつけると、
二進法とかあるわけだから、十一進法にして
０、１、２、３、４、５、６、７、８、９、うんことすると、
0.9dot<0.うんこdot<1とかはなんねのかな？
同相とかで問題なし？
0285１３２人目の素数さん2006/11/15(水) 22:22:16
>>284
十一進法なら 0.999… < 1 だよ。
で、何が言いたいの？
0286平家蟹 ◆CoWlhnNErE 2006/11/15(水) 22:35:20
いやー、十進法から、イメージ沸いたよ。サンチュ
0287平家蟹 ◆CoWlhnNErE 2006/11/17(金) 18:57:27
んーしかしさー、0.9DOTって無理数？有理数？
0288１３２人目の素数さん2006/11/19(日) 18:23:11
>>278-280
やっぱり定義次第なんだ。
>>286-287
16進法
0123456789ABCDEF
この時、10進法の0.9dotに相当するのは0.Fdot、つまりそれは全く違う数。
1＝0.9dot⇒0.9dotは有利数
1≠0.9dot⇒0.9dotは無理数
0289１３２人目の素数さん2006/11/19(日) 18:38:33
1-無限小を無理数と言うか？
02902882006/11/19(日) 19:49:01
>>289
悪い。言えんかった。
超準解析的には、えーと…。
0291１３２人目の素数さん2006/11/19(日) 20:07:14
整数は有理数
循環小数は有理数
無限小数は無理数
0292平家蟹 ◆CoWlhnNErE 2006/11/19(日) 20:44:06
0.9dotが有理数の場合、＝P/Qになる自然数がP=Q=1ってのは釈然としない感じなんですが……
0293１３２人目の素数さん2006/11/19(日) 20:46:04
１／１　＝　２／２　＝　３／３　＝　…

を「釈然としない感じ」という人もいるやも知れないですね。
0294１３２人目の素数さん2006/11/19(日) 20:54:05
>>292
実数論の勉強して来い。その方が早い。
0295平家蟹 ◆CoWlhnNErE 2006/11/19(日) 21:21:06
実数論？っージャンルあるの？
0296１３２人目の素数さん2006/11/19(日) 23:17:49
>291に突っ込みが入らない件について
0297１３２人目の素数さん2006/11/19(日) 23:19:30
>>295
「実数論」でググれ。
0298１３２人目の素数さん2006/11/20(月) 12:45:38
０．９９９９・・・は、小数点以下の９の数が多くなるほど
限りなく１に近づく事は分かるが、１より小さい事は明らかである。
１＝０．９９９９・・・はおかしいと思う。
0299１３２人目の素数さん2006/11/20(月) 13:11:31
>>298
＞＞１より小さい事は明らかである。

なんで明らかなの？
0300１３２人目の素数さん2006/11/20(月) 17:43:24
>>291
違う

整数は有理数
有限小数は有理数
循環する無限小数（循環小数）は有理数
循環しない無限小数は無理数
0301１３２人目の素数さん2006/11/20(月) 17:49:54
一般に数列 S(n) (n=0,1,2,…) に対して、その極限

　　S = lim[n→∞] S(n)

は、

どんな正数 ε に対しても、ある自然数 n_0(ε) が存在して、
　　n ≧ n_0(ε) ⇒ | S - S(n) | <　ε

を満たすようなSとして定義されます。

0.9999… の定義は色々あるでしょうけれど、最も単純なものは、
数列 S(n) = 1 - (0.1)^n の極限

　　0.9999… = lim[n→∞] S(n)

であり、上の極限の定義から

　　0.9999… = 1

となります。
0302１３２人目の素数さん2006/11/20(月) 20:15:37
>>298
もうね0.999...を動いているイメージでしか捉えられなくて、「近づく」とか言う人は仕方ないと思うのよ。
「近づくその行き先のことなんだよ」って何回か言ってわからなければそれ以上はムダ

しかしそういう人は 1/3 = 0.3333... には疑問を抱かないのだろうか、とは思う。
0.333...だって「そういう人」から見れば「限りなく1/3に近づくけど1/3より明らかに小さい」
と思うんだが。
0303平家蟹 ◆CoWlhnNErE 2006/11/20(月) 22:09:03
じゃ0.9dotは閉区間［０、１］には入っているが、開区間（０、１）には入ってないことになるんだけど、それでokですか？
0304１３２人目の素数さん2006/11/20(月) 22:43:44
OKだけど、1もそうだよ。
0305１３２人目の素数さん2006/11/20(月) 22:44:15
OK。
点列の極限が、点列の入っている集合を飛び出すのはよくあること。
0306１３２人目の素数さん2006/11/20(月) 22:51:24
なぜ「閉」区間というかもそこにあるわけだし。
0307１３２人目の素数さん2006/11/20(月) 22:56:38
数列 an = {0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ...}について、
an in ( 0, 1 ) for any n だが、
lim[n→∞]an not in ( 0, 1 )
0308平家蟹 ◆CoWlhnNErE 2006/11/20(月) 23:57:46
ではMAX［０、１］＝１
SUP［０、１］＝１

　　SUP（０、１）＝１

MAX（０、１）＝？

定義されないのですか？
超準解析だと（１－無限小）みたいなのが定義されるんでしょうか？

なんか質問はかりですみません。
0309１３２人目の素数さん2006/11/21(火) 00:18:41
>>302
その調子だと、>>278-281を否定するわけだ。
やはり定義次第なんと違うのか？
0310１３２人目の素数さん2006/11/21(火) 00:26:51
>>308
実数論の勉強して来い。
0311１３２人目の素数さん2006/11/21(火) 17:48:48
0.999…の極限を表すのって
lim[N→1]Ｎ
で良いんだよね
この問題の答えは１になる・・・はず
Ｎが限りなく１に近づく（0.999…）ときの極限は１
ってな感じ？

0.999…の極限は1
を
0.999…=1
に
するのは・・・変？
0312１３２人目の素数さん2006/11/21(火) 18:10:24
>>311
極限は数列とか関数なんかに使う言葉であり、実数に対しては使わない。

○ an＝1/nの極限は～～～
× 2006の極限は～～～

0.999…もまた実数だから、「0.999…の極限」とは言わない。
0313１３２人目の素数さん2006/11/21(火) 19:41:25
極限の定義

関数f(x)において、xがaと異なる値をとりながら限りなくaに近づくとき、
f(x)が一定の値aに限りなく近づくならば
x→aのとき　f(x)→a　または　lim[x→a]f(x)
と書き、aをxがaに近づくときのf(x)の極限値という

ほんとだ実数じゃない・・・関数か

じゃあどう書けば良いんだ
0314１３２人目の素数さん2006/11/21(火) 20:28:02
an＝1－1/10^n＝0.99…99 (←9がn個並んでいる) の極限は1
0315１３２人目の素数さん2006/11/21(火) 20:50:01
>>309
1≠0.999…が有意義に定義できるんじゃ、
そっちの方が深度は上じゃなかろうか？
深みにどっぷりな気もするけど。
0316１３２人目の素数さん2006/11/21(火) 23:02:41
極限に向いてない人、ってのがいるんだな。
0317１３２人目の素数さん2006/11/21(火) 23:05:45
>>313
重箱のスミだが、xもf(x)も同じaに近付かなくてもいいんだぞ
0318１３２人目の素数さん2006/11/21(火) 23:15:40
>>197参照
0319１３２人目の素数さん2006/11/22(水) 13:42:48
>>313
ε-δ論法知らんのか？
0320１３２人目の素数さん2006/11/22(水) 14:53:50
知らないんじゃね？高校生向けの参考書あたりからコピペしたんだろう。
0321平家蟹 ◆CoWlhnNErE 2006/11/22(水) 18:09:01
つーか超準解析の話は？
0322１３２人目の素数さん2006/11/22(水) 20:44:37
>>321
つーかオマエはまず実数論の勉強してこい。
0323平家蟹 ◆CoWlhnNErE 2006/11/22(水) 22:10:17
実数論、勉強したよ。わかったo(^-^)o楽勝
S（n)＝1－(0.1)^nとするとだよ、
S(1)=0.9
俺、現在形

S(n)=0.9…9(9がn個)
俺達、ただいま現在進行形

0.9dot=1
俺は過去形

っーことだろ。

しかしさー、
0.999………は、
俺、現在進行完了形、
みたいじゃない？
0324１３２人目の素数さん2006/11/22(水) 23:07:30
>>323
実数をデデキントの切断で構成してくれ。あるいは、有理コーシー列を使う方でもいい。
少なくともこれが出来ないと、実数論を勉強したとは言わない。
0325平家蟹 ◆CoWlhnNErE 2006/11/23(木) 07:32:03
DEDEKINDの切断？わからない……、生意気言ってすみません、基礎的な集合論かと思ったんだよ。

よかったら誰か説明してくださいなm(__)m
0326１３２人目の素数さん2006/11/23(木) 18:57:10
基礎的な用語なんだから、それこそ本読むかネットで調べればいいだろ。
0327平家蟹 ◆CoWlhnNErE 2006/11/23(木) 20:00:40
あー、ここはそういうスレなのか。
まあ、いいや、しゃしゃりこんでごめんなさい。
0328１３２人目の素数さん2006/11/23(木) 21:38:22
>>327
要するにさー。実数ってのは「連続している」ってイメージあるよね。ところが、「連続している」
なんてのを数学的にイエスかノーかはっきりできる論理の形で表さないと、数学的にはマズイ
わけだ。下手すると、延々とアカデミックの場でここでの論議みたいなのが拡大されて収拾つ
かなくなってしまう。

で、世界で初めて明確なイエス・ノーの論理の形で「連続している」ってイメージを表したのが
デテキントさん。で、使っているのが「デテキントの切断」なわけだ。その後で、コーシーさんとか
色々な人が別の表現を試みたけど、後々でそれらが「結局、皆同じ」ってことが証明されるわけ
だな。

実数が「連続している」ってイメージを認めるなら、結局どこかでこれらを認めて話を進めない
といけない…ってのが解析学の初歩。

デテキントの切断なんていやだーってんで超準解析なんてのを作った人もいるけど、これは
無茶難しい。
0329１３２人目の素数さん2006/11/23(木) 21:54:27
超フィルターを使って超実数を構成するくらいなら簡単。
0330１３２人目の素数さん2006/11/23(木) 22:07:35
もう、>>278-281で
定義次第って話は纏まった筈では？
1≠0.9dotとする事に因る不便さが付き纏って随分と細かく複雑な注意事項が出てきそうだが。
0331１３２人目の素数さん2006/11/23(木) 22:21:13
>>328
> で、世界で初めて明確なイエス・ノーの論理の形で「連続している」ってイメージを表したのが
> デテキントさん。で、使っているのが「デテキントの切断」なわけだ。その後で、コーシーさんとか
> 色々な人が別の表現を試みたけど、後々でそれらが

その「その後で、」の位置を工夫しないと
まるでコーシーがデデキント切断の後みたいじゃないか
0332!^r2006/11/25(土) 03:43:39
もうどっちでもいいんじゃね
0333平家蟹 ◆CoWlhnNErE 2006/11/28(火) 21:14:49
あースレとめちまったのかな。
こーこーせー、疑問をぶつけるのだ！
0334１３２人目の素数さん2006/11/29(水) 02:11:59
【>>330】
>>333
１＝0.9dotでも１≠0.9dotでも良い事が
>>278-281によって示されている。
0335１３２人目の素数さん2006/11/29(水) 23:00:04
最初のテンプレからして、条件次第って書いているんですけど…。
0336１３２人目の素数さん2006/11/30(木) 01:35:42
普通の実数や超実数
＝
変わった実数やアレンジされた超実数（超現実数等も含む）
≠
0337１３２人目の素数さん2006/11/30(木) 04:03:26
【>>334】
>>335-336
すっかり忘れ。謝。
というわけで取り敢えずＱ＆Ａ７(>>5)に>>278-281を添える。
0338１３２人目の素数さん2006/11/30(木) 15:15:49
Ｑ＆Ａ８かな
03393372006/11/30(木) 17:18:32
>>338
ありゃま、Ｑ＆Ａ７じゃなかった
新しくＱ＆Ａ８として設置になりますね。
0340１３２人目の素数さん2006/12/02(土) 18:27:48
小数点以下で9が連続する循環小数（0.999…とか1.999…とか10.999…とか)は
その循環小数の整数部分に１を足した値(0.999…なら0に1を足して1、10.999…なら10に1を足して11）と等しい
＜証明＞
実数の定義より、循環小数は有理数であることから、四則演算が適用できる。
あとはＱ７の⑦とか使う
＜証明終わり＞

とかじゃ駄目なのか
0341１３２人目の素数さん2006/12/03(日) 00:48:54
>>340
つうか、1=0.999…と同値な問題だろ
0342平家蟹 ◆CoWlhnNErE 2006/12/03(日) 10:31:11
とりあえず１＝０．９dotの話は面白みがないから、≠として、なんか話が展開されないのかな。
0343源氏蛍 ◆EGfEOrbUDA 2006/12/03(日) 23:13:40
でも、面白いとかツマラナイの問題じゃないでしょ。
0344１３２人目の素数さん2006/12/04(月) 00:04:50
正直、誰かトンデモ理論を言い出してこないかとワクテカしてる
0345１３２人目の素数さん2006/12/04(月) 00:07:36
考えてるんだけどな＞トンデモ理論。
0346１３２人目の素数さん2006/12/05(火) 20:24:10
1≒0.999…
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