1=0.999… その13.999…

0001１３２人目の素数さん

2006/10/26(木) 18:36:06

前スレ:1=0.999… その 9.999… http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1118452051/
前スレ:1=0.999… その10.999… http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1136133055/
前スレ:1=0.999… その11.999… http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1142173277/
前スレ:1=0.999… その12.999… http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1154943310/
一応激しい論議の結果、回答テンプレートが作成されました　>2-5
今後書き込む際には、できるだけまず回答テンプレートを参照してから、それをふまえて行ってください。
また、回答テンプレートへの意見なども自由に書き込んでください。

0231１３２人目の素数さん

2006/11/09(木) 18:59:03

GOSAって何かと思ったら
もしかして「誤差」？
君はひょっとして天才か？

0232１３２人目の素数さん

2006/11/09(木) 20:12:11

>>230
fの定義は
f(x) ＝( x の小数点以下を切り捨てた数 )
なので、メモリーが無限桁であろうがなかろうが、
f(0.999…)＝( 0.999…の小数点以下を切り捨てた数 )＝0
となる。一方で0.999…＝1だから、
f(1)＝( 1の小数点以下を切り捨てた数 )＝1
となる。よって、どのみちfはwell-definedでない。

0233１３２人目の素数さん

2006/11/09(木) 20:24:41

コンピュータが内部で 1 と 0.999・・・を区別するかどうかによるだろ

0234１３２人目の素数さん

2006/11/09(木) 20:37:08

ほらな
コンピュータが0.9999・・・を
1とは異なる数字の列と扱えば出力が違うし
実数として1と同じと扱えれば同じ出力になるんだよ
well-definedかどうかで考えるのは誤解の元

02351 ≠ 0.99…の世界に行ってきた。

2006/11/09(木) 21:25:27

全ての数ｎ÷ｎにおいて

最初の商に０を立てると次の位には９が立ち、以下同じ数字が繰り返されるので
ｎ÷ｎ = 0.99…
また、最初の商に１を立てると
ｎ÷ｎ = 1

∴ ｎ÷ｎ = 1 = 0.99…

ここで定義より1≠0.999だが明らかに矛盾。
故に1≠0.99…ならばｎ÷ｎは存在しない。

0236１３２人目の素数さん

2006/11/09(木) 21:27:02

>>233-234
そりゃまあ>>232は
　f(x) ＝(xの小数点以下を切り捨てた数)
を
　f(数字列x) ＝(数字列xの小数点以下を切り捨てた数)
と読んでるんだからある意味当然だわな。
xが実数のつもりならまず十進展開の仕方（形式的には
関数g : R→{数字列}）を決めねばならんし。
それでやっとお望みの
　fg : R→{数字列}→Z
が定義できるんだからな。

0237１３２人目の素数さん

2006/11/10(金) 08:44:21

【>>101を引用しとく】
やはり、0.999…は極限極論で1なのでは？
だか本スレは極論無しに議論を行う積もりの筈。
ここら辺の話(÷0話や∞哲学)で有名な足立恒雄曰わく、0.999…＝１？に対し、
『最後に｢0.0000…1｣の最後の｢1｣は何でしょうか？
無限の先に１があると言うつもりかもしれませんが、無限の先とは何でしょうか。こう問いただすと、質問自身にあまり意味がないことにがわかると思います。
数学では明確に定義されたことしか扱わないということを理解してください。』
(Newtonﾑｯｸ｢ゼロと無限の科学｣なんていう低俗だがﾍﾟﾝﾛｰｽﾞもｲﾝﾀﾋﾞｭｰしとる)

この話をつまり、極限極論も取っ払って行うと、ﾌﾟﾛさえも及ばない領域
(その前に、詳しい方は足立恒雄の頓痴気度診断宜しく)
と。
ﾃﾞｶﾙﾄの切断では、1と0.999…は別々になる事をお忘れなく。

0238１３２人目の素数さん

2006/11/10(金) 20:53:29

>極限極論
て何？

0239１３２人目の素数さん

2006/11/10(金) 21:08:11

>>237
デカルトの切断って…モノとココロの分離だっけ。そんなモン何か関係あるんか？

0240１３２人目の素数さん

2006/11/10(金) 21:28:59

デデキントの切断と違うんか？

0241１３２人目の素数さん

2006/11/10(金) 21:31:13

"デカルトの切断"に該当するページが見つかりませんでした。

検索のヒント
　・・・

0242１３２人目の素数さん

2006/11/10(金) 21:34:22

リミットえっくすアプローチまいなすイチ

0243１３２人目の素数さん

2006/11/10(金) 21:36:31

いや、えっくすアプローチイチまいなすぜろか…うんそうだ
マイナスイチだとマイナスいちにアプローチするからね

0244１３２人目の素数さん

2006/11/11(土) 01:09:12

デカルトの切断ﾊﾞﾛｽｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

0245237

2006/11/11(土) 05:13:53

(誤)　デカルト
(正)　デデキント

>>239
正解。

0246１３２人目の素数さん

2006/11/11(土) 08:38:40

ていうかデデキントの切断でも
1＝0.999…になるような切り方しか認めないだろ

0247１３２人目の素数さん

2006/11/11(土) 09:29:45

そうだなｗ　しかもそれも何度も指摘されている。

0248１３２人目の素数さん

2006/11/11(土) 12:32:59

＞無限の先に１があると言うつもりかもしれませんが、無限の先とは何でしょうか。
非可算な整列集合とか。

0249１３２人目の素数さん

2006/11/12(日) 07:53:38

>>246-247
どうかな、
確かに切断でも連続体仮説でも、1と0.999…は同一にしているけど、
分別しても、これらの議論では問題ないのでは？
より難解だろうけど。
第一、このｽﾚではその様に片付きはしないはず。

0250１３２人目の素数さん

2006/11/12(日) 08:03:11

＞確かに切断でも連続体仮説でも、1と0.999…は同一にしているけど
デデキントの切断では、同一に「している」のではなくて、同一に「なる」んだよ。

＞第一、このｽﾚではその様に片付きはしないはず。
バカは消えろ。デデキントの切断では、同一に「している」のではなくて、同一に「なる」わけよ。

0251１３２人目の素数さん

2006/11/12(日) 09:43:38

>>250
相手も相手だが、文章に叩きを含めるのも如何なものか？
揃ってお立ち退き頂きたい。

0252１３２人目の素数さん

2006/11/12(日) 10:07:01

{ [0 , 1/2) , [1/2 , 1] } と { [0 , 1/2] , (1/2 , 1] }
の同一視（もしくは一方の排除）は
「している」のではなく「なる」ものなの？

0253１３２人目の素数さん

2006/11/12(日) 10:43:19

デテキントの切断を認めれば当然「単調増加数列はその上限に収束する」んだろ？
数列　０．９、０．９９、０．９９９、…　の上限は１だから当然１に収束するな。

で、君の立場だと、収束しても同一視はしないってコトか？

0254>>251でも>>252でもないが

2006/11/12(日) 10:54:47

収束か。
>>108参照。

0255１３２人目の素数さん

2006/11/12(日) 11:14:25

>>253
> ０．９、０．９９、０．９９９、…　の上限は１だから

いや、それを切断の形式で書かないと意味が
ないという話だと思ったんだが・・・。

> 君の立場

別に俺何の立場も表明してないけど？
他の奴と間違えんでくれよ。

0256１３２人目の素数さん

2006/11/12(日) 11:49:32

>>254
で？

>>255
デテキントの切断と上限に収束するってやつは同値なんだからさー。
片方だけで考える必要あるんか？

0257１３２人目の素数さん

2006/11/12(日) 12:06:16

>>256
それ全然>>252に答えられてないよ。
ていうか252きちんと読んだ？
デデキントの切断はまず252の2種類の集合を
どちらか一方に絞ってることは知ってるでしょ？
そうやって絞るからこそ君の言う同値が証明できる
わけなので、その同値を持ち出しても252に
答えてることにはならんべ。

0258１３２人目の素数さん

2006/11/12(日) 12:34:41

べつに>>252に答えている訳じゃなかったのだが…紛らわしくてスマソ

0259１３２人目の素数さん

2006/11/12(日) 16:04:34

>>252
もしかして、
{[0, 1), [1, 2]} が 0.999・・・で
{[0, 1), [1, 2]} が 1に対応してると考えてるの？

0260１３２人目の素数さん

2006/11/12(日) 16:06:42

あ、ミスった

{[0, 1), [1, 2]} が 0.999・・・で
{[0, 1], (1, 2]} が 1に対応してると考えてるの？

0261252

2006/11/12(日) 16:15:37

いや、俺自身はそう考えてないけどね
（俺は>>246だし）
>>237が言いたかったことを好意的に解釈しようとすると
そんなことを考えていたんじゃないかなあと

0262平家蟹 ◆CoWlhnNErE

2006/11/12(日) 20:21:50

なんで同じなの？
明らかに違うと思うんだが。

0263１３２人目の素数さん

2006/11/12(日) 20:24:08

アルキメデスの原理とかなんでこの問題に使うんだよｗｗｗｗｗ
水の中の物体は、それがおしのけた水の重量だけ軽くなる
どこで使うんだよｗｗｗｗｗ

0264１３２人目の素数さん

2006/11/12(日) 20:56:44

>>263
釣れますか？

0265１３２人目の素数さん

2006/11/13(月) 00:42:48

>>263
ﾜﾛｽ

0266マジレスするぞぉ！

2006/11/13(月) 01:19:14

>>263
そっちかよ！質量保存則の方かよ！
取り尽くし法(古代のε-δ論法)の方だよ!!

0267１３２人目の素数さん

2006/11/13(月) 08:01:36

独力で超限解析を再発見するような活きのいい電波はおらんかのう…

0268平家蟹の舎弟

2006/11/13(月) 20:22:10

いまよんできます。

0269平家蟹 ◆CoWlhnNErE

2006/11/13(月) 20:24:42

はいはーい。

0270１３２人目の素数さん

2006/11/13(月) 20:57:40

>>267
超準解析作ったヤツもこのスレみたいに、数学者から煽られて奮発して作ったに違いないｗ

でも…おいそれとはできんよな…コレ。

0271平家蟹 ◆CoWlhnNErE

2006/11/13(月) 21:14:44

超準解析ってなに？

0272１３２人目の素数さん

2006/11/13(月) 22:02:14

「超準解析」は難しいけど、超フィルターを使って超実数を構成するくらいなら簡単。

0273１３２人目の素数さん

2006/11/14(火) 10:56:21

>>271
簡単に言うと、無限小が実在する世界での微積分、
及び、それと一般的な実数の世界の問題とを互いに翻訳する方法。

0274１３２人目の素数さん

2006/11/14(火) 19:15:20

1=0.999…ではないとすればこのスレタイはかなり変になるとは思いませんか

0275平家蟹 ◆CoWlhnNErE

2006/11/14(火) 21:48:32

んー、1＝0.9dotってさー、綺麗じゃないよ。綺麗じゃなきゃ駄目だろ。

0276平家蟹 ◆qZKkuPC36I

2006/11/14(火) 22:15:45

f(x)=1/x だと
０に右から近付くのと
左から近付くのとだと値違うけどいいの？

0277１３２人目の素数さん

2006/11/15(水) 00:18:39

>>275
泥臭いのもまた数学なのさ。

>>276
だから？

0278１３２人目の素数さん

2006/11/15(水) 05:04:17

コンウェイの超現実数だと0.999……≠1だな。

0279１３２人目の素数さん

2006/11/15(水) 05:51:29

>>278
なにそれ？

0280１３２人目の素数さん

2006/11/15(水) 06:34:16

クヌースのこの本をどうぞ。
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4760126465
実数と無限大・無限小でできている。平たく言うと、左が右以上にならない数のペア（実際には空でも良い）から作られる。

0281１３２人目の素数さん

2006/11/15(水) 21:51:30

実数+無限小とかももちろん含まれている。わかってるだろうけど念のため。

0282平家蟹 ◆CoWlhnNErE

2006/11/15(水) 21:55:53

素人考えなんだがｆ(x)=1/(x-1)で
0.9dot=1=1.0dot
（ニュアンス的にこう書くとすると）

f(0.9d)=-∞
f(1) 定義なし
f(1.0d)=+∞

となるから、0.9dot=1っていかにも違うよなきがするんだが、数学的だとなんら問題ないの？

0283１３２人目の素数さん

2006/11/15(水) 22:01:05

全部、定義なしで無問題。

0284平家蟹 ◆CoWlhnNErE

2006/11/15(水) 22:09:08

定義ないのか。わかりました、ありがとう。
しかしひねくれ者だから、いちゃもんつけると、
二進法とかあるわけだから、十一進法にして
０、１、２、３、４、５、６、７、８、９、うんことすると、
0.9dot<0.うんこdot<1とかはなんねのかな？
同相とかで問題なし？

0285１３２人目の素数さん

2006/11/15(水) 22:22:16

>>284
十一進法なら 0.999… < 1 だよ。
で、何が言いたいの？

0286平家蟹 ◆CoWlhnNErE

2006/11/15(水) 22:35:20

いやー、十進法から、イメージ沸いたよ。サンチュ

0287平家蟹 ◆CoWlhnNErE

2006/11/17(金) 18:57:27

んーしかしさー、0.9DOTって無理数？有理数？

0288１３２人目の素数さん

2006/11/19(日) 18:23:11

>>278-280
やっぱり定義次第なんだ。
>>286-287
16進法
0123456789ABCDEF
この時、10進法の0.9dotに相当するのは0.Fdot、つまりそれは全く違う数。
1＝0.9dot⇒0.9dotは有利数
1≠0.9dot⇒0.9dotは無理数

0289１３２人目の素数さん

2006/11/19(日) 18:38:33

1-無限小を無理数と言うか？

0290288

2006/11/19(日) 19:49:01

>>289
悪い。言えんかった。
超準解析的には、えーと…。

0291１３２人目の素数さん

2006/11/19(日) 20:07:14

整数は有理数
循環小数は有理数
無限小数は無理数

0292平家蟹 ◆CoWlhnNErE

2006/11/19(日) 20:44:06

0.9dotが有理数の場合、＝P/Qになる自然数がP=Q=1ってのは釈然としない感じなんですが……

0293１３２人目の素数さん

2006/11/19(日) 20:46:04

１／１　＝　２／２　＝　３／３　＝　…

を「釈然としない感じ」という人もいるやも知れないですね。

0294１３２人目の素数さん

2006/11/19(日) 20:54:05

>>292
実数論の勉強して来い。その方が早い。

0295平家蟹 ◆CoWlhnNErE

2006/11/19(日) 21:21:06

実数論？っージャンルあるの？

0296１３２人目の素数さん

2006/11/19(日) 23:17:49

>291に突っ込みが入らない件について

0297１３２人目の素数さん

2006/11/19(日) 23:19:30

>>295
「実数論」でググれ。

0298１３２人目の素数さん

2006/11/20(月) 12:45:38

０．９９９９・・・は、小数点以下の９の数が多くなるほど
限りなく１に近づく事は分かるが、１より小さい事は明らかである。
１＝０．９９９９・・・はおかしいと思う。

0299１３２人目の素数さん

2006/11/20(月) 13:11:31

>>298
＞＞１より小さい事は明らかである。

なんで明らかなの？

0300１３２人目の素数さん

2006/11/20(月) 17:43:24

>>291
違う

整数は有理数
有限小数は有理数
循環する無限小数（循環小数）は有理数
循環しない無限小数は無理数

0301１３２人目の素数さん

2006/11/20(月) 17:49:54

一般に数列 S(n) (n=0,1,2,…) に対して、その極限

　　S = lim[n→∞] S(n)

は、

どんな正数 ε に対しても、ある自然数 n_0(ε) が存在して、
　　n ≧ n_0(ε) ⇒ | S - S(n) | <　ε

を満たすようなSとして定義されます。

0.9999… の定義は色々あるでしょうけれど、最も単純なものは、
数列 S(n) = 1 - (0.1)^n の極限

　　0.9999… = lim[n→∞] S(n)

であり、上の極限の定義から

　　0.9999… = 1

となります。

0302１３２人目の素数さん

2006/11/20(月) 20:15:37

>>298
もうね0.999...を動いているイメージでしか捉えられなくて、「近づく」とか言う人は仕方ないと思うのよ。
「近づくその行き先のことなんだよ」って何回か言ってわからなければそれ以上はムダ

しかしそういう人は 1/3 = 0.3333... には疑問を抱かないのだろうか、とは思う。
0.333...だって「そういう人」から見れば「限りなく1/3に近づくけど1/3より明らかに小さい」
と思うんだが。

0303平家蟹 ◆CoWlhnNErE

2006/11/20(月) 22:09:03

じゃ0.9dotは閉区間［０、１］には入っているが、開区間（０、１）には入ってないことになるんだけど、それでokですか？

0304１３２人目の素数さん

2006/11/20(月) 22:43:44

OKだけど、1もそうだよ。

0305１３２人目の素数さん

2006/11/20(月) 22:44:15

OK。
点列の極限が、点列の入っている集合を飛び出すのはよくあること。

0306１３２人目の素数さん

2006/11/20(月) 22:51:24

なぜ「閉」区間というかもそこにあるわけだし。

0307１３２人目の素数さん

2006/11/20(月) 22:56:38

数列 an = {0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ...}について、
an in ( 0, 1 ) for any n だが、
lim[n→∞]an not in ( 0, 1 )

0308平家蟹 ◆CoWlhnNErE

2006/11/20(月) 23:57:46

ではMAX［０、１］＝１
SUP［０、１］＝１

　　SUP（０、１）＝１

MAX（０、１）＝？

定義されないのですか？
超準解析だと（１－無限小）みたいなのが定義されるんでしょうか？

なんか質問はかりですみません。

0309１３２人目の素数さん

2006/11/21(火) 00:18:41

>>302
その調子だと、>>278-281を否定するわけだ。
やはり定義次第なんと違うのか？

0310１３２人目の素数さん

2006/11/21(火) 00:26:51

>>308
実数論の勉強して来い。

0311１３２人目の素数さん

2006/11/21(火) 17:48:48

0.999…の極限を表すのって
lim[N→1]Ｎ
で良いんだよね
この問題の答えは１になる・・・はず
Ｎが限りなく１に近づく（0.999…）ときの極限は１
ってな感じ？

0.999…の極限は1
を
0.999…=1
に
するのは・・・変？

0312１３２人目の素数さん

2006/11/21(火) 18:10:24

>>311
極限は数列とか関数なんかに使う言葉であり、実数に対しては使わない。

○ an＝1/nの極限は～～～
× 2006の極限は～～～

0.999…もまた実数だから、「0.999…の極限」とは言わない。

0313１３２人目の素数さん

2006/11/21(火) 19:41:25

極限の定義

関数f(x)において、xがaと異なる値をとりながら限りなくaに近づくとき、
f(x)が一定の値aに限りなく近づくならば
x→aのとき　f(x)→a　または　lim[x→a]f(x)
と書き、aをxがaに近づくときのf(x)の極限値という

ほんとだ実数じゃない・・・関数か

じゃあどう書けば良いんだ

0314１３２人目の素数さん

2006/11/21(火) 20:28:02

an＝1－1/10^n＝0.99…99 (←9がn個並んでいる) の極限は1

0315１３２人目の素数さん

2006/11/21(火) 20:50:01

>>309
1≠0.999…が有意義に定義できるんじゃ、
そっちの方が深度は上じゃなかろうか？
深みにどっぷりな気もするけど。

0316１３２人目の素数さん

2006/11/21(火) 23:02:41

極限に向いてない人、ってのがいるんだな。

0317１３２人目の素数さん

2006/11/21(火) 23:05:45

>>313
重箱のスミだが、xもf(x)も同じaに近付かなくてもいいんだぞ

0318１３２人目の素数さん

2006/11/21(火) 23:15:40

>>197参照

0319１３２人目の素数さん

2006/11/22(水) 13:42:48

>>313
ε-δ論法知らんのか？

0320１３２人目の素数さん

2006/11/22(水) 14:53:50

知らないんじゃね？高校生向けの参考書あたりからコピペしたんだろう。

0321平家蟹 ◆CoWlhnNErE

2006/11/22(水) 18:09:01

つーか超準解析の話は？

0322１３２人目の素数さん

2006/11/22(水) 20:44:37

>>321
つーかオマエはまず実数論の勉強してこい。

0323平家蟹 ◆CoWlhnNErE

2006/11/22(水) 22:10:17

実数論、勉強したよ。わかったo(^-^)o楽勝
S（n)＝1－(0.1)^nとするとだよ、
S(1)=0.9
俺、現在形

S(n)=0.9…9(9がn個)
俺達、ただいま現在進行形

0.9dot=1
俺は過去形

っーことだろ。

しかしさー、
0.999………は、
俺、現在進行完了形、
みたいじゃない？

0324１３２人目の素数さん

2006/11/22(水) 23:07:30

>>323
実数をデデキントの切断で構成してくれ。あるいは、有理コーシー列を使う方でもいい。
少なくともこれが出来ないと、実数論を勉強したとは言わない。

0325平家蟹 ◆CoWlhnNErE

2006/11/23(木) 07:32:03

DEDEKINDの切断？わからない……、生意気言ってすみません、基礎的な集合論かと思ったんだよ。

よかったら誰か説明してくださいなm(__)m

0326１３２人目の素数さん

2006/11/23(木) 18:57:10

基礎的な用語なんだから、それこそ本読むかネットで調べればいいだろ。

0327平家蟹 ◆CoWlhnNErE

2006/11/23(木) 20:00:40

あー、ここはそういうスレなのか。
まあ、いいや、しゃしゃりこんでごめんなさい。

0328１３２人目の素数さん

2006/11/23(木) 21:38:22

>>327
要するにさー。実数ってのは「連続している」ってイメージあるよね。ところが、「連続している」
なんてのを数学的にイエスかノーかはっきりできる論理の形で表さないと、数学的にはマズイ
わけだ。下手すると、延々とアカデミックの場でここでの論議みたいなのが拡大されて収拾つ
かなくなってしまう。

で、世界で初めて明確なイエス・ノーの論理の形で「連続している」ってイメージを表したのが
デテキントさん。で、使っているのが「デテキントの切断」なわけだ。その後で、コーシーさんとか
色々な人が別の表現を試みたけど、後々でそれらが「結局、皆同じ」ってことが証明されるわけ
だな。

実数が「連続している」ってイメージを認めるなら、結局どこかでこれらを認めて話を進めない
といけない…ってのが解析学の初歩。

デテキントの切断なんていやだーってんで超準解析なんてのを作った人もいるけど、これは
無茶難しい。

0329１３２人目の素数さん

2006/11/23(木) 21:54:27

超フィルターを使って超実数を構成するくらいなら簡単。

0330１３２人目の素数さん

2006/11/23(木) 22:07:35

もう、>>278-281で
定義次第って話は纏まった筈では？
1≠0.9dotとする事に因る不便さが付き纏って随分と細かく複雑な注意事項が出てきそうだが。