(limの定義)
x＝aの近傍Vで定義された関数f(x)の、x→aにおける極限値がαであるとは、
∀ε＞0, ∃δ＞0 s,t x∈(a−δ, a＋δ)∩(V−{a}) → ｜f(x)−α｜＜ε
が成り立つときを言う。このときα＝lim[x→a]f(x)と表記する。この
定義から明らかなように、lim[x→a]f(x)が存在すれば、fの定義域Vを
新たなaの近傍V'に拡張しても制限しても、lim[x→a]f(x)の値は変わらない。
なお、集合Vがaの近傍であるとは、(a−t, a＋t)⊂Vを満たすt＞0が
存在するときを言う。

(lim[h→0]h＝0の証明)
VとしてRがとれる。任意のε＞0に対して、δ＝ε/2＞0とすれば、h∈(0−δ, 0＋δ)∩(R−{0})
ならば｜h−0｜＜ε が成り立つので、定義からlim[h→0]h＝0となる。