1=0.999… その13.999…
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0001１３２人目の素数さん
2006/10/26(木) 18:36:06前スレ:1=0.999… その10.999… http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1136133055/
前スレ:1=0.999… その11.999… http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1142173277/
前スレ:1=0.999… その12.999… http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1154943310/
一応激しい論議の結果、回答テンプレートが作成されました >2-5
今後書き込む際には、できるだけまず回答テンプレートを参照してから、それをふまえて行ってください。
また、回答テンプレートへの意見なども自由に書き込んでください。
0136１３２人目の素数さん
2006/11/03(金) 17:18:21定義
0.999…は1に等しい。
定義終わり
で定義したことになると思っているのか。
究極の数学音痴だな。
0137１３２人目の素数さん
2006/11/03(金) 17:31:45明記しろよw
0138１３２人目の素数さん
2006/11/03(金) 17:41:49まともに学校行ってりゃ、普通に解ることだよ。
0139１３２人目の素数さん
2006/11/03(金) 17:45:05それから実数を構成しましょう。
0140１３２人目の素数さん
2006/11/03(金) 18:17:31なるよ。
>>138
君のように、まともに「大学」行ってない奴・まともに「大学の数学」勉強してない奴
には、「定義」の意味は解らないだろうな。
君がリーマン積分の定義を見たら、「それは値を決めただけであり、積分そのものの定義には
なっていない」とバカげた主張をするだろう。
0141１３２人目の素数さん
2006/11/03(金) 18:34:05思考力の無い奴は、数学を志すなという典型だな。
ある系で定義されたことと、普遍的な定義との違いも解らんとは。
0142１３２人目の素数さん
2006/11/03(金) 18:40:27「普遍的な定義」は幻想にすぎない。「普遍的な定義」など存在しない。
何を以って、普遍的だと判断するのか？普遍的とは何か？君の言う【普遍的】の
定 義 はどこ？君にはこの【普遍的】という言葉を 定 義 できるのか？
それも、”ある系で定義された”【普遍的】ではなく、”普遍的な定義の”
【普遍的】をね。
0143132
2006/11/03(金) 18:44:55俺自身は(1)
でも1≠0.999…派だと(3)と答えそうな気がする。
そういう人が乗ってこなかったのは残念だけど機会があったら聞いてみたいな
>>135の計算を参考にして思いついた>>132の表現が適切でない説明
0.00…01＋0.00…09=0.00…10=0.00…010=0.00…01
0でない数を足したのに同じ数になってしまう。
だから、そもそもこんな数は存在しない。
あるいはこういう数も0に等しい。
これは説得に使えるだろうか？
0144１３２人目の素数さん
2006/11/03(金) 19:05:16そうじゃないかと思っていたが…。
「算数」だったら文科省が「これだ！！！」って決めたヤツが普遍的定義になるんかいな。
少なくとも日本内なら。
0145１３２人目の素数さん
2006/11/03(金) 19:07:50オレがそっち方面の話に乗らなかったのは、そういうのって結局論議している人毎に
イメージ（定義）が違うからいつまでたっても結論がまとまらないからだ。
そういったことで「説得」なんてそもそも無理なんじゃないのか？キチンとした定義も
そもそもないしさー。
0146１３２人目の素数さん
2006/11/03(金) 20:53:04有理数の10進法表記は一意に決まらない、で済ましちゃうのも一つの手では？
0147１３２人目の素数さん
2006/11/03(金) 21:05:50それが極限操作だったり、網タイツだったりの差だけ
0148１３２人目の素数さん
2006/11/03(金) 21:14:35自然数に関する命題P(n)について
「P(n)が真ならばn桁目は1、偽ならば0」
と小数を対応づけることができる。
またゲーデルの不完全制定理によると任意の自然数nについて偽であるが、
そのことが証明できない命題が存在する。
そのような命題に対応する小数は0に等しいと言えるだろうか？
言い換えると計算不可能だが0に等しい数。
試しにどこまで計算しても0しか出てこないみたいだが、
本当に1が現れないのか保証できない数。
0149１３２人目の素数さん
2006/11/03(金) 22:13:13たとえば、１０＾（-ｎ）において、
n=∞としたときが定義できればいいのではないのか？
0150１３２人目の素数さん
2006/11/03(金) 22:18:29ttp://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1143943264
ここで聞いてみたら？
0151１３２人目の素数さん
2006/11/03(金) 22:20:180152１３２人目の素数さん
2006/11/04(土) 04:59:151+(1-0.999)
＝2-0.999…
後は場合分け
0.999…＝1⇔2-0.999…＝1
0.999…≠1⇔2ｰ0.999…≠1
0153１３２人目の素数さん
2006/11/04(土) 14:38:28まぁ当たり前だね
説明しにくいけど
はぁ？なんでしちゃいけねぇんだよ
って言うんだったら
１＋１は３と等しいと定義しても良いんだね？
まぁそれは駄目だろって言うと思うけどね
0154１３２人目の素数さん
2006/11/04(土) 14:41:02と
"仮定する"
ってどう違うんですか？
0155KingOfUniverse ◆667la1PjK2
2006/11/04(土) 14:46:100156１３２人目の素数さん
2006/11/04(土) 14:56:48別に定義していいよ。１＋１＝３と。
単に２と３の役割を入れ替えればそれでＯＫ。
0157１３２人目の素数さん
2006/11/04(土) 15:16:32αを実数と仮定すると、…
とか
定義と仮定の数学の問題的な意味は一緒なのかなと
まぁ辞書引いてくる
0158１３２人目の素数さん
2006/11/04(土) 15:34:33＞１＋１は３と等しいと定義しても良いんだね？
>>156の言うように、「2」と「3」という記号に与えられた定義を適当に変更した上で、1＋1＝3が
成り立つようにすることは可能。また、「2」「3」の定義はそのままで、「＋」と「＝」の定義を
適当に変更した上では、やはり1＋1＝3とすることが可能である。実際、標数1の素体F1上では
1＋1＝3が成り立つ。
バカは消えろ。君のように、まともに「大学」行ってない奴・まともに「大学の数学」勉強してない奴
には、「定義」の何たるかは理解できない。
0159１３２人目の素数さん
2006/11/04(土) 15:52:34概念の内容を限定すること。
すなわち、ある概念の内包を構成する本質的属性を明らかにし、他の概念から区別すること。
その概念の属する最も近い類を挙げ、さらに種差を挙げて同類のほかの概念から区別すること。
例えば「人間は理性的（種差）動物（類概念）である」。
「広辞苑第五版」岩波書店 より抜粋
意味が解りません
0160１３２人目の素数さん
2006/11/04(土) 16:27:02>>132-135＆>>143
1+(1-0.999…)
＝2-0.999…
後は場合分け
0.999…＝1⇔2-0.999…＝1
0.999…≠1⇔2ｰ0.999…≠1
0161１３２人目の素数さん
2006/11/04(土) 18:43:370162１３２人目の素数さん
2006/11/04(土) 22:05:58大学の数学の授業とかは天下り式に公理や定義から始まるけれど、
本当はwel-definedな定義を作ることこそが数学の重要なポイントだと思う。
0163１３２人目の素数さん
2006/11/04(土) 23:52:56教えられて、それで疑問もなかったが、意外と奥が深いのな。
0.111…×9を例に挙げて、小学生から
筆算で掛け算は掛ける数と掛けられる数を右に寄せる。
でも無限に続くなら掛ける数を置きようがないじゃないか。
と疑問が来た。
再び考え出すときりがないんだが、「無限に続く小数に整数を掛ける」
ことを「有限小数に整数を掛ける」と同様に実行できるか、と言われると
どう説明していいのだろうか…
0164１３２人目の素数さん
2006/11/05(日) 01:53:09wel-definedだと原理的に証明できんから仕方ない。
>>163
自然科学分野の筆算では、小数点を合わせる乗法の筆算もあるぞ。
0165１３２人目の素数さん
2006/11/05(日) 02:10:560166１３２人目の素数さん
2006/11/05(日) 06:24:070.1+0.9=(1ｰ0.9)
0.01+0.99=(1ｰ0.99)
0.001+0.999=(1ｰ0.999)
0.0001+0.9999=(1ｰ0.9999)
0.000…1+0.999…9=(1ｰ0.999…9)
lim[m→∞]
{Π[n=1～m]0.1
＋納n=1～m](9*0.1^n)}
=lim[m→∞]{0.1^m
＋納n=1～m](9*0.1^n)}
･ ･
=(1ｰ0.9)+0.9
=1 (∵m→∞)
0167166､ｱﾙｺｰﾙ入り
2006/11/05(日) 06:36:10脳内補完、よろ。
各右辺ｰ0.9～を付け足し、で。
0168１３２人目の素数さん
2006/11/05(日) 09:06:5310^(-n) ＋納k=1～n](9*10^(-k))=1において、
ｎを充分大きい値としたときに、10^(-n)は充分小さい値として無視し得る。
よって、(n→∞）納k=1～n](9*10^(-k))=1
微積レベルの証明だったら、こんなもんでいいのでは？
あと必要なのは、循環小数と（級数？）0.999…が同値である証明？
0170167の補正も、ｰでなく+だ!!
2006/11/05(日) 10:25:140.01+0.99=(1ｰ0.99)+0.99
0.001+0.999=(1ｰ0.999)+0.999
0.0001+0.9999=(1ｰ0.9999)+0.9999
0.000…1+0.999…9=(1ｰ0.999…9)+0.999…9
lim[m→∞]
{Π[n=1～m]0.1
＋納n=1～m](9*0.1^n)}
=lim[m→∞]{0.1^m
＋納n=1～m](9*0.1^n)}
･ ･
=(1ｰ0.9)+0.9
=1
0171ﾔｹ酒、酔い醒め切らぬ
2006/11/05(日) 10:53:24>>168
あと必要なのは、循環小数と(級数？)0.999…が同値である証明？
→(少なくとも>>168では、極限移行ではなく同一扱いだが、表現力が及ばず…)
仰る通り。
極限移行すると、例えば2-(1ｰ0.999…)×2、砕けた表示で0.999…→998も極限表示すれば1となってしまう。
【注意、…→として｢限り無く先｣としたが、これもまた表現不尽である為、脳内補完で宜しく】
つか、何より極限値を取って終わり、ではこの話題の結論には不足とも考える。単純回答として>>108氏参考。
0172１３２人目の素数さん
2006/11/05(日) 12:51:53ここは物理板ではなく、数学板です。
0173１３２人目の素数さん
2006/11/05(日) 13:39:55だと、どうなるんだい？
0174１３２人目の素数さん
2006/11/05(日) 14:20:480175１３２人目の素数さん
2006/11/05(日) 15:20:02lim(h→0){{f(x+h)-f(x)}/{(x+h)-x}]
f(x)=x^2のとき、
lim(h→0)[(x^2+2hx+h^2)-x^2}/{(x+h)-x}]
=lim(h→0){(2hx+h^2)/h}
ここで、h~2は充分小さい値として、無視できる。
∴lim(h→0){{f(x+h)-f(x)}/{(x+h)-x}]=2x
数学じゃ、どう説明してんの？
0176１３２人目の素数さん
2006/11/05(日) 15:44:550177１３２人目の素数さん
2006/11/05(日) 16:09:070178１３２人目の素数さん
2006/11/05(日) 16:18:59>∴lim(h→0){{f(x+h)-f(x)}/{(x+h)-x}]=2x
記号limを使ってる以上、無視とかそういう問題ではない。
f(x) = x^2のとき、
lim(h→0){{f(x+h)-f(x)}/{(x+h)-x}] = lim(h→0){(2hx+h^2)/h} = lim(h→0){2x+h} = 2x
以上。
0179１３２人目の素数さん
2006/11/05(日) 16:34:56端的に言うとε-δ論法。
0180１３２人目の素数さん
2006/11/05(日) 16:39:16lim(h→0){(2hx+h^2)/h} = lim(h→0){2x+h}:このときh=0ならば、不能。
lim(h→0){2x+h} = 2x：このときに、h=0という値を取れるとしたら、矛盾。
0181１３２人目の素数さん
2006/11/05(日) 16:41:16ε-δ論法は、必要なだけ小さい値とすることが出来る、
という意味ではないのか？
0182１３２人目の素数さん
2006/11/05(日) 16:43:01真面目に書いてます？
0183１３２人目の素数さん
2006/11/05(日) 16:55:25どこが不真面目に思える？
0184１３２人目の素数さん
2006/11/05(日) 17:00:39>lim(h→0){(2hx+h^2)/h} = lim(h→0){2x+h}:このときh=0ならば、不能。
h→0の極限では当然h≠0
>lim(h→0){2x+h} = 2x：このときに、h=0という値を取れるとしたら、矛盾。
意味不明。
0185１３２人目の素数さん
2006/11/05(日) 17:30:18では何故、
lim(h→0){2x+h} = 2x
といえるのか説明してくれ。
0186１３２人目の素数さん
2006/11/05(日) 17:41:39誰か指摘よろ。
Ｓ = 0.99 …とおく
0.1Ｓ = 0.099…
Ｓ－0.1Ｓ
= 0.9Ｓ
= 0.9-0.000…9
0.00…9の１が存在する桁目はスレタイのより無限。
∴ 0.00…9 = 0.9*0.1^n ( n → ∞ )
0.9Ｓ = 0.9 - 0.9*0.1^n ( n → ∞ )
Ｓ = 1 - 0.1^n ( n → ∞ )
0.1^n = 1 / 10^n → 0 ( n → ∞ )
∴ Ｓ = 1 = 0.99…
有限桁、つまり桁の終端が存在する時(つまり、n → ∞でない時。)に0.1^n≠0となりＳ≠１となる。
終わり。
0187１３２人目の素数さん
2006/11/05(日) 17:51:28lim(h→0){2x+h} = lim(h→0){2x} + lim(h→0){h} = 2x + 0 = 2x
前提として
①極限が加法に関して展開可能であること（ lim(f+g) = lim(f) + lim(g) ただしいずれも有限確定のとき）
②lim(h→0){h} = 0
を使用しているが、必要ならばいずれもε-δで証明できる。
省略しているだけで「無視できるから」では断じてない。
0188１３２人目の素数さん
2006/11/05(日) 17:55:23え？不能なの・・・
普通に＝2xじゃないんですか
0189１３２人目の素数さん
2006/11/05(日) 17:58:33「ゼロで割れない」っていいたんじゃないの？ｗ
0190１３２人目の素数さん
2006/11/05(日) 18:00:46｢#DIV/0!｣
0191１３２人目の素数さん
2006/11/05(日) 18:15:38っていうか
lim(h→0){(2hx+h^2)/h}
だけのことを言ってたのか
数学の先生曰く
「lim(h→0){(2hx+h^2)/h}とlim(h→0){2x+h}は『関数的に』違う」
だそうです
0192１３２人目の素数さん
2006/11/05(日) 18:19:04ゼロになる可能性があるなら約分もしちゃだめ。
ただしh→0の極限を考えているときには問題ない。
0193１３２人目の素数さん
2006/11/05(日) 19:07:360.000…9 って表記はおいといて、
> Ｓ－0.1Ｓ
> = 0.9Ｓ
> = 0.9-0.000…9
２行目から３行目はどうして出てくるの？
0194１３２人目の素数さん
2006/11/05(日) 19:31:19何度も言うようだが、ε-δは必要ならいくらでも小さい値が取れるという意味で、
ゼロとしていいという意味ではないだろう。
省略というが、証明できるならしてみてくれ。
0196１３２人目の素数さん
2006/11/05(日) 19:43:00と定義されている。
ってそんな前提もなしに話してるのかよ。
0197１３２人目の素数さん
2006/11/05(日) 19:51:45x＝aの近傍Vで定義された関数f(x)の、x→aにおける極限値がαであるとは、
∀ε＞0, ∃δ＞0 s,t x∈(a－δ, a＋δ)∩(V－{a}) → ｜f(x)－α｜＜ε
が成り立つときを言う。このときα＝lim[x→a]f(x)と表記する。この
定義から明らかなように、lim[x→a]f(x)が存在すれば、fの定義域Vを
新たなaの近傍V'に拡張しても制限しても、lim[x→a]f(x)の値は変わらない。
なお、集合Vがaの近傍であるとは、(a－t, a＋t)⊂Vを満たすt＞0が
存在するときを言う。
(lim[h→0]h＝0の証明)
VとしてRがとれる。任意のε＞0に対して、δ＝ε/2＞0とすれば、h∈(0－δ, 0＋δ)∩(R－{0})
ならば｜h－0｜＜ε が成り立つので、定義からlim[h→0]h＝0となる。
0199186
2006/11/05(日) 21:59:29文字式で計算したのが二行目
Ｓ－0.1Ｓ = 0.9Ｓ … 左辺
代入して計算したのが三行目です。
0.999… - 0.099… = 0.9 - 0.00…9
0200(0.00…9の記述法では有限少数値！)
2006/11/06(月) 06:08:56【これと同じ事？limで極論移行している？】
※小数点下以降の000…も記述する。
1.000…－0.999…
＝0.000… (本式中混同無い為以下=0.1^n且つn→∞)
⇔1.000…＝0.999…+0.1^n (n→∞)
で、n→∞ ⇔ 0.1^n→0 である。
∴ Ｓ = 1 = 0.99…
0201199
2006/11/06(月) 17:56:58だいたい、その通りです。
0202１３２人目の素数さん
2006/11/06(月) 23:12:141-0.999…=0.000…(1)=0になるらしいが
0.999…=0.9+0.09+0.009+…0.000…(9)となって最後が0になるのでは・・・
0203１３２人目の素数さん
2006/11/06(月) 23:18:210204１３２人目の素数さん
2006/11/06(月) 23:22:290205１３２人目の素数さん
2006/11/07(火) 00:33:050.999…=0.9+0.09+0.009+…0.000…となって最後が0になるのでは・・・
0206１３２人目の素数さん
2006/11/07(火) 08:52:22>>170みたいに並べて、の末に…と言う意味か？
0207１３２人目の素数さん
2006/11/07(火) 09:42:33てか最後ってなんだ
0208１３２人目の素数さん
2006/11/07(火) 19:24:510.9+0.09+0.009+…と続けていくと0.000…(=0)が出てきて0.999…にならないのでは？
0209１３２人目の素数さん
2006/11/07(火) 19:29:55> 0.9+0.09+0.009+…と続けていくと0.000…(=0)が出てきて
その場合の和の結果は何なの？
0210１３２人目の素数さん
2006/11/07(火) 21:49:04ｘ＜1でｘの最大値を求めると
解は0.999…
この解はｘ＜1という条件から1≠0.999…である
テンプレの>>4に対して
0.333…∞に3が続く＝0.333…∞に3が続く
である為には
（左辺の∞）＝（右辺の∞）
でなければならず計算不能
∴0.333…や0.111…なども計算不能であり証明不足
0211１３２人目の素数さん
2006/11/07(火) 21:56:22そんなものは存在しない。以上。
0212１３２人目の素数さん
2006/11/07(火) 22:22:09∞＝∞はOKなんでない？
確か
∞+1＝∞
∞+∞＝∞
は成り立ってたと思うし
∞＝∞ってのは聞いたことがないが上の式から成り立つだろ
0213１３２人目の素数さん
2006/11/08(水) 14:59:23>>101とその補足者>>110&>>131が別表現で既出。
>>212
不充分。
>>170の様に桁が揃っている事を前提にすれば正しくなる。
が、それも1＝0.999…⇒1/3＝0.333…、1≠0.999…⇒1/3≠0.333…
本スレでは両者の内、どちらがより正確なのかという事を議論する。
(明らかに>>110&>>131は1と0.999…を分別している為、後者を選んでいる。)
0214213補足
2006/11/08(水) 15:09:341/3＝0.333…、余り無限小≠0､333…
>>101数直線上だと隣り合う二点を、如何に処理すべきか。
0215１３２人目の素数さん
2006/11/08(水) 22:32:27桁が揃ってないとまずいの？
∞+1＝∞より
0.33＜0.333＜0.3333＜0.333…（∞-1個）3＝0.333…（∞個）3＝0.333…（∞+1個）3─────①
が成り立つとは言えないの？
①は3を増やしていると途中から不等号が変わるのではなく
0.333…（∞-1個）3は無限小数を数えきった値であり、その値に桁を増やすことは不可能
0.333…（∞-1個）3と0.333…∞3は既に同じ桁であり前提にする必要はない
0216１３２人目の素数さん
2006/11/08(水) 23:12:55なおかつ小数表記に優劣つけるなら、やっぱり如何なる数も無限小数表記にするのが
妥当では？10のベキ乗を分母（既約な分母として）として持つ数だけ有限小数表記を
持つのが当然、と考える方が失礼でしょう。もし、有理数まで実在の数と考えるのなら。
0217１３２人目の素数さん
2006/11/09(木) 02:33:500.333…∞個3…∞個0はどうなるんだ
仮に0.333…∞個3と等しいとすると
0.333…∞個3…∞個1とも等しくなっちゃいそうだが…
0219１３２人目の素数さん
2006/11/09(木) 08:02:42と定義すれば
f(1)=1 だが f(0.999...)=0 となる・・・
と思ったけどこれはただ単にfが写像として定義できないだけのことか？
0220１３２人目の素数さん
2006/11/09(木) 10:55:17CPU言語でintxになるな。
正実数に限れば只単に[x](ｶﾞｳｽ記号)になるのう。
0221１３２人目の素数さん
2006/11/09(木) 11:07:030222１３２人目の素数さん
2006/11/09(木) 11:48:56fは写像として定義できるが
Rからの写像ではなく
数字の列からの写像になる
ということでは
0223１３２人目の素数さん
2006/11/09(木) 12:14:00あなたの言う通り。
a=b⇒f(a)=f(b) が成り立てば well-defind.
1=0.999...を認めるならば写像が定義できてない、というだけの話。
0224１３２人目の素数さん
2006/11/09(木) 12:22:16だからさ
数字の列からの写像としては定義できるんだよ
実数からの写像としてはwell-definedにならないが
0225１３２人目の素数さん
2006/11/09(木) 13:29:10{数字の列}という集合を考えたら何が嬉しいのかは判らないが、
まあ、そうなんでしょう。
0226１３２人目の素数さん
2006/11/09(木) 13:41:56まあそう言われるとは思ったけど
数学的な事実は事実だから仕方ないよ
0227１３２人目の素数さん
2006/11/09(木) 13:51:15普通は数字の列の集合と対応させて
|N|<|R|を証明すると思うけど
0228１３２人目の素数さん
2006/11/09(木) 15:25:46ああ、そうか。
あれ、対角線論法って0.999...の扱いはどうしてたっけ。
0229１３２人目の素数さん
2006/11/09(木) 15:44:04どの数字列も無限に桁があることにするので
最後がn（≠0）で終わる有限小数については
****n0000・・・
****(n-1)9999・・・
のどちらかに揃えると思う
0230１３２人目の素数さん
2006/11/09(木) 18:07:16コンピュータにそのまま実行させるからそうなる。
無限桁をメモリーを持つコンピュータなら f(0.999...)=1 だろ。
そうならないのは、コンピュータが有限のメモリーと有限の実行時間をもっているせい。
通常… #define GOSA 1.0D-10 なんて定義して…
f(x) = int(x+GOSA)
ってやれば無問題だろ。当然、f(0.999...)=1 だな。
0231１３２人目の素数さん
2006/11/09(木) 18:59:03もしかして「誤差」？
君はひょっとして天才か？
0232１３２人目の素数さん
2006/11/09(木) 20:12:11fの定義は
f(x) ＝( x の 小 数 点 以 下 を 切 り 捨 て た 数 )
なので、メモリーが無限桁であろうがなかろうが、
f(0.999…)＝( 0.999…の小数点以下を切り捨てた数 )＝0
となる。一方で0.999…＝1だから、
f(1)＝( 1の小数点以下を切り捨てた数 )＝1
となる。よって、どのみちfはwell-definedでない。
0233１３２人目の素数さん
2006/11/09(木) 20:24:410234１３２人目の素数さん
2006/11/09(木) 20:37:08コンピュータが0.9999・・・を
1とは異なる数字の列と扱えば出力が違うし
実数として1と同じと扱えれば同じ出力になるんだよ
well-definedかどうかで考えるのは誤解の元
02351 ≠ 0.99…の世界に行ってきた。
2006/11/09(木) 21:25:27最初の商に０を立てると次の位には９が立ち、以下同じ数字が繰り返されるので
ｎ÷ｎ = 0.99…
また、最初の商に１を立てると
ｎ÷ｎ = 1
∴ ｎ÷ｎ = 1 = 0.99…
ここで定義より1≠0.999だが明らかに矛盾。
故に1≠0.99…ならばｎ÷ｎは存在しない。
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