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1=0.999… その13.999…

■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
0001１３２人目の素数さん2006/10/26(木) 18:36:06
前スレ:1=0.999… その 9.999… http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1118452051/
前スレ:1=0.999… その10.999… http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1136133055/
前スレ:1=0.999… その11.999… http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1142173277/
前スレ:1=0.999… その12.999… http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1154943310/
一応激しい論議の結果、回答テンプレートが作成されました　>2-5
今後書き込む際には、できるだけまず回答テンプレートを参照してから、それをふまえて行ってください。
また、回答テンプレートへの意見なども自由に書き込んでください。
0103１３２人目の素数さん2006/11/01(水) 19:40:11
>>101-102
デデキントの切断といっているのだから、
そんな質疑が出てくること自体が、おかしいのでは？
0104１３２人目の素数さん2006/11/01(水) 20:44:00
ってか最近微分積分の極限値習ったんだが意味不明

限りなく近づくとき云々といっておきながら
例えばh→2でhが2に限りなく近づくとかいっておきながら
２をそのまま代入してるし意味不明
結局
「ある数αが、βに限りなく近づく時、αをβとして扱っても良い」
っていうのが極限？
それとも
「ある数αが、βに限りなく近づく時、α＝βになる」
か？
0105１３２人目の素数さん2006/11/01(水) 21:13:02
>>104
結果として「そのまま代入したもの」になることが多いけど、そのままの代入では
イケナイときもある。
0106１３２人目の素数さん2006/11/01(水) 21:28:54
>>104
lim[x→α]f(x)とf(α)は「意味として」別物。
結果が同じになることはある。そのときf(x)はx=αで連続であるという。
連続でなければ微分も糞もない。

f(x) = ( x^2 - α^2 ) / (x - α) とおく。
lim[x→α]f(x) はいくらだ？
0107１３２人目の素数さん2006/11/01(水) 23:39:29
2α？

で、このスレでｘ→∞ってあるけど
ある実数ｘが無限に限りなく近づく
っていうのがあまり理解できないのですが・・・・・
まぁこれは自分で考えまｓ
0108１３２人目の素数さん2006/11/01(水) 23:58:30
>>104
f(x)=1 (x=1)
　 0 (x≠1)

f(1)=1
lim[x→1]f(x)=0　　
0109１３２人目の素数さん2006/11/02(木) 08:06:24
f(0.999…)=?
0110１３２人目の素数さん2006/11/02(木) 09:37:40
>>101-102
>>103の言う通り。
0.999…也。
>>101での左右は、｢左方極限｣｢右方極限｣の左右と同じと思われ。
ならば、>>101での左端は｢左側｣の最大数となり、右端は｢右側｣の最小数となると思われ。両者は別々になる事は確か。

>>109
上記と>>108より、0。
更に1+(1ｰ0.999…)＝0とも。

つまり、0.999…は1の左方極限の究極、1+(1ｰ0.999…)は1の右方極限の究極と思われ。
極論暴言すれば、1ｰ0.999…は0の右方極限の究極と言えると思われ。


世界的には未決着題(本スレ内の上レス参照)なので、断言には至らず…。
0111１３２人目の素数さん2006/11/02(木) 11:04:02
未決着じゃなくて定義次第だろ。
0112１３２人目の素数さん2006/11/02(木) 12:57:54
>>111
どのように定義できるのかを書込まんと、単なる馬鹿と思われるだけだぞ。
例えば、１／ｎ＝０（ｎは自然数｜ｎ＝∞）と出来るのかは大きな問題だぞ。
0113１３２人目の素数さん2006/11/02(木) 13:41:30
＞ｎは自然数｜ｎ＝∞
∞は自然数ではないので、この時点で間違い。
0114１３２人目の素数さん2006/11/02(木) 15:33:49
定義？過去ログに余るほど書いているだろ。
0115１３２人目の素数さん2006/11/02(木) 17:26:50
まだ、未決なんて言っている人がいるとは…。
定義によって決まるだろ…。

連続する数としての実数で考えて、0.999…を無限級数の極限値とすれば、無理なく
１と同じ数と言えるだろうに。
また、表記が違えば「違う数」と扱うなら、完全に違う数だろ。ただ、この場合副作用が
沢山あって困る状況にも陥るんだけどね。
0116１３２人目の素数さん2006/11/02(木) 18:16:58
>>114
過去ログに定義が書いて有ると思っているなら、
定義って言うものが分かってないんじゃないか？

>>115
正確には、『級数が収束するとき、部分級数の極限値を、無限級数の値とする。』
しかし、無限級数そのものが、厳密に定義されているとは言えないだろう。
ｎ＝１～∞、
が定義出来なければ、無限級数の存在は実証できないのでは？
0117１３２人目の素数さん2006/11/02(木) 19:00:46
>>116
おいおい。まだこだわっていたのか？ｗ

１＝０．９９９９…と「定義」し、無限小数の四則演算を定義しても（加法なら各桁毎に足す。整数での
除法は繰り下がりも考慮し、商が繰り返すようだったらそこで終了。符号も考慮する）何の問題もな
いだろ。しかも、有理数を必ず無限小数に変換できるしな。

問題あるというなら、その問題点を　き　ち　ん　と　具　体　的　に　指　摘　し　て　く　れ　。


それから「厳密、厳密」という人がなんで　ｎ＝∞　なんて表現を許すんだ？
また、君が考える「実在」の定義ってなんだｗ
0118１３２人目の素数さん2006/11/02(木) 19:01:49
>>116
あのー。ペアノ公理系って知っている？
0119１３２人目の素数さん2006/11/02(木) 20:12:11
>>117
＞それから「厳密、厳密」という人がなんで　ｎ＝∞　なんて表現を許すんだ？
日本語が理解できないのか。
0120１３２人目の素数さん2006/11/02(木) 20:16:02
>>117
①0.999...[9]≡1-(10^-n)[n→∞]
②0.999...[8]≡1-2*(10^-n)[n→∞]
③0.999...[7]≡1-3*(10^-n)[n→∞]

さて上の３つは全て同じ表現と言えるのか、つまり、0.999...＝0.999...[9]＝0.999...[8]＝0.999...[7]　なのか？

君はこれら全部に'＝１'と定義していくのか？
0121１３２人目の素数さん2006/11/02(木) 20:19:47
>>116
＞しかし、無限級数そのものが、厳密に定義されているとは言えないだろう。
「Aという記号列を[～～文章～～]で定義する」と言っているのに、
「いや、それではAそのものが厳密に定義されているとは言えない」
とはこれいかに？>>116のアタマの中では"Aという記号列"と"Aそのもの"が
違う対象になっているらしい。
0122１３２人目の素数さん2006/11/02(木) 20:23:00
>>120
(10^-n)[n→∞] という記号列の定義によって、'＝1'か否かは変わる。

それで、(10^-n)[n→∞] って何？
0123１３２人目の素数さん2006/11/02(木) 20:35:10
ある数Ｘがαに限りなく近づく時、Ｘはαに収束する
ってのを辞書で見た

収束
有限確定の値を取ること

ってかいてあった

ということは

0.999…は1に限りなく近づいているといえるので
0.999…は1に収束する
有限確定ってのがよくわからないが確定した有限の数と言う意味か

ということで0.999…=1？
0124１３２人目の素数さん2006/11/02(木) 20:35:41
>>120
提示したコトの問題点を指摘しないで、いきなり別のコトを提示か。
凄いなｗ
0125１３２人目の素数さん2006/11/02(木) 20:46:12
>>120
そもそも0.999...[7]とかってどういう意味だ？
一般的に無限十進小数は整数から0～9への写像に自然に対応づけられる。
で、そのように解釈する場合、7に対応する整数は何だ？
言い換えるとその7は何桁目だ？
0126１３２人目の素数さん2006/11/02(木) 20:48:01
∞＋１桁目だ
とか言いそう
0127１３２人目の素数さん2006/11/02(木) 21:00:55
結論は、またこのスレは馬鹿の集団ということになりそうな予感。
0128１３２人目の素数さん2006/11/02(木) 21:57:09
>>121
日本語でＯＫ。
0129１３２人目の素数さん2006/11/02(木) 22:05:30
>>123
>0.999…は1に限りなく近づいているといえるので

「近づいている」というのがちょっと違う。
イメージで言えば0.999…は動いていなくてとまっている。
1に近づいているのは数列 an = { 0.9, 9,99, 0.999, 0.9999, ・・・} であって
その近づく先を0.999…と表記する。
0130１３２人目の素数さん2006/11/03(金) 02:17:56
>>117
文章ではなくて、数式で説明してくれないか。
多分、あなたは無限の問題点がわかっていない。
0131１３２人目の素数さん2006/11/03(金) 05:24:12
(by >>110)
>>111&>>115
謝る。
前スレでの中卒止まりのオッサンとやらの話題振り(８０６ageだった)への回答が、要するに
｢定義次第｣
今更思い出した。

＞副作用
これは、>>101の言う通りに大同小異とし、>>108提示に配慮して扱えば良いと思う。
(1ｰ0.999…)は究極のｱﾝﾀﾞｰﾌﾛｰ。
0132１３２人目の素数さん2006/11/03(金) 11:30:06
ところで1.000…無限個…01についてはどう思う？
(1)そんな数の存在は認めない
(2)1に等しい
(3)1に等しくない
0133１３２人目の素数さん2006/11/03(金) 13:16:22
定義をしない限り(1)。そんな数は実数としてはないんだし。
0134１３２人目の素数さん2006/11/03(金) 15:06:57
数列 { 1.1, 1.01, 1.001, 1.0001, ・・・}の極限
すなわち lim[n→∞] ( 1 + 1/10^n　)
の意味でなら認めるにやぶさかでないが
「無限個」が気に入らんな。
0135１３２人目の素数さん2006/11/03(金) 15:25:36
>>132
a＝0.000…999 (有限桁目は全部0で、無限桁目は全部9)
b＝0.000…001 (有限桁目は全部0で、無限桁目は最後だけ1で他は0)
とおくと、aとbを足せば繰り上がりがおき、無限桁目は全部0となるが、
かといって有限桁目も0のままだから、結局全ての桁が0になってしまい、
a＋b＝0.000…000＝0
0136１３２人目の素数さん2006/11/03(金) 17:18:21
>>121
定義
0.999…は1に等しい。
　　　　　　　定義終わり
で定義したことになると思っているのか。
究極の数学音痴だな。
0137１３２人目の素数さん2006/11/03(金) 17:31:45
印象批判じゃなくてキチンと何処がどうダメか
明記しろよw
0138１３２人目の素数さん2006/11/03(金) 17:41:49
>>137
まともに学校行ってりゃ、普通に解ることだよ。
0139１３２人目の素数さん2006/11/03(金) 17:45:05
まず集合論で自然数を構成し、
それから実数を構成しましょう。
0140１３２人目の素数さん2006/11/03(金) 18:17:31
>>136
なるよ。
>>138
君のように、まともに「大学」行ってない奴・まともに「大学の数学」勉強してない奴
には、「定義」の意味は解らないだろうな。

君がリーマン積分の定義を見たら、「それは値を決めただけであり、積分そのものの定義には
なっていない」とバカげた主張をするだろう。
0141１３２人目の素数さん2006/11/03(金) 18:34:05
>>140
思考力の無い奴は、数学を志すなという典型だな。
ある系で定義されたことと、普遍的な定義との違いも解らんとは。
0142１３２人目の素数さん2006/11/03(金) 18:40:27
>>141
「普遍的な定義」は幻想にすぎない。「普遍的な定義」など存在しない。

何を以って、普遍的だと判断するのか？普遍的とは何か？君の言う【普遍的】の
　定　義　はどこ？君にはこの【普遍的】という言葉を　定　義　できるのか？
それも、”ある系で定義された”【普遍的】ではなく、”普遍的な定義の”
【普遍的】をね。
01431322006/11/03(金) 18:44:55
>>133-135
俺自身は(1)
でも1≠0.999…派だと(3)と答えそうな気がする。
そういう人が乗ってこなかったのは残念だけど機会があったら聞いてみたいな

>>135の計算を参考にして思いついた>>132の表現が適切でない説明
0.00…01＋0.00…09=0.00…10=0.00…010=0.00…01
0でない数を足したのに同じ数になってしまう。
だから、そもそもこんな数は存在しない。
あるいはこういう数も0に等しい。
これは説得に使えるだろうか？
0144１３２人目の素数さん2006/11/03(金) 19:05:16
あー。やっぱり「普遍的定義」なるものの存在を信じていたんだなｗ
そうじゃないかと思っていたが…。

「算数」だったら文科省が「これだ！！！」って決めたヤツが普遍的定義になるんかいな。
少なくとも日本内なら。
0145１３２人目の素数さん2006/11/03(金) 19:07:50
>>143
オレがそっち方面の話に乗らなかったのは、そういうのって結局論議している人毎に
イメージ（定義）が違うからいつまでたっても結論がまとまらないからだ。

そういったことで「説得」なんてそもそも無理なんじゃないのか？キチンとした定義も
そもそもないしさー。
0146１３２人目の素数さん2006/11/03(金) 20:53:04
単に10進法の表記の場合、分母が10のベキになる
有理数の10進法表記は一意に決まらない、で済ましちゃうのも一つの手では？
0147１３２人目の素数さん2006/11/03(金) 21:05:50
積分はある関数から別の関数を作る操作、その逆操作が微分。
それが極限操作だったり、網タイツだったりの差だけ
0148１３２人目の素数さん2006/11/03(金) 21:14:35
ちょっと変なネタを思いついた。
自然数に関する命題P(n)について
「P(n)が真ならばn桁目は1、偽ならば0」
と小数を対応づけることができる。
またゲーデルの不完全制定理によると任意の自然数nについて偽であるが、
そのことが証明できない命題が存在する。
そのような命題に対応する小数は0に等しいと言えるだろうか？
言い換えると計算不可能だが0に等しい数。
試しにどこまで計算しても0しか出てこないみたいだが、
本当に1が現れないのか保証できない数。
0149１３２人目の素数さん2006/11/03(金) 22:13:13
>>144-145
たとえば、１０＾（-ｎ）において、
n=∞としたときが定義できればいいのではないのか？
0150１３２人目の素数さん2006/11/03(金) 22:18:29
>>148
ttp://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1143943264
ここで聞いてみたら？
0151１３２人目の素数さん2006/11/03(金) 22:20:18
自然数論でという制限するのも不自然だから言えるでいいでしょ？
0152１３２人目の素数さん2006/11/04(土) 04:59:15
>>132-135＆>>143
1+(1-0.999)
＝2-0.999…

後は場合分け
0.999…＝1⇔2-0.999…＝1
0.999…≠1⇔2ｰ0.999…≠1
0153１３２人目の素数さん2006/11/04(土) 14:38:28
0.999…は1と等しいと何故定義してはいけないのか
まぁ当たり前だね
説明しにくいけど
はぁ？なんでしちゃいけねぇんだよ
って言うんだったら
１＋１は３と等しいと定義しても良いんだね？
まぁそれは駄目だろって言うと思うけどね
0154１３２人目の素数さん2006/11/04(土) 14:41:02
"定義する"
と
"仮定する"
ってどう違うんですか？
0155KingOfUniverse ◆667la1PjK2 2006/11/04(土) 14:46:10
talk:>>154 定義を、言葉の意味の仮定だと思っているのか？
0156１３２人目の素数さん2006/11/04(土) 14:56:48
>>153
別に定義していいよ。１＋１＝３と。
単に２と３の役割を入れ替えればそれでＯＫ。
0157１３２人目の素数さん2006/11/04(土) 15:16:32
数学の問題の答えとかであるじゃん

αを実数と仮定すると、…
とか

定義と仮定の数学の問題的な意味は一緒なのかなと
まぁ辞書引いてくる
0158１３２人目の素数さん2006/11/04(土) 15:34:33
>>153
＞１＋１は３と等しいと定義しても良いんだね？
>>156の言うように、「2」と「3」という記号に与えられた定義を適当に変更した上で、1＋1＝3が
成り立つようにすることは可能。また、「2」「3」の定義はそのままで、「＋」と「＝」の定義を
適当に変更した上では、やはり1＋1＝3とすることが可能である。実際、標数1の素体F1上では
1＋1＝3が成り立つ。

バカは消えろ。君のように、まともに「大学」行ってない奴・まともに「大学の数学」勉強してない奴
には、「定義」の何たるかは理解できない。
0159１３２人目の素数さん2006/11/04(土) 15:52:34
【定義】
概念の内容を限定すること。
すなわち、ある概念の内包を構成する本質的属性を明らかにし、他の概念から区別すること。
その概念の属する最も近い類を挙げ、さらに種差を挙げて同類のほかの概念から区別すること。
例えば「人間は理性的（種差）動物（類概念）である」。

「広辞苑第五版」岩波書店　より抜粋

意味が解りません
0160１３２人目の素数さん2006/11/04(土) 16:27:02
[>>153脱字補正]
>>132-135＆>>143
1+(1-0.999…)
＝2-0.999…

後は場合分け
0.999…＝1⇔2-0.999…＝1
0.999…≠1⇔2ｰ0.999…≠1
0161１３２人目の素数さん2006/11/04(土) 18:43:37
>標数1の素体F1
0162１３２人目の素数さん2006/11/04(土) 22:05:58
なんて言うか、数学の定義ってそんなに自分勝手にできるものじゃないと思うんだ。
大学の数学の授業とかは天下り式に公理や定義から始まるけれど、
本当はwel-definedな定義を作ることこそが数学の重要なポイントだと思う。
0163１３２人目の素数さん2006/11/04(土) 23:52:56
今まで0.999…=1だと言われ、初等的な証明も厨房の頃に先生から
教えられて、それで疑問もなかったが、意外と奥が深いのな。

0.111…×9を例に挙げて、小学生から
　　筆算で掛け算は掛ける数と掛けられる数を右に寄せる。
　　でも無限に続くなら掛ける数を置きようがないじゃないか。
と疑問が来た。

再び考え出すときりがないんだが、「無限に続く小数に整数を掛ける」
ことを「有限小数に整数を掛ける」と同様に実行できるか、と言われると
どう説明していいのだろうか…
0164１３２人目の素数さん2006/11/05(日) 01:53:09
>>162
wel-definedだと原理的に証明できんから仕方ない。

>>163
自然科学分野の筆算では、小数点を合わせる乗法の筆算もあるぞ。
0165１３２人目の素数さん2006/11/05(日) 02:10:56
マンフリート・フォン・リヒト普遍
0166１３２人目の素数さん2006/11/05(日) 06:24:07
【>>90改訂(括弧足らず)の>>96、のそのまた補完】
0.1+0.9=(1ｰ0.9)
0.01+0.99=(1ｰ0.99)
0.001+0.999=(1ｰ0.999)
0.0001+0.9999=(1ｰ0.9999)
0.000…1+0.999…9=(1ｰ0.999…9)

lim[m→∞]
{Π[n=1～m]0.1
＋納n=1～m](9*0.1^n)}
=lim[m→∞]{0.1^m
＋納n=1～m](9*0.1^n)}
　　　･　　･
=(1ｰ0.9)+0.9
=1　(∵m→∞)
0167166､ｱﾙｺｰﾙ入り2006/11/05(日) 06:36:10
【>>166は脱字した、夜勤明け飲酒中陳謝】
脳内補完、よろ。
各右辺ｰ0.9～を付け足し、で。
0168１３２人目の素数さん2006/11/05(日) 09:06:53
>>166
10^(-n) ＋納k=1～n](9*10^(-k))=1において、
ｎを充分大きい値としたときに、10^(-n)は充分小さい値として無視し得る。
よって、(n→∞）納k=1～n](9*10^(-k))=1
微積レベルの証明だったら、こんなもんでいいのでは？
あと必要なのは、循環小数と（級数？）0.999…が同値である証明？
01691662006/11/05(日) 10:17:26
>>168
＞微積レベルの証明だったら、こんなもんでいいのでは？
→勿論。しかし当ｽﾚでは一筋縄ではいかない。
0170167の補正も、ｰでなく+だ!!2006/11/05(日) 10:25:14
0.1+0.9=(1ｰ0.9)+0.9
0.01+0.99=(1ｰ0.99)+0.99
0.001+0.999=(1ｰ0.999)+0.999
0.0001+0.9999=(1ｰ0.9999)+0.9999
0.000…1+0.999…9=(1ｰ0.999…9)+0.999…9

lim[m→∞]
{Π[n=1～m]0.1
＋納n=1～m](9*0.1^n)}
=lim[m→∞]{0.1^m
＋納n=1～m](9*0.1^n)}
　　　･　　･
=(1ｰ0.9)+0.9
=1
0171ﾔｹ酒、酔い醒め切らぬ2006/11/05(日) 10:53:24
【つか、酔ってなくても自分はｹｱﾚｽﾐｽ多い性格】
>>168
あと必要なのは、循環小数と(級数？)0.999…が同値である証明？
→(少なくとも>>168では、極限移行ではなく同一扱いだが、表現力が及ばず…)
仰る通り。
極限移行すると、例えば2-(1ｰ0.999…)×2、砕けた表示で0.999…→998も極限表示すれば1となってしまう。
【注意、…→として｢限り無く先｣としたが、これもまた表現不尽である為、脳内補完で宜しく】

つか、何より極限値を取って終わり、ではこの話題の結論には不足とも考える。単純回答として>>108氏参考。
0172１３２人目の素数さん2006/11/05(日) 12:51:53
>>168
ここは物理板ではなく、数学板です。
0173１３２人目の素数さん2006/11/05(日) 13:39:55
>>172
だと、どうなるんだい？
0174１３２人目の素数さん2006/11/05(日) 14:20:48
十分小さい値だから無視できるなんて使っちゃイカンってコト。
0175１３２人目の素数さん2006/11/05(日) 15:20:02
>>174
lim(h→0){{f(x+h)-f(x)}/{(x+h)-x}]
f(x)=x^2のとき、
lim(h→0)[(x^2+2hx+h^2)-x^2}/{(x+h)-x}]
=lim(h→0){(2hx+h^2)/h}
ここで、h~2は充分小さい値として、無視できる。
∴lim(h→0){{f(x+h)-f(x)}/{(x+h)-x}]=2x
数学じゃ、どう説明してんの？
0176１３２人目の素数さん2006/11/05(日) 15:44:55
不等式を使う
0177１３２人目の素数さん2006/11/05(日) 16:09:07
不等式を使えば、数式の意味が変わる？
0178１３２人目の素数さん2006/11/05(日) 16:18:59
>ここで、h~2は充分小さい値として、無視できる。
>∴lim(h→0){{f(x+h)-f(x)}/{(x+h)-x}]=2x

記号limを使ってる以上、無視とかそういう問題ではない。
f(x) = x^2のとき、
lim(h→0){{f(x+h)-f(x)}/{(x+h)-x}] = lim(h→0){(2hx+h^2)/h} = lim(h→0){2x+h} = 2x
以上。
0179１３２人目の素数さん2006/11/05(日) 16:34:56
>>177
端的に言うとε-δ論法。
0180１３２人目の素数さん2006/11/05(日) 16:39:16
>>178
lim(h→0){(2hx+h^2)/h} = lim(h→0){2x+h}:このときh=0ならば、不能。
lim(h→0){2x+h} = 2x：このときに、h=0という値を取れるとしたら、矛盾。
0181１３２人目の素数さん2006/11/05(日) 16:41:16
>>179
ε-δ論法は、必要なだけ小さい値とすることが出来る、
という意味ではないのか？
0182１３２人目の素数さん2006/11/05(日) 16:43:01
>>180
真面目に書いてます？
0183１３２人目の素数さん2006/11/05(日) 16:55:25
>>182
どこが不真面目に思える？
0184１３２人目の素数さん2006/11/05(日) 17:00:39
>>180

>lim(h→0){(2hx+h^2)/h} = lim(h→0){2x+h}:このときh=0ならば、不能。
h→0の極限では当然h≠0

>lim(h→0){2x+h} = 2x：このときに、h=0という値を取れるとしたら、矛盾。
意味不明。
0185１３２人目の素数さん2006/11/05(日) 17:30:18
>>184
では何故、
lim(h→0){2x+h} = 2x
といえるのか説明してくれ。
0186１３２人目の素数さん2006/11/05(日) 17:41:39
中学生の考えですけど正しいですかね？
誰か指摘よろ。

Ｓ = 0.99 …とおく
0.1Ｓ = 0.099…

Ｓ－0.1Ｓ
= 0.9Ｓ
= 0.9-0.000…9

0.00…9の１が存在する桁目はスレタイのより無限。
∴ 0.00…9 = 0.9*0.1^n ( n → ∞ )

0.9Ｓ = 0.9 - 0.9*0.1^n ( n → ∞ )
Ｓ = 1 - 0.1^n ( n → ∞ )

0.1^n = 1 / 10^n → 0 ( n → ∞ )

∴ Ｓ = 1 = 0.99…

有限桁、つまり桁の終端が存在する時(つまり、n → ∞でない時。)に0.1^n≠0となりＳ≠１となる。

終わり。
0187１３２人目の素数さん2006/11/05(日) 17:51:28
>>185
lim(h→0){2x+h} = lim(h→0){2x} + lim(h→0){h} = 2x + 0 = 2x

前提として
①極限が加法に関して展開可能であること（ lim(f+g) = lim(f) + lim(g) ただしいずれも有限確定のとき）
②lim(h→0){h} = 0
を使用しているが、必要ならばいずれもε-δで証明できる。
省略しているだけで「無視できるから」では断じてない。
0188１３２人目の素数さん2006/11/05(日) 17:55:23
lim(h→0){(2hx+h^2)/h} = lim(h→0){2x+h}:このときh=0ならば、不能。

え？不能なの・・・
普通に＝2xじゃないんですか
0189１３２人目の素数さん2006/11/05(日) 17:58:33
>>188
「ゼロで割れない」っていいたんじゃないの？ｗ
0190１３２人目の素数さん2006/11/05(日) 18:00:46
>>188
｢#DIV/0!｣
0191１３２人目の素数さん2006/11/05(日) 18:15:38
いや、でもちゃんと約分してるから大丈夫なのでは？
っていうか
lim(h→0){(2hx+h^2)/h}
だけのことを言ってたのか

数学の先生曰く
「lim(h→0){(2hx+h^2)/h}とlim(h→0){2x+h}は『関数的に』違う」
だそうです
0192１３２人目の素数さん2006/11/05(日) 18:19:04
「約分してるから」ってのはそれはそれで間違い。
ゼロになる可能性があるなら約分もしちゃだめ。

ただしh→0の極限を考えているときには問題ない。
0193１３２人目の素数さん2006/11/05(日) 19:07:36
>>186

0.000…9 って表記はおいといて、

> Ｓ－0.1Ｓ
> = 0.9Ｓ
> = 0.9-0.000…9

２行目から３行目はどうして出てくるの？
0194１３２人目の素数さん2006/11/05(日) 19:31:19
>>187
何度も言うようだが、ε-δは必要ならいくらでも小さい値が取れるという意味で、
ゼロとしていいという意味ではないだろう。
省略というが、証明できるならしてみてくれ。
0195非1872006/11/05(日) 19:38:04
>>194
日本語として、｢必要なだけ｣は語弊がある希ｶﾞｽ。
限り無く…
つ無限小
{0|無限小,φ}(無限小≠φ)
0196１３２人目の素数さん2006/11/05(日) 19:43:00
必要ならいくらでも小さい値が取れる = 極限がゼロである
と定義されている。

ってそんな前提もなしに話してるのかよ。
0197１３２人目の素数さん2006/11/05(日) 19:51:45
(limの定義)
x＝aの近傍Vで定義された関数f(x)の、x→aにおける極限値がαであるとは、
∀ε＞0, ∃δ＞0 s,t x∈(a－δ, a＋δ)∩(V－{a}) → ｜f(x)－α｜＜ε
が成り立つときを言う。このときα＝lim[x→a]f(x)と表記する。この
定義から明らかなように、lim[x→a]f(x)が存在すれば、fの定義域Vを
新たなaの近傍V'に拡張しても制限しても、lim[x→a]f(x)の値は変わらない。
なお、集合Vがaの近傍であるとは、(a－t, a＋t)⊂Vを満たすt＞0が
存在するときを言う。

(lim[h→0]h＝0の証明)
VとしてRがとれる。任意のε＞0に対して、δ＝ε/2＞0とすれば、h∈(0－δ, 0＋δ)∩(R－{0})
ならば｜h－0｜＜ε が成り立つので、定義からlim[h→0]h＝0となる。
0198純粋理性批判2006/11/05(日) 21:45:08
【By>>195】
>>196
前提を知らぬ未就学者に、
そのまま向けられる言葉遣いではないと思った。

>>197
乙。
01991862006/11/05(日) 21:59:29
>>193
文字式で計算したのが二行目
Ｓ－0.1Ｓ = 0.9Ｓ … 左辺

代入して計算したのが三行目です。
0.999… - 0.099… = 0.9 - 0.00…9
0200(0.00…9の記述法では有限少数値！)2006/11/06(月) 06:08:56
【下記は自分の意見ではなく、>>199への問い直し】


【これと同じ事？limで極論移行している？】
※小数点下以降の000…も記述する。
1.000…－0.999…
＝0.000…　(本式中混同無い為以下=0.1^n且つn→∞)
⇔1.000…＝0.999…+0.1^n　(n→∞)

で、n→∞　⇔　0.1^n→0　である。

∴ Ｓ = 1 = 0.99…
02011992006/11/06(月) 17:56:58
>>200

だいたい、その通りです。

0202１３２人目の素数さん2006/11/06(月) 23:12:14
ってかいまおもた

1-0.999…=0.000…(1)=0になるらしいが

0.999…=0.9+0.09+0.009+…0.000…(9)となって最後が0になるのでは・・・
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