1=0.999… その13.999…
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0001１３２人目の素数さん
2006/10/26(木) 18:36:06前スレ:1=0.999… その10.999… http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1136133055/
前スレ:1=0.999… その11.999… http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1142173277/
前スレ:1=0.999… その12.999… http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1154943310/
一応激しい論議の結果、回答テンプレートが作成されました >2-5
今後書き込む際には、できるだけまず回答テンプレートを参照してから、それをふまえて行ってください。
また、回答テンプレートへの意見なども自由に書き込んでください。
0002１３２人目の素数さん
2006/10/26(木) 18:37:18Ａ１： 「前提条件」によって「１＝０．９９９９…」となったり「１≠０．９９９９…」になったりする。
しかし、通常はそのような前提条件を採用することのメリットや、過去の経緯を考えると
「１＝０．９９９９…」であるとした方が妥当である。
Ｑ２：「１＝０．９９９９…」は証明可能なのではないか。
Ａ２：Ａ１の前提条件を認めれば可能である。しかし、認めない人にとってはその証明は
無意味である。
Ｑ３：１と０．９９９９…は形が全く違う。同じ数だと言うのは納得できない。
Ａ３：分数の２／２と３／３も違う形だが、全く同じ数である。
Ｑ４：Ａ１で、数学で正反対の結果を容認するのは納得できない。論理は絶対なのではないか？
Ａ４：自然数が入っている論理がもし正しいなら、その正しさはその論理内で証明できない。
したがって、「１＝０．９９９９…」が結論となる論理も「１≠０．９９９９…」が結論になる論理も
矛盾がない限り、その正しさはその論理内で証明できない。
0003１３２人目の素数さん
2006/10/26(木) 18:38:02Ａ５： 通常は実数の範囲で考え、「実数の連続性」や「０．９９９９…が
無限級数の極限値である」ことなどを前提にする。しかし、説明は複
雑になるが、有理数の範囲で考えることも可能である。
Ｑ６： 「１＝０．９９９９…」の証明には幾つかの初等的手法があるが、これらは無意味なのか？
Ａ６： 前提条件を認めて、無限小数の演算を矛盾無く定義するなら、それらの初等的証明は
確かに証明になっている。前提条件を認めた段階でのより単純な証明は存在するが
初等的証明には「分かりやすい」という利点がある。
0004１３２人目の素数さん
2006/10/26(木) 18:38:34Ａ７：
① １／３＝０．３３３３…
両辺を３倍して
１ ＝０．９９９９…
② ｘ＝０．９９９９… とおいて
１０ｘ－ｘ＝９．９９９９… － ０．９９９９…
９ｘ ＝９
ｘ ＝１
したがって １＝０．９９９９… である。
③ １／９＝０．１１１１…
２／９＝０．２２２２…
…
８／９＝０．８８８８…
９／９＝０．９９９９… ＝ １
④ ０．９９９９… は初項０．９公比０．１の無限等比級数だから、その値は
０．９９９９… ＝ ０．９／（１－０．１） ＝ １
⑤ ｎ÷ｎ を計算する際に商の一の位に０をたてると、０．９９９９…が得られるから
１ ＝ ｎ÷ｎ ＝ ０．９９９９…
0005１３２人目の素数さん
2006/10/26(木) 18:39:26その間の数があるとして、各桁毎に比較することでその値を考えていくと…
１の位は比較して０
小数第１位は比較して９
小数第２位は比較して９
小数第３位は比較して９
…………
と、以下繰り返していくと、結局この間の数は
０．９９９９…
となってしまい、０．９９９９…と１の間の数にならないので矛盾。
⑦１と０．９９９９…を足して２で割った数は
１．９９９９…／２＝０．９９９９…となり、ｘ＝０．９９９９…とおくと、
（１＋ｘ）／２＝ｘ よって、ｘ＝１となる。
＊＊＊＊＊
今後の課題：１≠０．９９９９…となる数学モデルの提示
0006１３２人目の素数さん
2006/10/26(木) 18:57:140007１３２人目の素数さん
2006/10/26(木) 19:28:39①のテンプレも同様。
テンプレなので多少の間違いや早とちりがあっても良いって事？
0008１３２人目の素数さん
2006/10/26(木) 19:32:35それより改めて見ると「０．９９９９…」の定義がまったく無いね。
0009１３２人目の素数さん
2006/10/26(木) 19:37:13①⑦はＱＡ５～ＱＡ６によって、「実数の連続性などの前提条件を認め」かつ「無限小数の
演算が矛盾無く定義されている状態」とされている。
その条件を認めるなら…①も⑦も単純に「無限小数の演算ができるか」ってコトが重要だ
から、問題ないだろう。要するに「無限小数の演算が既に定義済み」というコトが重要。
これでも、問題があるというなら指摘してくれ。
0010１３２人目の素数さん
2006/10/26(木) 19:38:55色々な定義があるからね。
標準的な実数による定義、有理数だけでの定義、超準解析による定義…えとせとら
0011１３２人目の素数さん
2006/10/26(木) 19:41:37うん、いろいろあるけど、
初等的な証明をいくつか書くならば、
その前提になる初等的な定義も何かあったほうがいいんじゃないかな？
0012１３２人目の素数さん
2006/10/26(木) 19:58:11実際は「アルキメデスの原理」があれば十分じゃないかな。
数学的帰納法を使っていいならば
「1=0.999…」と「アルキメデスの原理」は同値でしょ。
有理数の範囲で考える事も可能なのは、
有理数体もアルキメデス順序体だからだよね。
前スレで、超準解析ならば「1=0.999…」とならない解釈も可能って議論が出てたけど、
それは「超実数体はアルキメデスの原理を満たさない」という解釈が
可能だという事の言い換えでしょ。
0013１３２人目の素数さん
2006/10/26(木) 20:32:26Ｑ５： Ａ１の「前提条件」とは何か？
Ａ５： 考える数がアルキメデスの原理を満たすことなどである。
0014１３２人目の素数さん
2006/10/26(木) 20:34:48０．９９・・（極限とした見方）＝１
０．９９・・（永遠に続く数を値として認める）≠１
永遠に続く数を値として捕らえるのはどうだろうかと思うから、
0．99・・＝lim (n -> ∞）Σ [1, ｎ]（1－（1/10）^k)
として、極限としての値１で表記をしたのがオーソドックスな
考えになってる。
ここのスレの人は、この考えをより明確にさらに合理的に解決する
ため集合論や数学基礎論のような分野の話をしたいと考えている
のかな？
0015１３２人目の素数さん
2006/10/26(木) 20:41:53定義レベルの議論もあるし、証明レベルの議論もあるよ。
しかし、少なくともテンプレで証明をいくつか書くんなら
定義のいくつかも厳密でなくてもいいから書く必要はあるんじゃないの？
って思うんだよ。
0016１３２人目の素数さん
2006/10/26(木) 21:07:13定義だから無矛盾と言うのも、数学の拡張性をなくすと思うのだが？
その定義って言うのは、
無限に演算を続ければ、余りはなくなるって言う事を定義しているの？
>>14
limを外した時に、(n -> ∞）Σ [1, ｎ]（1－（1/10）^k) は
(n -> ∞）Σ [1, ｎ]（1－（1/10）^k) →１と言う意味合いしかなく、
矢印の意味合いは、限りなく近づくという意味でしかないだろう。
0017１３２人目の素数さん
2006/10/26(木) 21:31:36こういうことだ。
0018１３２人目の素数さん
2006/10/26(木) 21:35:27分数から無限小数への変換は君が言うとおり(?)定義してもとりあえず無矛盾なのでは？
0019１３２人目の素数さん
2006/10/26(木) 22:06:10ウン、その通りだね。
>>18
無矛盾であるかどうかは証明しなければいけないのでは？
0020１３２人目の素数さん
2006/10/26(木) 22:47:16だからあ、そこに「ゲーデル」が出てくる訳でしょ？
0021１３２人目の素数さん
2006/10/26(木) 23:01:29口癖でつか？
0022１３２人目の素数さん
2006/10/26(木) 23:30:41＞口癖でつか？
マァ、それだけではなくて、半可通とも呼ばれるんじゃないの？
0023１３２人目の素数さん
2006/10/27(金) 00:53:06無限小数に対して四則計算って有効なの？
どういうことかと言うと、
無限に循環する少数である「無限小数」は、その存在点が確定されうる値として取り扱う事が出来るのかという事なんだ。
もしこれが証明されていないならその他の数と計算することは出来ないんじゃないかと思う。
例えば数直線上で、
───────────────
・ ・
A B
AとBの二点間の距離を求めるにはA点とB点の値の差を計算すれば良いんだけど、このAないしBのどちらかが無限小数である場合（あるいは両方）
上で書いたように、「無限小数の確定された点」を観測できなければ、二点間の距離を求める事ができなく、
無限小数に対して四則計算が成り立つとは言えない事が証明されるんじゃないかな？
本当に素人意見なんで「こいつ何言ってるんだ頭おかしいんじゃねぇ？」と思われた方は無視してくださってかまいません。
どなたか、お暇で親切な人がいたらツッコんで貰えると嬉しいです。
0024１３２人目の素数さん
2006/10/27(金) 01:02:52実際の数値や計算とは本質的には無関係。
0025１３２人目の素数さん
2006/10/27(金) 01:16:49ちょっと分かりづらい。
その説明を意訳すると無限小数は人間が勝手に作った概念であるって事？
計算に使用する場合は、俺の言ってるような事は見当違いだって事？
スレ違いかもしれないんだけど、これも俺の聞いた事に関係した疑問なんで一つ。
１＋１を、「１」と言う地点から「１」という値だけ離れた所を指し示す式だと考えたら、
∞＋１は、「∞」という地点から「１」という値だけ離れた所を指し示す式と言う風に捉えることが出来る。
でも∞という値には留まる所（確定される点）が無いから、そこから「１」離れた点なんて取りようが無いと思う。
つまり俺は∞＋１＝エラーになると思うのだけど、実際には∞＋１＝∞と書くよね？これは本当に真実なの？
それとも、まだ良く分かっていないから近似っぽく表しているだけなの？
0026１３２人目の素数さん
2006/10/27(金) 01:27:170027１３２人目の素数さん
2006/10/27(金) 01:48:25拡大実数においては真実。行列どうしの積を考えるときに、必ずしも割り算が出来ないのと
同じようなもの。Oでない2つの行列A，Bに対してAB＝Oが成り立つことがあるのと同じようなもの。
0028１３２人目の素数さん
2006/10/27(金) 03:11:16おおざっぱに言っちゃうと、実数というものの定義で
「無限小数は、その存在点が確定されてる」
ってことになってる。
0029１３２人目の素数さん
2006/10/27(金) 03:34:49極限の四則演算については、次のような定理がある。
lim[n→∞] a_n = a、lim[n→∞] b_n = b である時、次の等式が成立する。
(1) lim[n→∞] (a_n±b_n) = a±b （複号同順）
(2) lim[n→∞] (a_n*b_n) = a*b
(3) bは0でない場合、lim[n→∞] (a_n/b_n) = a/b
これを無限小数に当てはめると、有限桁まで計算した値を数列にして
それの極限を求めれば、無限小数の四則演算を行った事と同じになる。
テンプレの>>4にある初等的証明も、この定理を前提とした話だね。
0030１３２人目の素数さん
2006/10/27(金) 03:39:17超準解析では無限大や無限小となる数を扱うけど、
それはモデル論の結果を使って、ある特殊な超準モデルを構成した上での話。
無限大や無限小に見える数も、超準モデルの中では確定した点になっている。
そういう数についても四則演算が定義できるが
それも超準モデルの中での話であって、数字で具体的に表せるわけではない。
超準モデルには無限大超実数は無限に存在するので
「∞」という記号ではそれらの数を表す事は出来ない。
せいぜい「無限大という性質を持つ」という事の省略形につかえるだけ。
「∞＋１＝∞」も「無限大に1加えた値も無限大になる」という意味なら正しいが、
これはきちんと定義された演算ではないし
「∞」という確定した点が存在するわけでもない。
0031１３２人目の素数さん
2006/10/27(金) 03:49:56キチンと定義されているかのような式が成立することがある。
∫[0,∞]f(x)dx＝∫[1,∞]f(x－1)dx
0032中卒止まりｵｻｰﾝ
2006/10/27(金) 05:25:17･
0.9(=以下0.9dotと代記)
=1は言える事やどちらでも(ｹﾞｰﾃﾞﾙさん？)な話は置いといて、
壱 0.9dotは1そのものか？(面積は等しいが異なる図形、と言う様に)
弐 壱を否定する場合、0.9dotと1の間はφか？
参 弐を肯定する場合、0.9dotの逆数は1の次の実数(←こんな表現であってるかも疑問…超限実数？)か？
0033１３２人目の素数さん
2006/10/27(金) 07:54:02そもそも、数って人間が現実をシミュレートしやすいように「勝手に作ったモノ」でしょうに。
0034１３２人目の素数さん
2006/10/27(金) 09:00:23なるほど、数学というのも実に奥の深く、興味深い学問だと分かりました。
0035１３２人目の素数さん
2006/10/27(金) 12:55:48要するに、無限小数が「確定していない」とするより「確定している」
として各種の計算を決定（定義）する方がより便利だし、かつ問題も
ないってコト。
現実をシミュレートする役割の「数」にとって、より多方面に利用でき
る方が「正義」。もちろん、その定義によって何らかの問題が発生する
なら全く事情はちがったものになるが。
0036１３２人目の素数さん
2006/10/28(土) 00:39:05故に、既約分数は小数または、循環小数で表せる。
って言うのは、定理（既に証明されている。）だろう。
0037１３２人目の素数さん
2006/10/28(土) 01:30:58故に、っておかしくね？
0038１３２人目の素数さん
2006/10/28(土) 07:18:28では、書き直しましょう。
循環小数は分数の形で表すことが出来る。
また、既約分数は小数または、循環小数で表せることも真なり。
って言うのは、定理（既に証明されている。）だろう。
これもなんか変なんだけどね。
0039１３２人目の素数さん
2006/10/28(土) 16:08:45＞② ｘ＝０．９９９９… とおいて
＞ １０ｘ－ｘ＝９．９９９９… － ０．９９９９…
＞ ９ｘ ＝９
＞ ｘ ＝１
＞ したがって １＝０．９９９９… である。
② ｘ＝０．９９９９… とおいて
１０ｘ－ｘ＝９．９９９９・・ － ０．９９９９・・・
９ｘ ＝８．９９９９・・・
ではなくて良い事を証明せよ。
0040１３２人目の素数さん
2006/10/28(土) 17:26:120041１３２人目の素数さん
2006/10/28(土) 17:42:100042１３２人目の素数さん
2006/10/28(土) 19:04:39既約分数は小数で表せる、の方は定理ちゅうか、割り算の定義だろ。
0043１３２人目の素数さん
2006/10/28(土) 20:31:22でもある。
0044１３２人目の素数さん
2006/10/28(土) 20:44:11既約分数を小数で表せるかどうかは、割り算とは無関係。
0045１３２人目の素数さん
2006/10/28(土) 20:49:030046１３２人目の素数さん
2006/10/28(土) 21:05:37わからないんだけど。割り算ってのは演算なんだから、数の表記法とは本質的に
無関係だろう。
きっと、筆算をして小数展開を求めることを想定してるんだろうけど、
歴史的に見ても、明らかにまず有理数とその演算があって、1000年以上たった後で
小数展開が出てくるわけだから、「割り算の定義のなかに入ってます」
って言うのは無理があると思う。
0047１３２人目の素数さん
2006/10/28(土) 21:10:400048１３２人目の素数さん
2006/10/28(土) 21:16:04もちろん現代数学ではもう少し厳密な定義を与えるけど。
とは言うものの、こう言うことはギリシア人も知ってた。
にも関らずギリシア人は小数展開なんてやらなかったわけで。
だからやっぱり割り算と小数展開の間には本質的な飛躍があると思う。
0049１３２人目の素数さん
2006/10/28(土) 21:34:53その本質的な飛躍にもう少し厳密な定義を与えてください。
0050１３２人目の素数さん
2006/10/28(土) 21:36:57歴史がどーのとか言っていないで、論理で攻めろよｗ
0051１３２人目の素数さん
2006/10/28(土) 22:15:16飛躍に厳密な定義なんて与えられようはずもないし。
0052１３２人目の素数さん
2006/10/28(土) 23:21:500053１３２人目の素数さん
2006/10/29(日) 00:18:02> ② ｘ＝０．９９９９… とおいて
> １０ｘ－ｘ＝９．９９９９… － ０．９９９９…
> ９ｘ ＝９
> ｘ ＝１
> したがって １＝０．９９９９… である。
これ、昔だれかが「x=」と置くのはダメとか言っててワケわからなかったけど、
何となくわかった気がする。例えば
x = 1/0とおいて、
x*(1/2) = (1/0)*(1/2)
x/2 = 1/0 (∵分子×分子、分母×分母
よって
x/2 = x
x = 0
したがって 1/0 = 0。
みたいな議論とあまり変わらんわけか。ちゃんとその値が存在するか、
収束するか、って言わなきゃ「x=」と置けないわけか。
…合ってる？
0054１３２人目の素数さん
2006/10/29(日) 00:40:00それもあるけど、その値が存在する事を言ったとしてもまだ問題は残る。
その証明は
「10倍すると各桁の数字を一桁左にずらした値になるが、
同じ数字が無限に続いているので、小数点以下の部分は全く変わらない。
よって元の数を引くと整数部分だけが残る。」
という論法だけど、これも厳密に言おうとするとなかなか大変。
0056中卒止まりｵｻｰﾝ
2006/10/29(日) 11:03:19そこで、次の話題(>>32改)
･
0.9(=以下0.9dotと代記)
=1は言える事やどちらでも(ｹﾞｰﾃﾞﾙさん？)な話は置いといて、
壱 0.9dotは1そのものか？(面積は等しいが異なる図形、と言う様に)
弐 壱を否定する場合、0.9dotと1の間はφか？
参 弐を肯定する場合、0.9dotの逆数は1の次に来る実数、として良いのか？
0057１３２人目の素数さん
2006/10/29(日) 12:52:50まあ、上に有界な単調増加数列だから収束するって事で一つの値に固定されているって
コトになるよなあ…。でも、これは数ある「実数の連続性」の定義と同値なモノだよね。
だから「実数の連続性」とか使っちゃうと結局「０．９９９９…は収束するから収束するんだー」
って強弁しているのと実質変わらない気もする…ｗ 単に、別の実数の性質に責任転嫁
しているだけでさー。
要するに、０．９９９９…が固定した何らかの値になるとしても、とりあえず問題は発生しない
からそうするってコトっしょ。
>>54
それは、テンプレでは無限小数の演算が既に定義されているって前提だから、
問題ないのでは？
0058１３２人目の素数さん
2006/10/29(日) 13:26:35では書き直しましょう。
循環小数は分数の形で表すことが出来る。
また、既約分数は小数の形で割り切れるか、または、
循環小数で表せることも真なり。
で、ある形の既約分数が循環小数で表せるって言うのは、
定理（既に証明されている。）だろう。
>>57
＞要するに、０．９９９…が固定した何らかの値になるとしても、
＞とりあえず問題は発生しない からそうするってコトっしょ。
もっと厳密な形に論点は絞れるのではないのかな？
＞それは、テンプレでは無限小数の演算が既に定義されているって前提だから、
＞問題ないのでは
どのように定義されているか書込まれていないから、
定義している事にはならない。
0059１３２人目の素数さん
2006/10/29(日) 13:53:46より厳密なコト言えって？
１＝０．９９９９…と定義しても問題無し。演算の定義は各桁毎にやってくって定義でできるっしょ。
問題なし。
0060１３２人目の素数さん
2006/10/29(日) 14:03:310061１３２人目の素数さん
2006/10/29(日) 14:09:460062１３２人目の素数さん
2006/10/29(日) 14:36:040063１３２人目の素数さん
2006/10/29(日) 15:56:490064１３２人目の素数さん
2006/10/29(日) 16:58:39結局、極限で
lim[n→∞]1/(9*10^n)=0
を言わないと、1/9=0.111... は言えないんじゃないの？
＞１＝０．９９９９…と定義しても問題無し。
こんな定義ありえんでしょ。
円周率は無限桁の小数で表されるけど、こんなの書いてられないからπと定義する、っていうのは納得いくが
1=0.999...は定義しちゃダメで、証明すべきもの。
勝手に 1＝2 と定義なんてしちゃうと、その他の公理から1≠2が証明できるので系が矛盾してしまう。
0065１３２人目の素数さん
2006/10/29(日) 17:53:290066１３２人目の素数さん
2006/10/29(日) 17:57:26過去ログみたら分かるけど極限使った理論を言っても納得しない人は
沢山いるわけで…。
「１＝２」と違って、「１＝０．９９９９…」と定義しても矛盾はないからいいん
じゃないの？それに、その定義によって、無限小数と整数の関係が皆
決定できるから万々歳。問題なし。
まあ…、「１＝０．９９９９…」となるように各種の定義・公理を選択する…
ってのが、本筋なのかも知れないけどね。
0067１３２人目の素数さん
2006/10/29(日) 18:11:27＞過去ログみたら分かるけど極限使った理論を言っても納得しない人は
＞沢山いるわけで…。
それは、極限を持ち出す側が、
極限の事を完全に理解してはいないからだろう。
おまけに定義の意味も分かってない。
0068１３２人目の素数さん
2006/10/29(日) 18:16:2510x=9.99999…
10x-x=9
9x=9
∴x=1
0069１３２人目の素数さん
2006/10/29(日) 18:24:34１０x=９.９９９９９・・
10x-x=８.９９９９９・・・
９x=８.９９９９９・・・
∴x=０.９９９９９・・・
0070１３２人目の素数さん
2006/10/29(日) 18:27:52書込む前に見直そうな
0071１３２人目の素数さん
2006/10/29(日) 18:30:16x=０.９９９９９・・・とおく。
１０x=９.９９９９９・・
10x-x=８.９９９９９・・・
９x=８.９９９９９・・・
∴x=０.９９９９９・・・
0072１３２人目の素数さん
2006/10/29(日) 18:35:26極限の意味だってｗ 言ってくれ。
皆がそれでこの問題を納得できるようなモンを頼むぞ。
定義に関してだけど、問題ありならそこをキチンと指摘してくれｗ
0073１３２人目の素数さん
2006/10/29(日) 18:45:54＞だから、0.999・・・の定義
では、0.999…の定義を。
0.999…は循環小数であり、循環小数は明らかに無限小数である。
また、明らかに0.999…は級数であり、部分級数の値のｎが∞と言う値を、
取れる場合と言える。
よって、0.999…は無限級数の値に等しいと言える。
∴1=0.999…
0074１３２人目の素数さん
2006/10/29(日) 18:55:04＞lim[n→∞]1/(9*10^n)=0
これはアルキメデスの原理の1バージョンで、「1=0.999…」と同値な命題だから
これを証明する事と「1=0.999…」を証明する事は本質的に同じ事なんだよね。
アルキメデスの原理と別のバージョンとしては
「どんな実数を取ってきても、それより大きい自然数が存在する」ってのがあるけど、
これならほとんどの人が自明だと思うんじゃないかな。
納得できない人も多い「1=0.999…」とこれが同値だというのは、なかなか興味深い。
0075１３２人目の素数さん
2006/10/29(日) 19:50:49明らかに１＝０．９９９９…であるってのとあまり変わりないような…
0076１３２人目の素数さん
2006/10/29(日) 19:53:06＞極限の意味だって
そんな事何処に書いてあるんだ。
１＝０．９９９９…が定義としなければ、確定できないならば、
全ての循環小数に対して、対応する値を、
定義しなければならないって言う事じゃないのか。
0077１３２人目の素数さん
2006/10/29(日) 20:08:21定義を書く事を考えていたから、証明の部分をかなり省略しているからね。
nが無限大を取れると言う部分は、0.9(1-10^(-n))/(1-0.1)がn=∞と出来て、
0.9×1/(1-0.1)と言う値を取れるという事を省略している。
循環小数は無限級数であるのか、って言う事と、
ｎは無限大と言う値を取れるのかって言う事が、
定義するべき部分と考えたんだけどね。
0078１３２人目の素数さん
2006/10/29(日) 20:22:40> 定義を書く事を考えていたから、証明の部分をかなり省略しているからね。
逆だろ
0079１３２人目の素数さん
2006/10/29(日) 20:37:49＞逆だろ
そう思えるのか？
最初は0.999…の定義なんて、
循環小数って言うだけで良いだろうと思っていたんだけれど。
定義としては書込みすぎと思ったくらい。
だから、蛇足だというならば解る。
0080１３２人目の素数さん
2006/10/29(日) 20:44:210081１３２人目の素数さん
2006/10/29(日) 21:32:26「じゃあ1と0.9999....の間にある数を言ってみて。」と言おう。
定義 差がある２個の実数の間には実数がある。
でも1と0.9999...の間に実数はないよね。9は無限に続くもんね。
0082１３２人目の素数さん
2006/10/29(日) 21:33:47実際言ったら「そんな法則しらん！」で終了でしたｗ
0083１３２人目の素数さん
2006/10/29(日) 21:41:47無限小があるという人は
「無限小は0の次の数だ！」とか言うんだから
当然そんな「定義」受け入れないでしょ
0084１３２人目の素数さん
2006/10/29(日) 22:44:380085１３２人目の素数さん
2006/10/29(日) 22:52:261/9=0.111…
両辺に９を掛けると
1=0.999…
0086１３２人目の素数さん
2006/10/29(日) 23:04:320087１３２人目の素数さん
2006/10/29(日) 23:20:53＞勝手に 1＝2 と定義なんてしちゃうと、その他の公理から1≠2が証明できるので系が矛盾してしまう。
「その他の公理」として何を採用するかで、矛盾するか どうかは変わる。実際、別の公理を採用すれば
1＝2は成り立つ。
例：F_2(標数2の素体)においては1＝2である。
0088１３２人目の素数さん
2006/10/30(月) 03:29:320089１３２人目の素数さん
2006/10/30(月) 07:10:370090１３２人目の素数さん
2006/10/30(月) 08:01:220.1^m
＋納n=1～m](9*0.1^n)
＝１
0091１３２人目の素数さん
2006/10/30(月) 12:28:49式が間違ってるぞ。
それじゃ、0.999…にしかならないぞ。
0092１３２人目の素数さん
2006/10/30(月) 16:49:58あってるじゃん、極限はなくてもいいけど・・・
0093１３２人目の素数さん
2006/10/30(月) 17:28:43あのな
このスレの題名を見れば解る
もしも1=0.999…じゃなければこのスレが意味不明なことになるだろ
13.999…（≠14）個めのスレってどんなんだよ
説明してみろよ
なんかよくわかんねぇよ
0094１３２人目の素数さん
2006/10/30(月) 17:34:240095１３２人目の素数さん
2006/10/30(月) 20:47:44納n=1～m](9*0.1^n) に極限記号がないから、有限小数になる。
ｍ桁目ってなんだ？ッて言うツッコミは入れないから。
0096>>90改訂
2006/10/31(火) 10:46:11{0.1^m
＋納n=1～m](9*0.1^n)}
＝１
0097１３２人目の素数さん
2006/10/31(火) 20:27:09ぷ
0098１３２人目の素数さん
2006/10/31(火) 23:18:15そんなに高尚かな？
『中卒オヤジと（数学は教養だ、という）感違いブラザーズ』って言う処じゃないのかな？
0099１３２人目の素数さん
2006/10/31(火) 23:49:560100１３２人目の素数さん
2006/11/01(水) 02:52:02なんに対して反論しなければいけないのか教えてくれ。
0101１３２人目の素数さん
2006/11/01(水) 08:26:05数直線をデデキントの切断で、
切断箇所は
≧１(=以下右側)
＜１(=以下左側)
となるよう切断する。
このとき、右側の左端は勿論１。
さて一方、左側の右端は
0.999…になるか？
0102１３２人目の素数さん
2006/11/01(水) 10:42:410103１３２人目の素数さん
2006/11/01(水) 19:40:11デデキントの切断といっているのだから、
そんな質疑が出てくること自体が、おかしいのでは？
0104１３２人目の素数さん
2006/11/01(水) 20:44:00限りなく近づくとき云々といっておきながら
例えばh→2でhが2に限りなく近づくとかいっておきながら
２をそのまま代入してるし意味不明
結局
「ある数αが、βに限りなく近づく時、αをβとして扱っても良い」
っていうのが極限？
それとも
「ある数αが、βに限りなく近づく時、α＝βになる」
か？
0105１３２人目の素数さん
2006/11/01(水) 21:13:02結果として「そのまま代入したもの」になることが多いけど、そのままの代入では
イケナイときもある。
0106１３２人目の素数さん
2006/11/01(水) 21:28:54lim[x→α]f(x)とf(α)は「意味として」別物。
結果が同じになることはある。そのときf(x)はx=αで連続であるという。
連続でなければ微分も糞もない。
f(x) = ( x^2 - α^2 ) / (x - α) とおく。
lim[x→α]f(x) はいくらだ？
0107１３２人目の素数さん
2006/11/01(水) 23:39:29で、このスレでｘ→∞ってあるけど
ある実数ｘが無限に限りなく近づく
っていうのがあまり理解できないのですが・・・・・
まぁこれは自分で考えまｓ
0108１３２人目の素数さん
2006/11/01(水) 23:58:30f(x)=1 (x=1)
0 (x≠1)
f(1)=1
lim[x→1]f(x)=0
0109１３２人目の素数さん
2006/11/02(木) 08:06:240110１３２人目の素数さん
2006/11/02(木) 09:37:40>>103の言う通り。
0.999…也。
>>101での左右は、｢左方極限｣｢右方極限｣の左右と同じと思われ。
ならば、>>101での左端は｢左側｣の最大数となり、右端は｢右側｣の最小数となると思われ。両者は別々になる事は確か。
>>109
上記と>>108より、0。
更に1+(1ｰ0.999…)＝0とも。
つまり、0.999…は1の左方極限の究極、1+(1ｰ0.999…)は1の右方極限の究極と思われ。
極論暴言すれば、1ｰ0.999…は0の右方極限の究極と言えると思われ。
世界的には未決着題(本スレ内の上レス参照)なので、断言には至らず…。
0111１３２人目の素数さん
2006/11/02(木) 11:04:020112１３２人目の素数さん
2006/11/02(木) 12:57:54どのように定義できるのかを書込まんと、単なる馬鹿と思われるだけだぞ。
例えば、１／ｎ＝０（ｎは自然数｜ｎ＝∞）と出来るのかは大きな問題だぞ。
0113１３２人目の素数さん
2006/11/02(木) 13:41:30∞は自然数ではないので、この時点で間違い。
0114１３２人目の素数さん
2006/11/02(木) 15:33:490115１３２人目の素数さん
2006/11/02(木) 17:26:50定義によって決まるだろ…。
連続する数としての実数で考えて、0.999…を無限級数の極限値とすれば、無理なく
１と同じ数と言えるだろうに。
また、表記が違えば「違う数」と扱うなら、完全に違う数だろ。ただ、この場合副作用が
沢山あって困る状況にも陥るんだけどね。
0116１３２人目の素数さん
2006/11/02(木) 18:16:58過去ログに定義が書いて有ると思っているなら、
定義って言うものが分かってないんじゃないか？
>>115
正確には、『級数が収束するとき、部分級数の極限値を、無限級数の値とする。』
しかし、無限級数そのものが、厳密に定義されているとは言えないだろう。
ｎ＝１～∞、
が定義出来なければ、無限級数の存在は実証できないのでは？
0117１３２人目の素数さん
2006/11/02(木) 19:00:46おいおい。まだこだわっていたのか？ｗ
１＝０．９９９９…と「定義」し、無限小数の四則演算を定義しても（加法なら各桁毎に足す。整数での
除法は繰り下がりも考慮し、商が繰り返すようだったらそこで終了。符号も考慮する）何の問題もな
いだろ。しかも、有理数を必ず無限小数に変換できるしな。
問題あるというなら、その問題点を き ち ん と 具 体 的 に 指 摘 し て く れ 。
それから「厳密、厳密」という人がなんで ｎ＝∞ なんて表現を許すんだ？
また、君が考える「実在」の定義ってなんだｗ
0118１３２人目の素数さん
2006/11/02(木) 19:01:49あのー。ペアノ公理系って知っている？
0119１３２人目の素数さん
2006/11/02(木) 20:12:11＞それから「厳密、厳密」という人がなんで ｎ＝∞ なんて表現を許すんだ？
日本語が理解できないのか。
0120１３２人目の素数さん
2006/11/02(木) 20:16:02①0.999...[9]≡1-(10^-n)[n→∞]
②0.999...[8]≡1-2*(10^-n)[n→∞]
③0.999...[7]≡1-3*(10^-n)[n→∞]
さて上の３つは全て同じ表現と言えるのか、つまり、0.999...＝0.999...[9]＝0.999...[8]＝0.999...[7] なのか？
君はこれら全部に'＝１'と定義していくのか？
0121１３２人目の素数さん
2006/11/02(木) 20:19:47＞しかし、無限級数そのものが、厳密に定義されているとは言えないだろう。
「Aという記号列を[～～文章～～]で定義する」と言っているのに、
「いや、それではAそのものが厳密に定義されているとは言えない」
とはこれいかに？>>116のアタマの中では"Aという記号列"と"Aそのもの"が
違う対象になっているらしい。
0122１３２人目の素数さん
2006/11/02(木) 20:23:00(10^-n)[n→∞] という記号列の定義によって、'＝1'か否かは変わる。
それで、(10^-n)[n→∞] って何？
0123１３２人目の素数さん
2006/11/02(木) 20:35:10ってのを辞書で見た
収束
有限確定の値を取ること
ってかいてあった
ということは
0.999…は1に限りなく近づいているといえるので
0.999…は1に収束する
有限確定ってのがよくわからないが確定した有限の数と言う意味か
ということで0.999…=1？
0124１３２人目の素数さん
2006/11/02(木) 20:35:41提示したコトの問題点を指摘しないで、いきなり別のコトを提示か。
凄いなｗ
0125１３２人目の素数さん
2006/11/02(木) 20:46:12そもそも0.999...[7]とかってどういう意味だ？
一般的に無限十進小数は整数から0～9への写像に自然に対応づけられる。
で、そのように解釈する場合、7に対応する整数は何だ？
言い換えるとその7は何桁目だ？
0126１３２人目の素数さん
2006/11/02(木) 20:48:01とか言いそう
0127１３２人目の素数さん
2006/11/02(木) 21:00:550128１３２人目の素数さん
2006/11/02(木) 21:57:09日本語でＯＫ。
0129１３２人目の素数さん
2006/11/02(木) 22:05:30>0.999…は1に限りなく近づいているといえるので
「近づいている」というのがちょっと違う。
イメージで言えば0.999…は動いていなくてとまっている。
1に近づいているのは数列 an = { 0.9, 9,99, 0.999, 0.9999, ・・・} であって
その近づく先を0.999…と表記する。
0130１３２人目の素数さん
2006/11/03(金) 02:17:56文章ではなくて、数式で説明してくれないか。
多分、あなたは無限の問題点がわかっていない。
0131１３２人目の素数さん
2006/11/03(金) 05:24:12>>111&>>115
謝る。
前スレでの中卒止まりのオッサンとやらの話題振り(８０６ageだった)への回答が、要するに
｢定義次第｣
今更思い出した。
＞副作用
これは、>>101の言う通りに大同小異とし、>>108提示に配慮して扱えば良いと思う。
(1ｰ0.999…)は究極のｱﾝﾀﾞｰﾌﾛｰ。
0132１３２人目の素数さん
2006/11/03(金) 11:30:06(1)そんな数の存在は認めない
(2)1に等しい
(3)1に等しくない
0133１３２人目の素数さん
2006/11/03(金) 13:16:220134１３２人目の素数さん
2006/11/03(金) 15:06:57すなわち lim[n→∞] ( 1 + 1/10^n )
の意味でなら認めるにやぶさかでないが
「無限個」が気に入らんな。
0135１３２人目の素数さん
2006/11/03(金) 15:25:36a＝0.000…999 (有限桁目は全部0で、無限桁目は全部9)
b＝0.000…001 (有限桁目は全部0で、無限桁目は最後だけ1で他は0)
とおくと、aとbを足せば繰り上がりがおき、無限桁目は全部0となるが、
かといって有限桁目も0のままだから、結局全ての桁が0になってしまい、
a＋b＝0.000…000＝0
0136１３２人目の素数さん
2006/11/03(金) 17:18:21定義
0.999…は1に等しい。
定義終わり
で定義したことになると思っているのか。
究極の数学音痴だな。
0137１３２人目の素数さん
2006/11/03(金) 17:31:45明記しろよw
0138１３２人目の素数さん
2006/11/03(金) 17:41:49まともに学校行ってりゃ、普通に解ることだよ。
0139１３２人目の素数さん
2006/11/03(金) 17:45:05それから実数を構成しましょう。
0140１３２人目の素数さん
2006/11/03(金) 18:17:31なるよ。
>>138
君のように、まともに「大学」行ってない奴・まともに「大学の数学」勉強してない奴
には、「定義」の意味は解らないだろうな。
君がリーマン積分の定義を見たら、「それは値を決めただけであり、積分そのものの定義には
なっていない」とバカげた主張をするだろう。
0141１３２人目の素数さん
2006/11/03(金) 18:34:05思考力の無い奴は、数学を志すなという典型だな。
ある系で定義されたことと、普遍的な定義との違いも解らんとは。
0142１３２人目の素数さん
2006/11/03(金) 18:40:27「普遍的な定義」は幻想にすぎない。「普遍的な定義」など存在しない。
何を以って、普遍的だと判断するのか？普遍的とは何か？君の言う【普遍的】の
定 義 はどこ？君にはこの【普遍的】という言葉を 定 義 できるのか？
それも、”ある系で定義された”【普遍的】ではなく、”普遍的な定義の”
【普遍的】をね。
0143132
2006/11/03(金) 18:44:55俺自身は(1)
でも1≠0.999…派だと(3)と答えそうな気がする。
そういう人が乗ってこなかったのは残念だけど機会があったら聞いてみたいな
>>135の計算を参考にして思いついた>>132の表現が適切でない説明
0.00…01＋0.00…09=0.00…10=0.00…010=0.00…01
0でない数を足したのに同じ数になってしまう。
だから、そもそもこんな数は存在しない。
あるいはこういう数も0に等しい。
これは説得に使えるだろうか？
0144１３２人目の素数さん
2006/11/03(金) 19:05:16そうじゃないかと思っていたが…。
「算数」だったら文科省が「これだ！！！」って決めたヤツが普遍的定義になるんかいな。
少なくとも日本内なら。
0145１３２人目の素数さん
2006/11/03(金) 19:07:50オレがそっち方面の話に乗らなかったのは、そういうのって結局論議している人毎に
イメージ（定義）が違うからいつまでたっても結論がまとまらないからだ。
そういったことで「説得」なんてそもそも無理なんじゃないのか？キチンとした定義も
そもそもないしさー。
0146１３２人目の素数さん
2006/11/03(金) 20:53:04有理数の10進法表記は一意に決まらない、で済ましちゃうのも一つの手では？
0147１３２人目の素数さん
2006/11/03(金) 21:05:50それが極限操作だったり、網タイツだったりの差だけ
0148１３２人目の素数さん
2006/11/03(金) 21:14:35自然数に関する命題P(n)について
「P(n)が真ならばn桁目は1、偽ならば0」
と小数を対応づけることができる。
またゲーデルの不完全制定理によると任意の自然数nについて偽であるが、
そのことが証明できない命題が存在する。
そのような命題に対応する小数は0に等しいと言えるだろうか？
言い換えると計算不可能だが0に等しい数。
試しにどこまで計算しても0しか出てこないみたいだが、
本当に1が現れないのか保証できない数。
0149１３２人目の素数さん
2006/11/03(金) 22:13:13たとえば、１０＾（-ｎ）において、
n=∞としたときが定義できればいいのではないのか？
0150１３２人目の素数さん
2006/11/03(金) 22:18:29ttp://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1143943264
ここで聞いてみたら？
0151１３２人目の素数さん
2006/11/03(金) 22:20:180152１３２人目の素数さん
2006/11/04(土) 04:59:151+(1-0.999)
＝2-0.999…
後は場合分け
0.999…＝1⇔2-0.999…＝1
0.999…≠1⇔2ｰ0.999…≠1
0153１３２人目の素数さん
2006/11/04(土) 14:38:28まぁ当たり前だね
説明しにくいけど
はぁ？なんでしちゃいけねぇんだよ
って言うんだったら
１＋１は３と等しいと定義しても良いんだね？
まぁそれは駄目だろって言うと思うけどね
0154１３２人目の素数さん
2006/11/04(土) 14:41:02と
"仮定する"
ってどう違うんですか？
0155KingOfUniverse ◆667la1PjK2
2006/11/04(土) 14:46:100156１３２人目の素数さん
2006/11/04(土) 14:56:48別に定義していいよ。１＋１＝３と。
単に２と３の役割を入れ替えればそれでＯＫ。
0157１３２人目の素数さん
2006/11/04(土) 15:16:32αを実数と仮定すると、…
とか
定義と仮定の数学の問題的な意味は一緒なのかなと
まぁ辞書引いてくる
0158１３２人目の素数さん
2006/11/04(土) 15:34:33＞１＋１は３と等しいと定義しても良いんだね？
>>156の言うように、「2」と「3」という記号に与えられた定義を適当に変更した上で、1＋1＝3が
成り立つようにすることは可能。また、「2」「3」の定義はそのままで、「＋」と「＝」の定義を
適当に変更した上では、やはり1＋1＝3とすることが可能である。実際、標数1の素体F1上では
1＋1＝3が成り立つ。
バカは消えろ。君のように、まともに「大学」行ってない奴・まともに「大学の数学」勉強してない奴
には、「定義」の何たるかは理解できない。
0159１３２人目の素数さん
2006/11/04(土) 15:52:34概念の内容を限定すること。
すなわち、ある概念の内包を構成する本質的属性を明らかにし、他の概念から区別すること。
その概念の属する最も近い類を挙げ、さらに種差を挙げて同類のほかの概念から区別すること。
例えば「人間は理性的（種差）動物（類概念）である」。
「広辞苑第五版」岩波書店 より抜粋
意味が解りません
0160１３２人目の素数さん
2006/11/04(土) 16:27:02>>132-135＆>>143
1+(1-0.999…)
＝2-0.999…
後は場合分け
0.999…＝1⇔2-0.999…＝1
0.999…≠1⇔2ｰ0.999…≠1
0161１３２人目の素数さん
2006/11/04(土) 18:43:370162１３２人目の素数さん
2006/11/04(土) 22:05:58大学の数学の授業とかは天下り式に公理や定義から始まるけれど、
本当はwel-definedな定義を作ることこそが数学の重要なポイントだと思う。
0163１３２人目の素数さん
2006/11/04(土) 23:52:56教えられて、それで疑問もなかったが、意外と奥が深いのな。
0.111…×9を例に挙げて、小学生から
筆算で掛け算は掛ける数と掛けられる数を右に寄せる。
でも無限に続くなら掛ける数を置きようがないじゃないか。
と疑問が来た。
再び考え出すときりがないんだが、「無限に続く小数に整数を掛ける」
ことを「有限小数に整数を掛ける」と同様に実行できるか、と言われると
どう説明していいのだろうか…
0164１３２人目の素数さん
2006/11/05(日) 01:53:09wel-definedだと原理的に証明できんから仕方ない。
>>163
自然科学分野の筆算では、小数点を合わせる乗法の筆算もあるぞ。
0165１３２人目の素数さん
2006/11/05(日) 02:10:560166１３２人目の素数さん
2006/11/05(日) 06:24:070.1+0.9=(1ｰ0.9)
0.01+0.99=(1ｰ0.99)
0.001+0.999=(1ｰ0.999)
0.0001+0.9999=(1ｰ0.9999)
0.000…1+0.999…9=(1ｰ0.999…9)
lim[m→∞]
{Π[n=1～m]0.1
＋納n=1～m](9*0.1^n)}
=lim[m→∞]{0.1^m
＋納n=1～m](9*0.1^n)}
･ ･
=(1ｰ0.9)+0.9
=1 (∵m→∞)
0167166､ｱﾙｺｰﾙ入り
2006/11/05(日) 06:36:10脳内補完、よろ。
各右辺ｰ0.9～を付け足し、で。
0168１３２人目の素数さん
2006/11/05(日) 09:06:5310^(-n) ＋納k=1～n](9*10^(-k))=1において、
ｎを充分大きい値としたときに、10^(-n)は充分小さい値として無視し得る。
よって、(n→∞）納k=1～n](9*10^(-k))=1
微積レベルの証明だったら、こんなもんでいいのでは？
あと必要なのは、循環小数と（級数？）0.999…が同値である証明？
0170167の補正も、ｰでなく+だ!!
2006/11/05(日) 10:25:140.01+0.99=(1ｰ0.99)+0.99
0.001+0.999=(1ｰ0.999)+0.999
0.0001+0.9999=(1ｰ0.9999)+0.9999
0.000…1+0.999…9=(1ｰ0.999…9)+0.999…9
lim[m→∞]
{Π[n=1～m]0.1
＋納n=1～m](9*0.1^n)}
=lim[m→∞]{0.1^m
＋納n=1～m](9*0.1^n)}
･ ･
=(1ｰ0.9)+0.9
=1
0171ﾔｹ酒、酔い醒め切らぬ
2006/11/05(日) 10:53:24>>168
あと必要なのは、循環小数と(級数？)0.999…が同値である証明？
→(少なくとも>>168では、極限移行ではなく同一扱いだが、表現力が及ばず…)
仰る通り。
極限移行すると、例えば2-(1ｰ0.999…)×2、砕けた表示で0.999…→998も極限表示すれば1となってしまう。
【注意、…→として｢限り無く先｣としたが、これもまた表現不尽である為、脳内補完で宜しく】
つか、何より極限値を取って終わり、ではこの話題の結論には不足とも考える。単純回答として>>108氏参考。
0172１３２人目の素数さん
2006/11/05(日) 12:51:53ここは物理板ではなく、数学板です。
0173１３２人目の素数さん
2006/11/05(日) 13:39:55だと、どうなるんだい？
0174１３２人目の素数さん
2006/11/05(日) 14:20:480175１３２人目の素数さん
2006/11/05(日) 15:20:02lim(h→0){{f(x+h)-f(x)}/{(x+h)-x}]
f(x)=x^2のとき、
lim(h→0)[(x^2+2hx+h^2)-x^2}/{(x+h)-x}]
=lim(h→0){(2hx+h^2)/h}
ここで、h~2は充分小さい値として、無視できる。
∴lim(h→0){{f(x+h)-f(x)}/{(x+h)-x}]=2x
数学じゃ、どう説明してんの？
0176１３２人目の素数さん
2006/11/05(日) 15:44:550177１３２人目の素数さん
2006/11/05(日) 16:09:070178１３２人目の素数さん
2006/11/05(日) 16:18:59>∴lim(h→0){{f(x+h)-f(x)}/{(x+h)-x}]=2x
記号limを使ってる以上、無視とかそういう問題ではない。
f(x) = x^2のとき、
lim(h→0){{f(x+h)-f(x)}/{(x+h)-x}] = lim(h→0){(2hx+h^2)/h} = lim(h→0){2x+h} = 2x
以上。
0179１３２人目の素数さん
2006/11/05(日) 16:34:56端的に言うとε-δ論法。
0180１３２人目の素数さん
2006/11/05(日) 16:39:16lim(h→0){(2hx+h^2)/h} = lim(h→0){2x+h}:このときh=0ならば、不能。
lim(h→0){2x+h} = 2x：このときに、h=0という値を取れるとしたら、矛盾。
0181１３２人目の素数さん
2006/11/05(日) 16:41:16ε-δ論法は、必要なだけ小さい値とすることが出来る、
という意味ではないのか？
0182１３２人目の素数さん
2006/11/05(日) 16:43:01真面目に書いてます？
0183１３２人目の素数さん
2006/11/05(日) 16:55:25どこが不真面目に思える？
0184１３２人目の素数さん
2006/11/05(日) 17:00:39>lim(h→0){(2hx+h^2)/h} = lim(h→0){2x+h}:このときh=0ならば、不能。
h→0の極限では当然h≠0
>lim(h→0){2x+h} = 2x：このときに、h=0という値を取れるとしたら、矛盾。
意味不明。
0185１３２人目の素数さん
2006/11/05(日) 17:30:18では何故、
lim(h→0){2x+h} = 2x
といえるのか説明してくれ。
0186１３２人目の素数さん
2006/11/05(日) 17:41:39誰か指摘よろ。
Ｓ = 0.99 …とおく
0.1Ｓ = 0.099…
Ｓ－0.1Ｓ
= 0.9Ｓ
= 0.9-0.000…9
0.00…9の１が存在する桁目はスレタイのより無限。
∴ 0.00…9 = 0.9*0.1^n ( n → ∞ )
0.9Ｓ = 0.9 - 0.9*0.1^n ( n → ∞ )
Ｓ = 1 - 0.1^n ( n → ∞ )
0.1^n = 1 / 10^n → 0 ( n → ∞ )
∴ Ｓ = 1 = 0.99…
有限桁、つまり桁の終端が存在する時(つまり、n → ∞でない時。)に0.1^n≠0となりＳ≠１となる。
終わり。
0187１３２人目の素数さん
2006/11/05(日) 17:51:28lim(h→0){2x+h} = lim(h→0){2x} + lim(h→0){h} = 2x + 0 = 2x
前提として
①極限が加法に関して展開可能であること（ lim(f+g) = lim(f) + lim(g) ただしいずれも有限確定のとき）
②lim(h→0){h} = 0
を使用しているが、必要ならばいずれもε-δで証明できる。
省略しているだけで「無視できるから」では断じてない。
0188１３２人目の素数さん
2006/11/05(日) 17:55:23え？不能なの・・・
普通に＝2xじゃないんですか
0189１３２人目の素数さん
2006/11/05(日) 17:58:33「ゼロで割れない」っていいたんじゃないの？ｗ
0190１３２人目の素数さん
2006/11/05(日) 18:00:46｢#DIV/0!｣
0191１３２人目の素数さん
2006/11/05(日) 18:15:38っていうか
lim(h→0){(2hx+h^2)/h}
だけのことを言ってたのか
数学の先生曰く
「lim(h→0){(2hx+h^2)/h}とlim(h→0){2x+h}は『関数的に』違う」
だそうです
0192１３２人目の素数さん
2006/11/05(日) 18:19:04ゼロになる可能性があるなら約分もしちゃだめ。
ただしh→0の極限を考えているときには問題ない。
0193１３２人目の素数さん
2006/11/05(日) 19:07:360.000…9 って表記はおいといて、
> Ｓ－0.1Ｓ
> = 0.9Ｓ
> = 0.9-0.000…9
２行目から３行目はどうして出てくるの？
0194１３２人目の素数さん
2006/11/05(日) 19:31:19何度も言うようだが、ε-δは必要ならいくらでも小さい値が取れるという意味で、
ゼロとしていいという意味ではないだろう。
省略というが、証明できるならしてみてくれ。
0196１３２人目の素数さん
2006/11/05(日) 19:43:00と定義されている。
ってそんな前提もなしに話してるのかよ。
0197１３２人目の素数さん
2006/11/05(日) 19:51:45x＝aの近傍Vで定義された関数f(x)の、x→aにおける極限値がαであるとは、
∀ε＞0, ∃δ＞0 s,t x∈(a－δ, a＋δ)∩(V－{a}) → ｜f(x)－α｜＜ε
が成り立つときを言う。このときα＝lim[x→a]f(x)と表記する。この
定義から明らかなように、lim[x→a]f(x)が存在すれば、fの定義域Vを
新たなaの近傍V'に拡張しても制限しても、lim[x→a]f(x)の値は変わらない。
なお、集合Vがaの近傍であるとは、(a－t, a＋t)⊂Vを満たすt＞0が
存在するときを言う。
(lim[h→0]h＝0の証明)
VとしてRがとれる。任意のε＞0に対して、δ＝ε/2＞0とすれば、h∈(0－δ, 0＋δ)∩(R－{0})
ならば｜h－0｜＜ε が成り立つので、定義からlim[h→0]h＝0となる。
0199186
2006/11/05(日) 21:59:29文字式で計算したのが二行目
Ｓ－0.1Ｓ = 0.9Ｓ … 左辺
代入して計算したのが三行目です。
0.999… - 0.099… = 0.9 - 0.00…9
0200(0.00…9の記述法では有限少数値！)
2006/11/06(月) 06:08:56【これと同じ事？limで極論移行している？】
※小数点下以降の000…も記述する。
1.000…－0.999…
＝0.000… (本式中混同無い為以下=0.1^n且つn→∞)
⇔1.000…＝0.999…+0.1^n (n→∞)
で、n→∞ ⇔ 0.1^n→0 である。
∴ Ｓ = 1 = 0.99…
0201199
2006/11/06(月) 17:56:58だいたい、その通りです。
0202１３２人目の素数さん
2006/11/06(月) 23:12:141-0.999…=0.000…(1)=0になるらしいが
0.999…=0.9+0.09+0.009+…0.000…(9)となって最後が0になるのでは・・・
0203１３２人目の素数さん
2006/11/06(月) 23:18:210204１３２人目の素数さん
2006/11/06(月) 23:22:290205１３２人目の素数さん
2006/11/07(火) 00:33:050.999…=0.9+0.09+0.009+…0.000…となって最後が0になるのでは・・・
0206１３２人目の素数さん
2006/11/07(火) 08:52:22>>170みたいに並べて、の末に…と言う意味か？
0207１３２人目の素数さん
2006/11/07(火) 09:42:33てか最後ってなんだ
0208１３２人目の素数さん
2006/11/07(火) 19:24:510.9+0.09+0.009+…と続けていくと0.000…(=0)が出てきて0.999…にならないのでは？
0209１３２人目の素数さん
2006/11/07(火) 19:29:55> 0.9+0.09+0.009+…と続けていくと0.000…(=0)が出てきて
その場合の和の結果は何なの？
0210１３２人目の素数さん
2006/11/07(火) 21:49:04ｘ＜1でｘの最大値を求めると
解は0.999…
この解はｘ＜1という条件から1≠0.999…である
テンプレの>>4に対して
0.333…∞に3が続く＝0.333…∞に3が続く
である為には
（左辺の∞）＝（右辺の∞）
でなければならず計算不能
∴0.333…や0.111…なども計算不能であり証明不足
0211１３２人目の素数さん
2006/11/07(火) 21:56:22そんなものは存在しない。以上。
0212１３２人目の素数さん
2006/11/07(火) 22:22:09∞＝∞はOKなんでない？
確か
∞+1＝∞
∞+∞＝∞
は成り立ってたと思うし
∞＝∞ってのは聞いたことがないが上の式から成り立つだろ
0213１３２人目の素数さん
2006/11/08(水) 14:59:23>>101とその補足者>>110&>>131が別表現で既出。
>>212
不充分。
>>170の様に桁が揃っている事を前提にすれば正しくなる。
が、それも1＝0.999…⇒1/3＝0.333…、1≠0.999…⇒1/3≠0.333…
本スレでは両者の内、どちらがより正確なのかという事を議論する。
(明らかに>>110&>>131は1と0.999…を分別している為、後者を選んでいる。)
0214213補足
2006/11/08(水) 15:09:341/3＝0.333…、余り無限小≠0､333…
>>101数直線上だと隣り合う二点を、如何に処理すべきか。
0215１３２人目の素数さん
2006/11/08(水) 22:32:27桁が揃ってないとまずいの？
∞+1＝∞より
0.33＜0.333＜0.3333＜0.333…（∞-1個）3＝0.333…（∞個）3＝0.333…（∞+1個）3─────①
が成り立つとは言えないの？
①は3を増やしていると途中から不等号が変わるのではなく
0.333…（∞-1個）3は無限小数を数えきった値であり、その値に桁を増やすことは不可能
0.333…（∞-1個）3と0.333…∞3は既に同じ桁であり前提にする必要はない
0216１３２人目の素数さん
2006/11/08(水) 23:12:55なおかつ小数表記に優劣つけるなら、やっぱり如何なる数も無限小数表記にするのが
妥当では？10のベキ乗を分母（既約な分母として）として持つ数だけ有限小数表記を
持つのが当然、と考える方が失礼でしょう。もし、有理数まで実在の数と考えるのなら。
0217１３２人目の素数さん
2006/11/09(木) 02:33:500.333…∞個3…∞個0はどうなるんだ
仮に0.333…∞個3と等しいとすると
0.333…∞個3…∞個1とも等しくなっちゃいそうだが…
0219１３２人目の素数さん
2006/11/09(木) 08:02:42と定義すれば
f(1)=1 だが f(0.999...)=0 となる・・・
と思ったけどこれはただ単にfが写像として定義できないだけのことか？
0220１３２人目の素数さん
2006/11/09(木) 10:55:17CPU言語でintxになるな。
正実数に限れば只単に[x](ｶﾞｳｽ記号)になるのう。
0221１３２人目の素数さん
2006/11/09(木) 11:07:030222１３２人目の素数さん
2006/11/09(木) 11:48:56fは写像として定義できるが
Rからの写像ではなく
数字の列からの写像になる
ということでは
0223１３２人目の素数さん
2006/11/09(木) 12:14:00あなたの言う通り。
a=b⇒f(a)=f(b) が成り立てば well-defind.
1=0.999...を認めるならば写像が定義できてない、というだけの話。
0224１３２人目の素数さん
2006/11/09(木) 12:22:16だからさ
数字の列からの写像としては定義できるんだよ
実数からの写像としてはwell-definedにならないが
0225１３２人目の素数さん
2006/11/09(木) 13:29:10{数字の列}という集合を考えたら何が嬉しいのかは判らないが、
まあ、そうなんでしょう。
0226１３２人目の素数さん
2006/11/09(木) 13:41:56まあそう言われるとは思ったけど
数学的な事実は事実だから仕方ないよ
0227１３２人目の素数さん
2006/11/09(木) 13:51:15普通は数字の列の集合と対応させて
|N|<|R|を証明すると思うけど
0228１３２人目の素数さん
2006/11/09(木) 15:25:46ああ、そうか。
あれ、対角線論法って0.999...の扱いはどうしてたっけ。
0229１３２人目の素数さん
2006/11/09(木) 15:44:04どの数字列も無限に桁があることにするので
最後がn（≠0）で終わる有限小数については
****n0000・・・
****(n-1)9999・・・
のどちらかに揃えると思う
0230１３２人目の素数さん
2006/11/09(木) 18:07:16コンピュータにそのまま実行させるからそうなる。
無限桁をメモリーを持つコンピュータなら f(0.999...)=1 だろ。
そうならないのは、コンピュータが有限のメモリーと有限の実行時間をもっているせい。
通常… #define GOSA 1.0D-10 なんて定義して…
f(x) = int(x+GOSA)
ってやれば無問題だろ。当然、f(0.999...)=1 だな。
0231１３２人目の素数さん
2006/11/09(木) 18:59:03もしかして「誤差」？
君はひょっとして天才か？
0232１３２人目の素数さん
2006/11/09(木) 20:12:11fの定義は
f(x) ＝( x の 小 数 点 以 下 を 切 り 捨 て た 数 )
なので、メモリーが無限桁であろうがなかろうが、
f(0.999…)＝( 0.999…の小数点以下を切り捨てた数 )＝0
となる。一方で0.999…＝1だから、
f(1)＝( 1の小数点以下を切り捨てた数 )＝1
となる。よって、どのみちfはwell-definedでない。
0233１３２人目の素数さん
2006/11/09(木) 20:24:410234１３２人目の素数さん
2006/11/09(木) 20:37:08コンピュータが0.9999・・・を
1とは異なる数字の列と扱えば出力が違うし
実数として1と同じと扱えれば同じ出力になるんだよ
well-definedかどうかで考えるのは誤解の元
02351 ≠ 0.99…の世界に行ってきた。
2006/11/09(木) 21:25:27最初の商に０を立てると次の位には９が立ち、以下同じ数字が繰り返されるので
ｎ÷ｎ = 0.99…
また、最初の商に１を立てると
ｎ÷ｎ = 1
∴ ｎ÷ｎ = 1 = 0.99…
ここで定義より1≠0.999だが明らかに矛盾。
故に1≠0.99…ならばｎ÷ｎは存在しない。
0236１３２人目の素数さん
2006/11/09(木) 21:27:02そりゃまあ>>232は
f(x) ＝(xの小数点以下を切り捨てた数)
を
f(数字列x) ＝(数字列xの小数点以下を切り捨てた数)
と読んでるんだからある意味当然だわな。
xが実数のつもりならまず十進展開の仕方（形式的には
関数g : R→{数字列}）を決めねばならんし。
それでやっとお望みの
fg : R→{数字列}→Z
が定義できるんだからな。
0237１３２人目の素数さん
2006/11/10(金) 08:44:21やはり、0.999…は極限極論で1なのでは？
だか本スレは極論無しに議論を行う積もりの筈。
ここら辺の話(÷0話や∞哲学)で有名な足立恒雄曰わく、0.999…＝１？に対し、
『最後に｢0.0000…1｣の最後の｢1｣は何でしょうか？
無限の先に１があると言うつもりかもしれませんが、無限の先とは何でしょうか。こう問いただすと、質問自身にあまり意味がないことにがわかると思います。
数学では明確に定義されたことしか扱わないということを理解してください。』
(Newtonﾑｯｸ｢ゼロと無限の科学｣なんていう低俗だがﾍﾟﾝﾛｰｽﾞもｲﾝﾀﾋﾞｭｰしとる)
この話をつまり、極限極論も取っ払って行うと、ﾌﾟﾛさえも及ばない領域
(その前に、詳しい方は足立恒雄の頓痴気度診断宜しく)
と。
ﾃﾞｶﾙﾄの切断では、1と0.999…は別々になる事をお忘れなく。
0238１３２人目の素数さん
2006/11/10(金) 20:53:29て何？
0239１３２人目の素数さん
2006/11/10(金) 21:08:11デカルトの切断って…モノとココロの分離だっけ。そんなモン何か関係あるんか？
0240１３２人目の素数さん
2006/11/10(金) 21:28:590241１３２人目の素数さん
2006/11/10(金) 21:31:13検索のヒント
・・・
0242１３２人目の素数さん
2006/11/10(金) 21:34:220243１３２人目の素数さん
2006/11/10(金) 21:36:31マイナスイチだとマイナスいちにアプローチするからね
0244１３２人目の素数さん
2006/11/11(土) 01:09:120246１３２人目の素数さん
2006/11/11(土) 08:38:401＝0.999…になるような切り方しか認めないだろ
0247１３２人目の素数さん
2006/11/11(土) 09:29:450248１３２人目の素数さん
2006/11/11(土) 12:32:59非可算な整列集合とか。
0249１３２人目の素数さん
2006/11/12(日) 07:53:38どうかな、
確かに切断でも連続体仮説でも、1と0.999…は同一にしているけど、
分別しても、これらの議論では問題ないのでは？
より難解だろうけど。
第一、このｽﾚではその様に片付きはしないはず。
0250１３２人目の素数さん
2006/11/12(日) 08:03:11デデキントの切断では、同一に「している」のではなくて、同一に「なる」んだよ。
＞第一、このｽﾚではその様に片付きはしないはず。
バカは消えろ。デデキントの切断では、同一に「している」のではなくて、同一に「なる」わけよ。
0251１３２人目の素数さん
2006/11/12(日) 09:43:38相手も相手だが、文章に叩きを含めるのも如何なものか？
揃ってお立ち退き頂きたい。
0252１３２人目の素数さん
2006/11/12(日) 10:07:01の同一視（もしくは一方の排除）は
「している」のではなく「なる」ものなの？
0253１３２人目の素数さん
2006/11/12(日) 10:43:19数列 ０．９、０．９９、０．９９９、… の上限は１だから当然１に収束するな。
で、君の立場だと、収束しても同一視はしないってコトか？
0254>>251でも>>252でもないが
2006/11/12(日) 10:54:47>>108参照。
0255１３２人目の素数さん
2006/11/12(日) 11:14:25> ０．９、０．９９、０．９９９、… の上限は１だから
いや、それを切断の形式で書かないと意味が
ないという話だと思ったんだが・・・。
> 君の立場
別に俺何の立場も表明してないけど？
他の奴と間違えんでくれよ。
0256１３２人目の素数さん
2006/11/12(日) 11:49:32で？
>>255
デテキントの切断と上限に収束するってやつは同値なんだからさー。
片方だけで考える必要あるんか？
0257１３２人目の素数さん
2006/11/12(日) 12:06:16それ全然>>252に答えられてないよ。
ていうか252きちんと読んだ？
デデキントの切断はまず252の2種類の集合を
どちらか一方に絞ってることは知ってるでしょ？
そうやって絞るからこそ君の言う同値が証明できる
わけなので、その同値を持ち出しても252に
答えてることにはならんべ。
0258１３２人目の素数さん
2006/11/12(日) 12:34:410259１３２人目の素数さん
2006/11/12(日) 16:04:34もしかして、
{[0, 1), [1, 2]} が 0.999・・・で
{[0, 1), [1, 2]} が 1に対応してると考えてるの？
0260１３２人目の素数さん
2006/11/12(日) 16:06:42{[0, 1), [1, 2]} が 0.999・・・で
{[0, 1], (1, 2]} が 1に対応してると考えてるの？
0261252
2006/11/12(日) 16:15:37（俺は>>246だし）
>>237が言いたかったことを好意的に解釈しようとすると
そんなことを考えていたんじゃないかなあと
0262平家蟹 ◆CoWlhnNErE
2006/11/12(日) 20:21:50明らかに違うと思うんだが。
0263１３２人目の素数さん
2006/11/12(日) 20:24:08水の中の物体は、それがおしのけた水の重量だけ軽くなる
どこで使うんだよｗｗｗｗｗ
0264１３２人目の素数さん
2006/11/12(日) 20:56:44釣れますか？
0265１３２人目の素数さん
2006/11/13(月) 00:42:48ﾜﾛｽ
0267１３２人目の素数さん
2006/11/13(月) 08:01:360268平家蟹の舎弟
2006/11/13(月) 20:22:100269平家蟹 ◆CoWlhnNErE
2006/11/13(月) 20:24:420270１３２人目の素数さん
2006/11/13(月) 20:57:40超準解析作ったヤツもこのスレみたいに、数学者から煽られて奮発して作ったに違いないｗ
でも…おいそれとはできんよな…コレ。
0271平家蟹 ◆CoWlhnNErE
2006/11/13(月) 21:14:440272１３２人目の素数さん
2006/11/13(月) 22:02:140273１３２人目の素数さん
2006/11/14(火) 10:56:21簡単に言うと、無限小が実在する世界での微積分、
及び、それと一般的な実数の世界の問題とを互いに翻訳する方法。
0274１３２人目の素数さん
2006/11/14(火) 19:15:200275平家蟹 ◆CoWlhnNErE
2006/11/14(火) 21:48:320276平家蟹 ◆qZKkuPC36I
2006/11/14(火) 22:15:45０に右から近付くのと
左から近付くのとだと値違うけどいいの？
0277１３２人目の素数さん
2006/11/15(水) 00:18:39泥臭いのもまた数学なのさ。
>>276
だから？
0278１３２人目の素数さん
2006/11/15(水) 05:04:170279１３２人目の素数さん
2006/11/15(水) 05:51:29なにそれ？
0280１３２人目の素数さん
2006/11/15(水) 06:34:16http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4760126465
実数と無限大・無限小でできている。平たく言うと、左が右以上にならない数のペア（実際には空でも良い）から作られる。
0281１３２人目の素数さん
2006/11/15(水) 21:51:300282平家蟹 ◆CoWlhnNErE
2006/11/15(水) 21:55:530.9dot=1=1.0dot
（ニュアンス的にこう書くとすると）
f(0.9d)=-∞
f(1) 定義なし
f(1.0d)=+∞
となるから、0.9dot=1っていかにも違うよなきがするんだが、数学的だとなんら問題ないの？
0283１３２人目の素数さん
2006/11/15(水) 22:01:050284平家蟹 ◆CoWlhnNErE
2006/11/15(水) 22:09:08しかしひねくれ者だから、いちゃもんつけると、
二進法とかあるわけだから、十一進法にして
０、１、２、３、４、５、６、７、８、９、うんことすると、
0.9dot<0.うんこdot<1とかはなんねのかな？
同相とかで問題なし？
0285１３２人目の素数さん
2006/11/15(水) 22:22:16十一進法なら 0.999… < 1 だよ。
で、何が言いたいの？
0286平家蟹 ◆CoWlhnNErE
2006/11/15(水) 22:35:200287平家蟹 ◆CoWlhnNErE
2006/11/17(金) 18:57:270288１３２人目の素数さん
2006/11/19(日) 18:23:11やっぱり定義次第なんだ。
>>286-287
16進法
0123456789ABCDEF
この時、10進法の0.9dotに相当するのは0.Fdot、つまりそれは全く違う数。
1＝0.9dot⇒0.9dotは有利数
1≠0.9dot⇒0.9dotは無理数
0289１３２人目の素数さん
2006/11/19(日) 18:38:330291１３２人目の素数さん
2006/11/19(日) 20:07:14循環小数は有理数
無限小数は無理数
0292平家蟹 ◆CoWlhnNErE
2006/11/19(日) 20:44:060293１３２人目の素数さん
2006/11/19(日) 20:46:04を「釈然としない感じ」という人もいるやも知れないですね。
0294１３２人目の素数さん
2006/11/19(日) 20:54:05実数論の勉強して来い。その方が早い。
0295平家蟹 ◆CoWlhnNErE
2006/11/19(日) 21:21:060296１３２人目の素数さん
2006/11/19(日) 23:17:490297１３２人目の素数さん
2006/11/19(日) 23:19:30「実数論」でググれ。
0298１３２人目の素数さん
2006/11/20(月) 12:45:38限りなく１に近づく事は分かるが、１より小さい事は明らかである。
１＝０．９９９９・・・はおかしいと思う。
0299１３２人目の素数さん
2006/11/20(月) 13:11:31＞＞１より小さい事は明らかである。
なんで明らかなの？
0300１３２人目の素数さん
2006/11/20(月) 17:43:24違う
整数は有理数
有限小数は有理数
循環する無限小数（循環小数）は有理数
循環しない無限小数は無理数
0301１３２人目の素数さん
2006/11/20(月) 17:49:54S = lim[n→∞] S(n)
は、
どんな正数 ε に対しても、ある自然数 n_0(ε) が存在して、
n ≧ n_0(ε) ⇒ | S - S(n) | < ε
を満たすようなSとして定義されます。
0.9999… の定義は色々あるでしょうけれど、最も単純なものは、
数列 S(n) = 1 - (0.1)^n の極限
0.9999… = lim[n→∞] S(n)
であり、上の極限の定義から
0.9999… = 1
となります。
0302１３２人目の素数さん
2006/11/20(月) 20:15:37もうね0.999...を動いているイメージでしか捉えられなくて、「近づく」とか言う人は仕方ないと思うのよ。
「近づくその行き先のことなんだよ」って何回か言ってわからなければそれ以上はムダ
しかしそういう人は 1/3 = 0.3333... には疑問を抱かないのだろうか、とは思う。
0.333...だって「そういう人」から見れば「限りなく1/3に近づくけど1/3より明らかに小さい」
と思うんだが。
0303平家蟹 ◆CoWlhnNErE
2006/11/20(月) 22:09:030304１３２人目の素数さん
2006/11/20(月) 22:43:440305１３２人目の素数さん
2006/11/20(月) 22:44:15点列の極限が、点列の入っている集合を飛び出すのはよくあること。
0306１３２人目の素数さん
2006/11/20(月) 22:51:240307１３２人目の素数さん
2006/11/20(月) 22:56:38an in ( 0, 1 ) for any n だが、
lim[n→∞]an not in ( 0, 1 )
0308平家蟹 ◆CoWlhnNErE
2006/11/20(月) 23:57:46SUP［０、１］＝１
SUP（０、１）＝１
MAX（０、１）＝？
定義されないのですか？
超準解析だと（１－無限小）みたいなのが定義されるんでしょうか？
なんか質問はかりですみません。
0309１３２人目の素数さん
2006/11/21(火) 00:18:41その調子だと、>>278-281を否定するわけだ。
やはり定義次第なんと違うのか？
0310１３２人目の素数さん
2006/11/21(火) 00:26:51実数論の勉強して来い。
0311１３２人目の素数さん
2006/11/21(火) 17:48:48lim[N→1]Ｎ
で良いんだよね
この問題の答えは１になる・・・はず
Ｎが限りなく１に近づく（0.999…）ときの極限は１
ってな感じ？
0.999…の極限は1
を
0.999…=1
に
するのは・・・変？
0312１３２人目の素数さん
2006/11/21(火) 18:10:24極限は数列とか関数なんかに使う言葉であり、実数に対しては使わない。
○ an＝1/nの極限は～～～
× 2006の極限は～～～
0.999…もまた実数だから、「0.999…の極限」とは言わない。
0313１３２人目の素数さん
2006/11/21(火) 19:41:25関数f(x)において、xがaと異なる値をとりながら限りなくaに近づくとき、
f(x)が一定の値aに限りなく近づくならば
x→aのとき f(x)→a または lim[x→a]f(x)
と書き、aをxがaに近づくときのf(x)の極限値という
ほんとだ実数じゃない・・・関数か
じゃあどう書けば良いんだ
0314１３２人目の素数さん
2006/11/21(火) 20:28:020315１３２人目の素数さん
2006/11/21(火) 20:50:011≠0.999…が有意義に定義できるんじゃ、
そっちの方が深度は上じゃなかろうか？
深みにどっぷりな気もするけど。
0316１３２人目の素数さん
2006/11/21(火) 23:02:410317１３２人目の素数さん
2006/11/21(火) 23:05:45重箱のスミだが、xもf(x)も同じaに近付かなくてもいいんだぞ
0318１３２人目の素数さん
2006/11/21(火) 23:15:400319１３２人目の素数さん
2006/11/22(水) 13:42:48ε-δ論法知らんのか？
0320１３２人目の素数さん
2006/11/22(水) 14:53:500321平家蟹 ◆CoWlhnNErE
2006/11/22(水) 18:09:010322１３２人目の素数さん
2006/11/22(水) 20:44:37つーかオマエはまず実数論の勉強してこい。
0323平家蟹 ◆CoWlhnNErE
2006/11/22(水) 22:10:17S（n)＝1－(0.1)^nとするとだよ、
S(1)=0.9
俺、現在形
S(n)=0.9…9(9がn個)
俺達、ただいま現在進行形
0.9dot=1
俺は過去形
っーことだろ。
しかしさー、
0.999………は、
俺、現在進行完了形、
みたいじゃない？
0324１３２人目の素数さん
2006/11/22(水) 23:07:30実数をデデキントの切断で構成してくれ。あるいは、有理コーシー列を使う方でもいい。
少なくともこれが出来ないと、実数論を勉強したとは言わない。
0325平家蟹 ◆CoWlhnNErE
2006/11/23(木) 07:32:03よかったら誰か説明してくださいなm(__)m
0326１３２人目の素数さん
2006/11/23(木) 18:57:100327平家蟹 ◆CoWlhnNErE
2006/11/23(木) 20:00:40まあ、いいや、しゃしゃりこんでごめんなさい。
0328１３２人目の素数さん
2006/11/23(木) 21:38:22要するにさー。実数ってのは「連続している」ってイメージあるよね。ところが、「連続している」
なんてのを数学的にイエスかノーかはっきりできる論理の形で表さないと、数学的にはマズイ
わけだ。下手すると、延々とアカデミックの場でここでの論議みたいなのが拡大されて収拾つ
かなくなってしまう。
で、世界で初めて明確なイエス・ノーの論理の形で「連続している」ってイメージを表したのが
デテキントさん。で、使っているのが「デテキントの切断」なわけだ。その後で、コーシーさんとか
色々な人が別の表現を試みたけど、後々でそれらが「結局、皆同じ」ってことが証明されるわけ
だな。
実数が「連続している」ってイメージを認めるなら、結局どこかでこれらを認めて話を進めない
といけない…ってのが解析学の初歩。
デテキントの切断なんていやだーってんで超準解析なんてのを作った人もいるけど、これは
無茶難しい。
0329１３２人目の素数さん
2006/11/23(木) 21:54:270330１３２人目の素数さん
2006/11/23(木) 22:07:35定義次第って話は纏まった筈では？
1≠0.9dotとする事に因る不便さが付き纏って随分と細かく複雑な注意事項が出てきそうだが。
0331１３２人目の素数さん
2006/11/23(木) 22:21:13> で、世界で初めて明確なイエス・ノーの論理の形で「連続している」ってイメージを表したのが
> デテキントさん。で、使っているのが「デテキントの切断」なわけだ。その後で、コーシーさんとか
> 色々な人が別の表現を試みたけど、後々でそれらが
その「その後で、」の位置を工夫しないと
まるでコーシーがデデキント切断の後みたいじゃないか
0332!^r
2006/11/25(土) 03:43:390333平家蟹 ◆CoWlhnNErE
2006/11/28(火) 21:14:49こーこーせー、疑問をぶつけるのだ！
0334１３２人目の素数さん
2006/11/29(水) 02:11:59>>333
１＝0.9dotでも１≠0.9dotでも良い事が
>>278-281によって示されている。
0335１３２人目の素数さん
2006/11/29(水) 23:00:040336１３２人目の素数さん
2006/11/30(木) 01:35:42＝
変わった実数やアレンジされた超実数（超現実数等も含む）
≠
0337１３２人目の素数さん
2006/11/30(木) 04:03:26>>335-336
すっかり忘れ。謝。
というわけで取り敢えずＱ＆Ａ７(>>5)に>>278-281を添える。
0338１３２人目の素数さん
2006/11/30(木) 15:15:490340１３２人目の素数さん
2006/12/02(土) 18:27:48その循環小数の整数部分に１を足した値(0.999…なら0に1を足して1、10.999…なら10に1を足して11）と等しい
＜証明＞
実数の定義より、循環小数は有理数であることから、四則演算が適用できる。
あとはＱ７の⑦とか使う
＜証明終わり＞
とかじゃ駄目なのか
0341１３２人目の素数さん
2006/12/03(日) 00:48:54つうか、1=0.999…と同値な問題だろ
0342平家蟹 ◆CoWlhnNErE
2006/12/03(日) 10:31:110343源氏蛍 ◆EGfEOrbUDA
2006/12/03(日) 23:13:400344１３２人目の素数さん
2006/12/04(月) 00:04:500345１３２人目の素数さん
2006/12/04(月) 00:07:360346１３２人目の素数さん
2006/12/05(火) 20:24:100347１３２人目の素数さん
2006/12/08(金) 22:45:25不完全性定理が関係有るヤツなの？
0348１３２人目の素数さん
2006/12/09(土) 02:23:00どっちか一方が絶対、じゃないっ事じゃねっすか
0349１３２人目の素数さん
2006/12/09(土) 17:26:370350１３２人目の素数さん
2006/12/09(土) 18:22:500.999……≠1が証明されないことは証明できないはず。
なぜならばＱではＮが定義できるので、自然数論を含む体系になるから。
もし0.999……≠1が証明されればＱが矛盾していることになり、
エライことになってしまう。
ということをＱ４は言っているのでは？
0351１３２人目の素数さん
2006/12/09(土) 18:25:55もし0.999……≠1が証明されないことが証明されれば
無矛盾であることが証明できたことになり、Ｑが矛盾している
ことになり、エライことになる。
だな。
0352１３２人目の素数さん
2006/12/09(土) 19:35:300353１３２人目の素数さん
2006/12/10(日) 02:04:21別個の公理系。
0354１３２人目の素数さん
2006/12/10(日) 04:04:05という人もいる。それは厳密には無理と言うことで書いてあるのだと思う。
0355１３２人目の素数さん
2006/12/10(日) 04:18:20合、其処等辺の解説に不完全性定理的回答也、と云う事で御座る。
0356１３２人目の素数さん
2006/12/10(日) 11:42:20㌧でもも超準解析も入り込む余地はないんじゃね。
0357１３２人目の素数さん
2006/12/10(日) 11:55:05というか、通常でない解釈として採用した方が（しても？）いい
ものが具体的にあがっていないからじゃないのかな？
コンウェイの超現実数はたしかに採用されても良いと思うけど。
0358１３２人目の素数さん
2006/12/10(日) 23:23:21↑
これってどーなの？
0359１３２人目の素数さん
2006/12/10(日) 23:35:19これほど読む気が失せる前文も珍しいな。
0360１３２人目の素数さん
2006/12/12(火) 12:34:30いやいやｗ
実数の定義だからね循環小数が有理数ってのは・・・・・
0361１３２人目の素数さん
2006/12/12(火) 13:04:50・例えば0.333…＝1/3－無限小 であり、1/3には一致せず、有理数でない。
0362１３２人目の素数さん
2006/12/12(火) 16:18:100.99も、もちろん有理数
0.999も、もちろん有理数
0.999…は循環小数なので有理数
1は、もちろん有理数
0.999…を考えるときには有理数しか出てこない
だからそんなに難しく考えなくても良いのでは
0363小が臭え
2006/12/12(火) 21:23:33でも普通は有理数じゃんね。
0364.
2006/12/13(水) 19:58:15洋一石
一石 って ein steinつまりアインシュタインのもじりのつもり？
0365１３２人目の素数さん
2006/12/14(木) 05:24:300366１３２人目の素数さん
2006/12/14(木) 19:55:100367KingOfUniverse ◆667la1PjK2
2006/12/14(木) 20:52:090368１３２人目の素数さん
2006/12/15(金) 05:20:32問題は、1≠0.999なる公理系(例えば、>>278-281)。
儂ゃ知らんがな(´･ω･｀)
0369１３２人目の素数さん
2006/12/15(金) 21:59:57初項a_0=0、一般項a_n=a_(n-1)/10+0.9の数列を考える。
この数列の無限番目は１と等しくなると仮定する。
次に、上と順序が逆の数列を考える。
初項a_0=1、一般項a_n=a_(n-1)*10-9。
しかし、この数列の項は、すべて１である。
よって最初の数列の無限番目は１に等しいとは言えない。
0370１３２人目の素数さん
2006/12/15(金) 23:28:35背理法を使っているつもりなのだろうが、一体どこが矛盾してるのか分からん。
0371１３２人目の素数さん
2006/12/15(金) 23:53:300372１３２人目の素数さん
2006/12/16(土) 01:56:200373１３２人目の素数さん
2006/12/16(土) 02:18:22どうにかしてくれ
0374369
2006/12/16(土) 07:55:45これで仮定は矛盾しないと思う。
0375１３２人目の素数さん
2006/12/16(土) 08:44:07「無限番目」を「lim(n→∞)a_n」に変えて議論すると、こうなる。
初項a_0=0、一般項a_n=a_(n-1)/10+0.9の数列を考える。
lim(n→∞)a_n＝1だと仮定する。
次に、上と順序が逆の数列を考える。
初項b_0=1、一般項b_n=b_(n-1)*10-9。
さて、この数列{b_n}は、本当に数列{a_n}と「順序が逆」なのだろうか？
そもそも、「順序が逆の数列」とは何なのか？岩波の分厚い数学辞典を
見ても、「順序が逆の数列」なるものは載っていない。従って、>>374に
質問しなければならない。
質問：「順序が逆の数列」の定義は？
0376375
2006/12/16(土) 08:51:22これも追加で質問。
質問：次の3つの数列に対して、「順序が逆の数列」を教えてくれ。
x_n＝2^n
y_n＝1/n
z_n＝cos(n)
0377369
2006/12/16(土) 10:49:52>質問：「順序が逆の数列」の定義は？
a_n=f(a_(n-1))のとき、漸化式の逆関数をf^(-1)とすると、
a_n=f(^-1)(a_(n-1))な数列のこと。これは逆数列というのかな？
このとき初項が問題になるけど、a_∞=lim(n→∞)a_n（つまり0.99…=1）ならば
初項は１にすべきだと思う。
わたしは、初項を１にすると「順序が逆」の数列はlim(n→∞)a_n=0になりえない
ことだけを示せれば十分かなぁと思った。
でも、これを書いている途中で、たとえ初項を0.99…にしたとしても順序が逆の数列は
できない気がしてきたので、>>369はちょっと撤回させてもらいます。
0378１３２人目の素数さん
2006/12/16(土) 17:40:25しかもそのキモが俺理論ときたｗ
0379１３２人目の素数さん
2006/12/16(土) 17:47:46>ことだけを示せれば十分かなぁと思った。
「十分かなあと思った」・・・・・
全然十分ではありません。以上。
0380１３２人目の素数さん
2006/12/17(日) 11:54:260381１３２人目の素数さん
2006/12/23(土) 09:55:18じゃあそのネタで
[1＝0.999…の話]or[1≠0.999…の話]でも
してくれ～ぃ。
0382１３２人目の素数さん
2006/12/23(土) 10:21:120.99=1という系があることも認める事か？
0383１３２人目の素数さん
2006/12/25(月) 06:42:330384１３２人目の素数さん
2006/12/25(月) 15:16:24どこにそんなおかしな記述がある？
0385１３２人目の素数さん
2006/12/26(火) 02:17:44普段私達が日常生活や数学の問題を解く中で使用する０なんですが
０そのもの、1から０へ近づけた０、-1から０へ近づけた０
以上、３種類存在すると思うのですが、これも前提条件を元に考えられた概念なのでしょうか？
将来覆される可能性があるのでしょうか？
0386１３２人目の素数さん
2006/12/26(火) 03:12:12φ|空集合と→+0成る数と→ｰ0成る数か。
極限概念…とだけで答えを済ませてはもらえないだろうな。
0387１３２人目の素数さん
2006/12/26(火) 05:02:33極限の本質を理解していないな。（ある面ネタではあるけど。）
0.9が充分１に近い数値であれば、0.99は１である。
自然数ｎが無限大という値を取らない限り、
級数が極値を取る事はあり得ない。
0388１３２人目の素数さん
2006/12/26(火) 07:40:53x = lim[n→∞]{ (-0.5)^n } とする。
xはゼロなわけだが、君のいう3種類のうちどれになるの？
0389１３２人目の素数さん
2006/12/26(火) 07:46:14たった4行で突っ込み所多すぎｗ
0390素人
2006/12/26(火) 10:13:42のレベルだと思います。
どなたか、数学以外の分野からの感想を聞きたいです。
どなたかいらっしゃいますか？
0391１３２人目の素数さん
2006/12/26(火) 10:45:20そう思うのはオマエが素人だから。
0393１３２人目の素数さん
2006/12/26(火) 10:50:00そう思うのはオマエが素人だから。
0394素人
2006/12/26(火) 11:54:20そう言えるのはあなたが素人だからだと思います。
…で、詳細を数学以外の分野から説明できる人いますか？
0395１３２人目の素数さん
2006/12/26(火) 12:10:36＞そう言えるのはあなたが素人だからだと思います。
自分で「ド素人」だと宣言しておきながら、そのことを実際に指摘されるとこのザマ。
実はこれっぽっちも、自分が「ド素人」だとは思っていないのである。しかし、現実は
やはりド素人。何も知識が無いから、考えても答えが出ない。そんなド素人が最後に
行き着くのは、「仏」「神」という最も安易な結論。典型的な 思 考 停 止 。ド素人が
犯しやすい事例の1つである。
＞…で、詳細を数学以外の分野から説明できる人いますか？
何の分野がいいの？哲学の分野か？(笑)
0396１３２人目の素数さん
2006/12/26(火) 12:14:56次世代の数学が必要
１０個の数字で全てを表すのが傲慢
0398１３２人目の素数さん
2006/12/26(火) 12:32:25オマエのような、自分の分からないことは全て「神・仏のレベル」として
思考停止する人間ばかりだったら、数学は今のように進歩していない。
＞そう言えるのもあなたが素人だからです。
オマエは俺を素人呼ばわりしているが、では、俺は”何の分野の”素人なのか？
ちなみに、オマエは”数学の分野の”素人。自分でそう言ってるしな。
>>396
具体的な欠陥はどこだ？
0399素人
2006/12/26(火) 12:46:24進歩しているのにもかかわらず、いまだに1=0.999
で討論できる数学はどこか間抜けでかわいいように見えます。
僕はあなたのことをけんか腰でしか物事を話せない討論の素人のように見えます。
ついでに僕は人生すべてに対して素人です。
11進法、もしくは36進法などではこの問題は起こりえるのでしょうか？
0400１３２人目の素数さん
2006/12/26(火) 13:07:270401１３２人目の素数さん
2006/12/26(火) 13:13:38＞進歩しているのにもかかわらず、いまだに1=0.999
＞で討論できる数学はどこか間抜けでかわいいように見えます。
違うな。数学的には、0.999…の問題は既に決着がついている。この
スレでも、討論は既に終わっていて、テンプレにまとめてある。
テンプレが理解できない無知な人間だけが、「まだだ！まだ問題は
終わっていないのだ！」と討論を続けている。
＞僕はあなたのことをけんか腰でしか物事を話せない討論の素人のように見えます。
素人だと宣言しておきながら、「神」だの「仏」だの「常に答えはパラドックスの箱」
だの勝手な解釈を繰り返している(典型的なトンデモ)のを見るとイライラするのだよ。
なぜ、すぐにそういう「俺理論」に走るのか？
＞11進法、もしくは36進法などではこの問題は起こりえるのでしょうか？
2進法の場合、0.111…＝1になる。
5進法の場合、0.444…＝1になる。
10進法の場合、0.999…＝1になる。
11進法の場合、0.aaa…＝1になる(数字は0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,aの11個)。
何進法でも同様。
0402素人
2006/12/26(火) 13:29:29で、答えは何なのですか？
結局、見方によるってことですよね。勝手な解釈が出回る原因は、
答えがしっかりしてないからだと思うのです。
僕はあなたに対して起こってもないし、批判もしてませんよ。
素人であるということはすばらしいことだと思います。
僕はあなたのことをまったく知りません、あなたは私のことをどれだけ知っているのか
疑問です。
11進法の0.aaa になってしまうのは、10進法から見る11進法だからではないのでしょうか？
0403素人
2006/12/26(火) 13:32:08では数学的には1+1＝2ではないということですか？
0404１３２人目の素数さん
2006/12/26(火) 13:49:18テンプレ2より。
Ａ１： 「前提条件」によって「１＝０．９９９９…」となったり「１≠０．９９９９…」になったりする。
しかし、通常はそのような前提条件を採用することのメリットや、過去の経緯を考えると
「１＝０．９９９９…」であるとした方が妥当である。
＞結局、見方によるってことですよね。勝手な解釈が出回る原因は、
＞答えがしっかりしてないからだと思うのです。
これが素人であるオマエの悪い癖。「俺理論」ってやつよ。トンデモの典型例。
前提によって、与えられた記号が持つ意味が変わるのは当然のことであり、
これを以って「答えがしっかりしていない」と結論することは出来ない。
＞素人であるということはすばらしいことだと思います。
全然素晴らしくない。なぜなら、素人は 間 違 っ た 方 向 に 行 く か ら 。
そして、それを修正する術を知らないから。たとえば、
＞11進法の0.aaa になってしまうのは、10進法から見る11進法だからではないのでしょうか？
こういうトンチンカンな発言を繰り返し(↑n進法の定義を知らない証拠)、挙句の果てには、
「答えがしっかりしてないからだと思うのです」などと勝手な「俺理論」を展開して間違いを
繰り返す。これのどこが素晴らしいのか？いい加減にしろクズ。
ちなみに、数学において「n進法から見るm進法」などという概念は存在しない。従って、
「10進法から見る11進法」などという考え方もまた存在しない。オマエが勝手に構築した
「俺理論」に過ぎない。
質問：「n進法から見るm進法」の定義は？
0405素人
2006/12/26(火) 14:05:15その質問は僕には答えられません、すみません。
でも、何回回答を見てもすっきりしません。
最初に与えられる定義により答えが変わるというのが答えですか？
あ、あと、
11進法に、－1は入らないのですか？
0406１３２人目の素数さん
2006/12/26(火) 14:10:33そもそも、君をすっきりさせる必要性が数学側にあるのか？
0407１３２人目の素数さん
2006/12/26(火) 14:19:10「こーゆー時にはこれ、こんな時には結論はこれ、こうだったら結論はこう」
みたいな事しかいえないんだけど…。
すべてにおいてすっきりさせたい…なんて人は、自信ありげに何やら自説を述べる
新興宗教にはまってしまう危険性があるんじゃないのか？
0408１３２人目の素数さん
2006/12/26(火) 14:24:24＞最初に与えられる定義により答えが変わるというのが答えですか？
そういうこと。そして、そんなのは高校時代から皆経験していること。
たとえば、問題集にある二次関数の問題を解くときに、「f(x)＝x^2＋2xとおく」と
定義すれば、その問題を解いている間は、「 f(x) 」という記号列はx^2＋2xを表す
記号となる。三角関数の問題を解くときに、「f(x)＝sinx+xcosx とおく」と定義
すれば、その問題を解いている間は、「 f(x) 」という記号列はsinx+xcosxを表す
記号となる。両方とも「 f(x) 」という同一の記号を使っていながら、その意味が
全然違う。しかし、だからといって「f(x)に2つの意味がある…これはおかしい。
答えがしっかりしていない。」などと考えるバカはいない。
＞11進法に、－1は入らないのですか？
桁を表す記号に「－1」を入れることは無いが、負の数としての「－1」なら当然ある。
0409素人
2006/12/26(火) 14:28:25もし数学側に人間をすっきりさせる必要性がないとした場合、
数学は一人歩きをし、数学教とされてしまう恐れがあるのではないでしょうか？
数学は、なるたけ、万人に解るようにに考えられているものだと思います。
では、答えは、1=0.999に場合によりなりうるということですね。
0410１３２人目の素数さん
2006/12/26(火) 14:32:30そう、場合により、1＝0.999になりうる。が、その場合、どのような定義で以って1＝0.999たらしめた
のか、その定義を明示しなければならない。
0411１３２人目の素数さん
2006/12/26(火) 17:58:39今は、おもいつかなく、とも、将来、全てのつじつまが、あう
学問が、誕生するだろう
0412１３２人目の素数さん
2006/12/26(火) 18:34:31適当に答えてやる
数学だと例えば'1'という文字をいろんな意味で使うんだ
文字を増やすのは面倒くさいだろ？
だから定義次第ってことになっちまうのさ
0413412
2006/12/26(火) 18:44:570414１３２人目の素数さん
2006/12/26(火) 18:45:521=0.999…
ってのは定義に近い定理
超実数においては
その定義の部分をもう少し考察する事が可能になる為
1≠0.999…
となる
0415１３２人目の素数さん
2006/12/26(火) 19:27:17そのような学問が存在することは夢に過ぎない。
0416１３２人目の素数さん
2006/12/26(火) 20:18:220417１３２人目の素数さん
2006/12/26(火) 21:03:54天候さながらだな。
0418１３２人目の素数さん
2006/12/26(火) 22:11:13突っ込んでくれと思って書込んだので、突っ込んでくれないかな。
0419１３２人目の素数さん
2006/12/26(火) 23:09:23「パラドックスの箱」っておいｗ
誰かここに突っ込んでやれよ。
0420１３２人目の素数さん
2006/12/26(火) 23:14:40なんだそりゃ。
「無限大という値」「級数が極値を取る」
もう無茶苦茶。
まず新しい辞書を出すところから初めてくれ。
0421１３２人目の素数さん
2006/12/26(火) 23:18:01「私はド素人なので」 => 私には理解する能力がなく、努力する気も全く足りないので
「数学以外の分野からの感想を聞きたいです」 => バカな私にもわかる例え話をして下さい
0422１３２人目の素数さん
2006/12/26(火) 23:28:33自分に理解できないと「次世代の数学」とか言い出す奴ｗ
>１０個の数字で全てを表すのが傲慢
「10種類の記号」で「とても多くの数字」を表せるようにした先人は偉大だな。
実数（連続体濃度）は有限個記号の組み合わせでは表しきれないことを数学者は知っているが
限界は限界として受け入れるわけだ。なんせ傲慢だからｗ
0423１３２人目の素数さん
2006/12/26(火) 23:32:20>数学は一人歩きをし、数学教とされてしまう恐れがあるのではないでしょうか？
>数学は、なるたけ、万人に解るようにに考えられているものだと思います。
自分の理解力不足とは考えないのかこの電波はｗ
君をすっきりさせられないからといって数学がダメポなわけでは断じてない。
0424１３２人目の素数さん
2006/12/26(火) 23:38:33大丈夫。数学は万人にその正当性を検証しうるように作られてるから。
0425１３２人目の素数さん
2006/12/27(水) 08:44:30もう泣き入り(by>>384)
てか、今、このスレに何が起きているのか!?
なぜに神仏領域に委ねる香具師が…
そんなに神仏に委ねたきゃあ、｢0で割る｣事でも妄想して下さい！
＞数学自体が欠陥品
…不完全性定理の事を言うのであれば、
この定理は数学だけに限った事ではない。
更に言ってしまえば、俺っち的には道理だとおもうんだが、果たして?!
0426１３２人目の素数さん
2006/12/27(水) 08:54:10だが未だにｺﾝｳｪｲ流確かめとらん
つか学力足りん
(´･ω･｀) }を添える。
0427１３２人目の素数さん
2006/12/27(水) 15:51:330.9999……っていうのはa_n=1-(1/10)^n
1っていうのは
b_n=1
っていうコーシー列だと思えばいい
その時a_nとb_nはequivalenceだろ
equivalenceの定義は自分で調べてくれ
これで全て解決
超実数においては(※)を採用してないだけ
つまり定義の違い
0429１３２人目の素数さん
2006/12/27(水) 18:00:581…とか3…とか
0430１３２人目の素数さん
2006/12/29(金) 07:48:53大きな勘違いをしてないか？
0431428
2006/12/29(金) 09:50:02超現実数として考えても
1＝0.999…なる公理系と1≠0.999…なる公理系とが別々にあるんでしたよね。
ところで、次の様な疑問的妄想が沸いたんだが、とうなんでしょか？
｢1≠0.999…なる公理系は、1＝0.999…なる公理系をより区別した系である
～などと考える事でまとめてしまう事(言い変えると、1≠0.999…系の方が精密)
は出来る(と言える)か？｣
0432１３２人目の素数さん
2006/12/29(金) 11:49:12「綿密」の定義を書いてくれｗ
0433１３２人目の素数さん
2006/12/29(金) 15:32:45もうこんなバカしか数学板には来なくなったんだね
キングだけが頼りとは……
0434１３２人目の素数さん
2006/12/29(金) 15:42:280435１３２人目の素数さん
2006/12/29(金) 16:41:520436１３２人目の素数さん
2006/12/29(金) 18:59:13煽るだけではなく、考えを書いてくれ
0437KingOfUniverse ◆667la1PjK2
2006/12/29(金) 21:19:58talk:>>435 0.999…とは何か、という問題がある。証明以前のことだ。
0438１３２人目の素数さん
2006/12/31(日) 15:28:09それはそういうもんだと納得していて、≠派はそこにはなにかあるというか、今の
実数は何かの近似じゃないかと感じているということでしょうか？
例えば、同値類の考え方と連続の概念の組み合わせが問題だとか。
0439１３２人目の素数さん
2006/12/31(日) 15:50:56そういう事
今は＝で辻褄が合うが、＝に未来は無い
0440１３２人目の素数さん
2006/12/31(日) 22:28:29その性質を説明しきれなくなっているということだろう。
0442１３２人目の素数さん
2007/01/01(月) 03:50:37問題なのは無限の概念ですよね？ そいで、無限というのは、予
めあるものなんでしょうか？ そこが極めて疑問です。その辺は
どうお考えですか？ 予めあると思う人は、0.999...=1といい、
無限など予めないという人は、0.999...≠1というのではないで
すか？ そうだとすれば、これは、無限概念の問題で、もはや数
学の問題ではなく、哲学の問題になるのでは？
今日の0.999...=1という考えを常識とする数学は西洋の哲学の
「無限を予めある」というように考えたことを基礎においているか
らではないでしょうか？
要するに、この問題は、数学的に考えることから、結論を得ない
のではないでしょうか？ 概念の問題となるから。
ご意見どうぞ。
0443１３２人目の素数さん
2007/01/01(月) 06:24:50シグマとか出さないとだめなのか？厨房の俺にはさっぱりわからん。
0444１３２人目の素数さん
2007/01/01(月) 07:06:32無限小数自体が本当はシグマを使って定義されているから。
そうでないと思う人は、ゴマカシの記述「…」を使うことで何となくわかったような気になっているだけで、厳密な定義を読んだことがないはず。
0445１３２人目の素数さん
2007/01/01(月) 07:09:45Σは足算
0446１３２人目の素数さん
2007/01/01(月) 09:57:47あらかじめ数があるかと言えば…
負数も分数も人間によって作られたもの。ある数学者は「自然数は神が与えたが、その他の数は
人間がつくった」みたいなこと言っていたな。でも、自然数すら人間が作ったモノかもね。
無限というか、このスレタイの問題は実数があれば、その実数の概念に無限は内包されているわ
けで…。
で、実数は「予めあるか？」だけど、「実数は連続している」というイメージがあるわけで、それを
認めて素直にそしてキチンと定義すると、自然にスレタイのコトも言えるんだよね。
んー。とりとめないけど、無限をあるとしても、人間が無限を作ったとしてもあまり変わりない
気がするなあ。あったとして、色々やっても別段問題ないしね。（ｹﾞｰﾃﾞﾙ？）
0447１３２人目の素数さん
2007/01/01(月) 10:02:27実無限的な考えは表に出ない（というか出さない）みたいです。
>>443
そこの実数の性質の部分ですが、そもそも0.999…が特定の数を表せるという前提なんですよね。
可能無限的には、その数列の上には1が無いという事しか言えないと思うんですが、「表せると
定義したのが実数だ」という事になっているらしいからややこしいんですよね。
離散的なもので、何か空間のような途切れの無いと思われるものを近似することはできるとは
思うんですが、それによってなんか＝の意味が意図しない範囲にまで広がっているような感じ
がするんですよね。
0448１３２人目の素数さん
2007/01/01(月) 11:57:070449１３２人目の素数さん
2007/01/01(月) 15:00:12私も、収束の考えの裏には実無限的なものがある気がするんですよね。
可能無限と背理法の組み合わせの正当性は自明なんですかね？
0450１３２人目の素数さん
2007/01/01(月) 15:27:52というより無限は対象外
0451１３２人目の素数さん
2007/01/01(月) 17:06:161≠0.999…なる公理系では
x→+0⇒x=1ｰ0.999…
x→ｰ0⇒x=0.999…ｰ1
が言える！
ちゅどぉーーん!!
0452１３２人目の素数さん
2007/01/01(月) 17:52:091-0.999……が無限大の逆数になるし
0453１３２人目の素数さん
2007/01/01(月) 18:19:58の続きとして考えてください。
要するに、0.999...=1という一般数学の無限の考えからは、「無限が予めある」
というものです。そのために1-0.999...=0.00000...となり、1は最後尾に取れ
ないというものです。このこと自体が疑問です。
もしそうだとするなら、無限大を考えた場合には明らかに矛盾することになり
ます。すなわち、上記は9の無限小でしたが、逆に9の無限大を考えた場合、
......99999.00000.....となります。これに1を足すと、......000000.00000
というようになり、0になって、これは無限先で1がないといってしまうことであ
り完全に矛盾です。何故なら、.....99999.00000.....は、すでにどう見ても9
以上の数だから0という数になっちまうのはおかしいでしょう。
だとすると、0.999...の無限小先には9があって、0.999...9というように最
後尾はあらわせることになり、それならば、0.000.....1というようにもあらわ
せなければなりません。いかがでしょうか。
0454１３２人目の素数さん
2007/01/01(月) 18:27:41＞無限が予めある
「予めある」としても、「予めあるわけでは無いが、作れる」としても、どちらでも同じことだな。
＞1は最後尾に取れないというものです。このこと自体が疑問です。
実数の構成法を知っている者から見れば、疑問は無い。オマエが無知なだけ。
＞もしそうだとするなら、無限大を考えた場合には明らかに矛盾することになります。
そもそも無限大は体Rに含まれないので、その後の議論は全て無意味。何も矛盾は起きない。
＞いかがでしょうか。
実数論の勉強をしてから出直して来ること。無知な素人がいくら考察を重ねたところで、
そこから生まれるのは間違いだらけの「トンデモ俺数学」に過ぎない。
0455１３２人目の素数さん
2007/01/01(月) 19:01:50一つ忠告、「オマエ」はよろしくない。
そこで、今、４５４さんは、数学には精通されている方のようですので、
お聞きします。上記の程の批判をここでされるのですから、いくら相手が
素人でも、その批判の根拠を相手に分かるようにご説明ください。
それと、「じっすう
質問の一つは、「無限大は体Rに含まれない」ということです。
それと「実数の構成法」というものです。この辺は確かに詳しくは知りま
せん。だから簡単に要点だけを説明してもらえませんか？
でないと、本当に４５４さんが、正しいことを言っておられるのかどうか
検討できませんので、そこんとこよろしくです。
それから、こういう議論は冷静にお願いしますね。言葉にご注意を。
0456１３２人目の素数さん
2007/01/01(月) 20:02:53＞せん。だから簡単に要点だけを説明してもらえませんか？
では、以下で「簡単に要点だけを説明する」ので、これを読んでも分からない場合は、
自分で実数論の勉強を行い、十分に理解してから出直して来ること。
「数学の基礎―集合・数・位相 齋藤正彦」でも読めばよいだろう。
実数の構成法：有理コーシー列(注1)全体の集合にある同値関係「～」を定義する(注2)。
「～」による同値類全体の集合が実数体Rになる。
注1：数列{pn}が有理コーシー列であるとは、各n∈Nについてpnが有理数であり、
∀ε＞0(ε∈Q),∃M∈N s,t n,m>M → |pn－pm|＜ε が成り立つときを言う。
注2：X上の同値関係「～」は、具体的には次のように定義される。
{pn}～{qn} ⇔ ∀ε＞0(ε∈Q),∃M∈N s,t n>M → |pn－qn|＜ε
＞質問の一つは、「無限大は体Rに含まれない」ということです。
なぜそれを質問するのか？無限大がRに含まれないのは当たり前の事実。
実数体Rはアルキメデスの原理「a,b＞0ならばna＞bを満たすn∈Nが存在する」を
満たすので、無限大は実数体Rに含まれない。なぜRがこの原理を満たすのか
分からない場合は、自分で実数論の勉強すること。
0457１３２人目の素数さん
2007/01/01(月) 20:05:24実数の構成法：有理コーシー列(注1)全体の集合に
↓
実数の構成法：有理コーシー列(注1)全体の集合Xに
0458１３２人目の素数さん
2007/01/01(月) 21:05:070459１３２人目の素数さん
2007/01/01(月) 21:09:350460１３２人目の素数さん
2007/01/01(月) 21:53:41実数は超実数となる。
マァ、比喩なんで、あんまり細かいことを言わんでも。
0461１３２人目の素数さん
2007/01/02(火) 00:03:58見ても良く分かりませんので、勉強してきますが、結局、４５６さんからすれば、
４５３の説明をどのように訂正しますか。そこら辺をご説明願えませんか？
よろしくです。
0462１３２人目の素数さん
2007/01/02(火) 01:23:48部外者だけど、大学１年で数学を勉強するまでその疑問は解決できないと思う。
理系に行けばどの学部でも勉強できる程度のレベルだしさ。
0463１３２人目の素数さん
2007/01/02(火) 01:46:49>>449
>収束の考えの裏には実無限的なものがある
そのためのε-δじゃないの？
あと>>453 3行目～4行目
>そのために1-0.999...=0.00000...となり、1は最後尾に取れ
>ないというものです。
そもそも「最後尾」という考え方がアレだと思うよ。
「aとbが同じ数」っていう意味を、良く考えてみるといいんじゃないかな。
何を満たせばa=bと表せるのかって。
それを厳密に表現したのが>>456って考えればいいから。
0464１３２人目の素数さん
2007/01/02(火) 01:53:16から、分かっておられるはずです。４５３の説明の訂正をお願いします。
理系大学で習った数式ではなく、４５３のような説明の仕方で、その説明の訂
正をするのですよ？ つまり、具体的に分かるようにです。
言ってみれば、結論は、こうですか？
......99999.00000.....に1を足した場合、.....00000.00000....=0でいい
ということですか？ また0.000...1という数はなく、1-0.999...=0.000...
だということですか？ お答えください。よろしくです。
0465456
2007/01/02(火) 02:27:07無限大を考えた場合には何も矛盾しない。 ......99999.00000.....はRに含まれないので、
「＋」という演算も定義されていない。よって、これに「1を足す」という操作も出来ず、
これ以上議論が出来ない。オシマイ。
>>464
＞......99999.00000.....に1を足した場合、.....00000.00000....=0でいい ということですか？
......99999.00000.....は実数ではないので、「＋」という演算も定義されず、よって、これに
「1を足す」という操作も出来ない。
0466456
2007/01/02(火) 02:36:100.000…1って何？どの桁が1なの？まさか、「無限桁目が1」とでも言う気か？もしそうなら、そのような実数は無い。
君が考え出した「実数モドキ」に過ぎない。そして、1－0.999…＝0.000…＝0になる。
0.00…01などという実数モドキを考えるのなら、0.000…999 (有限桁目は全て0,無限桁目は全て9)という実数モドキに
ついても考えてごらん。0.00…01＋0.000…999＝0.000…00になってしまうよ。君が主張してきた矛盾と同じ現象が起きる。
0467１３２人目の素数さん
2007/01/02(火) 07:00:34> ......99999.00000.....はRに含まれないので、
>「＋」という演算も定義されていない。よって、これに「1を足す」という操作も出来ず、
>これ以上議論が出来ない。
とおっしゃっていますが、この定義は定義ですよね。そいで、普通に考えた場合、無限小
としての無限も無限大としての無限もその概念的な印象としての無限の意味は同じと思わ
れます。だから、...99999.00000...の9の無限先という印象も、0.999...の9の無限先
の印象も同じだと思います。その上で、0.999...の方の無限小の場合の無限先だけが、1
に収束するので1だとするというなら、無限大の無限先の9はどうして1に近づいていると
いえないことになるのでしょうか？ そこが分からない。ここで1というのは、
100000...00.00000...というようなことです。
要するに、定義自体は疑わねばならないということです。
定義は作られたものといっても、でたらめではなりません、数理に即応していなければ
なりません。論理にかなっていなければなりません。 いかがでしょうか？
0468１３２人目の素数さん
2007/01/02(火) 07:47:38それじゃあ逆に聞くけど、「......99999.00000.....」って何？
数学では「.....」って書いたときは、別に正確な定義があって、その定義を書き下すと長くなるから省略するための方便なんだよ。
だから、貴方の「......99999.00000.....」という「数」を「.....」を使わないで定義してみて。
それができないなら、「......99999.00000.....」などという「数」は、貴方の脳内にしか存在しない幻。
0469456
2007/01/02(火) 07:54:19＞0.999...の方の無限小の場合の無限先だけが、1に収束するので1だとするというなら、
＞無限大の無限先の9はどうして1に近づいているといえないことになるのでしょうか？
＞そこが分からない。
それが言えるような、「でたらめない」「数理に即応している」「論理にかなっている」
定義が作れないから。実際、0.000…999 (←有限桁目は全て0)という実数モドキについて
考えると、0.00…01＋0.000…999＝0.000…00になってしまう。君の主張する実数モドキを
正当化する定義は存在しない。
＞要するに、定義自体は疑わねばならないということです。
＞定義は作られたものといっても、でたらめではなりません、数理に即応していなければ
＞なりません。論理にかなっていなければなりません。 いかがでしょうか？
もちろんその通り。そして、>>456で書いた実数の構成法は「でたらめで無い」「数理に対応している」
「論理にかなっている」ので、何も問題は無い。
一方で、君の主張する「実数モドキ」には矛盾がある。>>466でも書いたが、0.000…999 (←有限桁目は全て0)
という実数モドキについて考えると、0.00…01＋0.000…999＝0.000…00になってしまう。
0471１３２人目の素数さん
2007/01/02(火) 08:35:31>>451-452
0472１３２人目の素数さん
2007/01/02(火) 10:26:44相手をしてあげてる人も大変だな。
0474１３２人目の素数さん
2007/01/02(火) 14:57:01それだとて相手しなきゃいけないというものでもない
0475KingOfUniverse ◆667la1PjK2
2007/01/02(火) 17:04:04人々のすべきことは、人の脳を読む能力を悪用する奴を潰すことだ。
0476１３２人目の素数さん
2007/01/02(火) 17:08:141＝0.999999999・・・・
はすでにいくつかまともな答が出ている。
しかし
1≠0.999999999・・・・
は証明できません。
よって
1＝0.999999999・・・・
が成り立つのです。
0477１３２人目の素数さん
2007/01/02(火) 18:17:220.00…01＋0.000…999(←有限桁目は全て0) ＝0.000…00になってしまう。
これはどういう意味？ 特に...999のところの9は無限桁目ってこと？
そいで、足すと0になる、ってどういうこと？ 0になるの？ 足すと
0.000...1000じゃないの？（笑）
0478１３２人目の素数さん
2007/01/02(火) 18:50:01これは足し算が出来ないといったけど、下記のURLで説明していることをどう思う？
ゆっくりじっくり読んでみてよ？
http://www.rd.mmtr.or.jp/~bunryu/mugentaisu2.shtml
ここでは、0.999...=1とはいってるけど、...999.000...に1を足すと
...000.000...=0になるといっていて、足すことが出来るといってるよ？
それに不思議な計算法もあり、数式で証明さえしている。実に面白い問題だ。
0479１３２人目の素数さん
2007/01/02(火) 22:08:29君は>>467とは別人だな？
＞0.000...1000じゃないの？（笑）
その1は何桁目？無限桁目か？俺が書いている「0.000…999」は、有限桁目が全て0,その他の桁が
全て9だから、0.000…999に0.00…01を足すと、繰り上りが起きて、無限桁目は全て0になる。そう、
どの無限桁目も0になる。だから0.000...1000にはならない。
>>478
体どころか、整域にすらなってないじゃん(10.を参照)。>>467が主張している実数(モドキ)とは
全然違うものだね。
＞数式で証明さえしている。
「数式で証明」という言い回しを使うのは、数学に無縁の素人だけです(笑)いやマジで。
で、どこを探しても証明など見当たらないのだが。最後の11. に書いてあるのはP進数体の話。P進数体は
文字通り「体」であり、 一方、サイトの作者が1.～10. で書いている数の体系(モドキ)は体になって
いないから、全然 別のもの。だいたい、P進数体でも「…9999」という表記は見たことない。
0480１３２人目の素数さん
2007/01/02(火) 22:15:15ってどういういみ？
999…999.000…
って意味？
0481１３２人目の素数さん
2007/01/02(火) 22:36:23>P進数体でも「…9999」という表記は見たことない。
近大の先生が素人向けに書いたのを見たことがある。
0482１３２人目の素数さん
2007/01/03(水) 01:15:21水平線の彼方まで9が続いてるんだろ。
どう考えても無限大に発散します。本当に（ｒｙ
0483１３２人目の素数さん
2007/01/03(水) 02:14:08の位だということをはっきりさせるために...99999.00000...と真ん中に小数点
を打ったのです。
ところで、４７８のURLを見ましたが、ここでも上記に１を足せば、...00000
となって0になるとかいてますよね。ただ、私の場合はそのように...99999に1
を足して元の形より少ない0になるという矛盾を矛盾のままにほっておいて、別
な体系をどんどん推し進めて形作るというそのURLのHPの内容の考え方とは逆に
考えているということです。矛盾は矛盾のまま放って置けないだけです。
だから、...99999＋1=...00000=0という矛盾や奇妙さをそのままにせず、
それは単純に無限先の1を無視するからだと考えるわけです。
第一、0.999...の場合も、1-0.999...=0.000...となって0に等しくなると
いうのは無限先の9を無視するのだからです。もし、1-0.999...を1-0.999...9
で「...」を無限にすれば、筆算で、
1.000...000
)0.999...999
-------------
0.000...001
というようにきちんと最後尾１は表れるのであって、このことから、...99999の
場合も1を足して100000...000となるであろうことは自明なわけです。ただ、ここ
での1が何桁目になるかは、計算者の恣意に関わるだけだと思うのです。
要するに、予め無限などないという前提であるわけですから。あるのは、無限
の増減の動きがあるだけです。その限りない動きを無限というのであって、存在
の恣意や偶然にかかって有限となるだけです。
0484１３２人目の素数さん
2007/01/03(水) 02:21:01...99999の左無限配列は1に収束するというのとは同じ意味だと思うのです。
何故なら、この0.999...の無限配列が1であること示すとすれば、それは
一体何桁目でそうなるかの問題ではなく、無限桁目にそうなるとしか言いよ
うがなく、その無限桁目とは、...99999が一体何桁目の1に近づいているの
かというのとちっとも変わらないからです。結局のところどちらの場合も
何桁目で1と言えるようになるのかはどうでもよく、単に無限桁目と言うか、
任意に人が何桁目だと決定するほかないという意味で同じ意味だということ
です。
それで、両者が同じ意味である場合、結局、...99999について考えると
、これは無限先で1000...000というようになるのだとは到底にいえそうに
なく、単に9の桁が上がれば上がるだけ一つ上の位の1、つまり一つ桁の上
の1000...000に近い数の直前の999...9だと言えるだけだと分かる以上、
0.999...の方もどんなに9を続けても単に一つだけ位の高い1の位の１に
近づいていると言えるだけだと分かるのです。この場合、考え方は左端を
最小の起点として考えなければならないことに留意しなければなりません
。つまり、0.999...は、1の位の１に近づいているのであるけれども9の
数が増えれば増えるほど桁数から言うと、...99999の場合と同じで、どの
１に近づいているかは9の桁数によって決まるというのと同じ意味で、相
対的に小数以下の9の桁数によってどの1に近づいているかが決まるのです。
ただ、最高位を小数点以下第一位の9に決定されているという意味で１の位
の１に近づいているというだけです。もし小数点がなければ、両者は全く
同じ事情なのだとういうことです。それに、0.999...は、最小の9をどんな
に増やしても最大値の少数第一位の9、左先頭の9の１の位の1のすぐ右にあ
る9が繰り上がらなければ、１の位の１にはなりえないわけで、その先頭の9
を保ったまま、いくら無限の9を並べても、繰り上がって1になるわけはない
のです。
0485１３２人目の素数さん
2007/01/03(水) 02:25:12それは...99999の最小値の9が決定されているためにいくら9を左に並べて
いってもその最小値の9に1を足さなければ、とある1000...000という数には
至らないのと同じです。
単に違っているのは、...99999の場合は最大値の9が未定であり、
0.999...の場合は最小値の9が未定であるというだけです。そして、これら
二つの事柄を考え合わせれば、結局、予めの無限などない（あってはならな
い）ということが分かるのです。
一言で言うと、0.999...の最後尾の9は、...99999の最小位の9がすでに
決定されているように、その最小位の9も決定されて9なのです。よって、
0.999...は、0.999...9だといえるということです。逆に、...99999の最
高位の9も0.999...の最高位の決定された9のように9だと決定されているの
です。だからこそ9...99999だということです。
ただ、これらの9の桁数は、任意や偶然によってその無限の動きを制限さ
れるということです。無限とは、存在の数量の増減の変化の流れと考えます。
いいかえると、存在の無限はない。存在は有限であってこそ無限を把握する。
ということです。よって予めある無限などないのです。
以上
0486１３２人目の素数さん
2007/01/03(水) 02:53:22だれか、√2=1.414...は等しいものとして「=」で結んでいいと思いますか？
これも0.999...=1と結んではいけないように、結んではいけないと思います。
それから、例えば、1.41という√2の近似値が、この√2にどのくらい足らな
いか分かる人はいますか？ 0.999...=１ではない、という考えだと、その足ら
ない値が出ます。ご存知の方教えてください。
0487１３２人目の素数さん
2007/01/03(水) 02:57:150488456
2007/01/03(水) 03:26:22で？結局、0.000…999＋0.00…01＝0.000…000 という矛盾についてはどうなったの？(>>466を参照すること)
君の提唱する実数モドキでは、こういう矛盾が起きるのだが。
>>486
君の考えた「実数モドキ」においては、「＝」で結んではいけないようだが、
>>456で定義される、世間一般で使われている「実数」においては、「＝」で
結ばれる(アルキメデスの原理が成り立つから)。なお、アルキメデスの原理に
ついては>>456を参照すること。
>>487
その本の作者は、数学のことを何も知らない素人。そんなアホの本を妄信する前に、
正規の数学書である「数学の基礎―集合・数・位相 齋藤正彦」でも読んで来なさい。
素人の書いた数学書(笑)は糞マジメに読むのに、正規の数学書は1つも読まないってのはオカシイ。
0489１３２人目の素数さん
2007/01/03(水) 04:47:45>>474
ま、この程度なら微笑ましい程度で済みますからね。
>>476
つ>>426、1≠0.999…公理系の例。
>>483
謂ってみれば、無限小数ならぬ、無限大数か。
…ちょい待ち！
…999.000…＝lim[m→∞]{納n=0～m](9*10^n)}
と考えて(これだけ数記号を羅列すると、意図せぬ改行が起こる、要了承)、
ここから1を足そうが1*10^mを足そうが、
∞である事を忘れてない？
1を足せば1*10^(m+1)、
1*10^mを足せば、
10*10^m+納n=0～{mｰ1}](9*10^n)。
つまり、そちら流の記述法で
(以後、… …として無限先とやらを表し、各… …は同じ桁数とする)
～+1＝100… …000.000…
～+10^m=1000… …000.000…
更に、0.999… …999+0.000… …001も、繰り上がりを忘れてはいけない。つまり、1。
0490１３２人目の素数さん
2007/01/03(水) 05:08:39既出の本だな、上でこき下ろされた。
1と0.999…を＝とするか、≠とするかの差違だ。
標準の1＝0.999…公理系を用いるか、1≠0.999公理系…を用いるかは、適宜採用とする事にして、
もし1≠0.999…公理系を用いるなら、
旦那にも1≠0.999…公理系の一例を。
つ>>426
0491１３２人目の素数さん
2007/01/03(水) 06:17:07言いたいんじゃない？（笑）気が狂うような無限は、やっぱ、どっか
おかしいかもなww
0493１３２人目の素数さん
2007/01/03(水) 09:24:380495再び490改
2007/01/03(水) 13:14:431と0.999…を＝とするか、≠とするかの差違だ。
標準の1＝0.999…公理系を用いるか、1≠0.999公理系…を用いるかは、適宜採用とする事にして、
もし1≠0.999…公理系を用いるなら、
旦那にも1≠0.999…公理系の一例を。
つ>>426
0496１３２人目の素数さん
2007/01/03(水) 15:38:41…999+1=1000…000じゃね？
0にならなくね？
0497１３２人目の素数さん
2007/01/03(水) 15:58:23と言いたいのだろうか
0498１３２人目の素数さん
2007/01/03(水) 18:50:23そうですね、そのつもりで、483-485をかいたつもりです。
>>488
私の言う無限は、0.000...1の間の「...」の部分の無限であって、
これは「予めある無限」ではありません。「可能性としての無限」です。
じじつこの間には無限に0を入れることが出来る可能性があります。第一、
0.999...の場合も、9の無限も実際は予めある無限ではありません。にもか
かわらず、予めある無限としてあつかおうとするところに無限の概念に対す
る誤解があるのです。よってその誤解を正せば、無限は可能性としての無限
以外ではなく、0.999...も最後尾の9のあらわせる「0.999...9」という間
にある無限として表現すべきもののはずです。
よって、0.000...1+0.999...9=1であり、
0.000...001+0.000...999=0.000..1000=0.000..1です。ここで、
0.000..1は0.000...001よりも3桁上の数です。
だから、0.000…999＋0.00…01＝0.000…000 というのは、無限概念を
予めある無限として解釈したものであるために、このような解答はありえ
ないと思われます。
ちなみに上記の式は、0.000...999+0.000...001=0.000...000でもい
いのですよね？
無限とは、存在としての完成された無限ではなく、可能性としての
無限であり、存在はそのような無限をあつかえないのが実情です。存
在は無限を可能性や予想としてしかあつかえません。
0.999...や0.000...というように最後尾を表せないという事態は、
その完成された（予めある）無限を先取りするという錯覚された無限
概念のもとに考えられるからです。こんな無限などないのです。
以上
0499１３２人目の素数さん
2007/01/03(水) 19:47:22結局「...」の部分を「...」という省略記号を使わずに正確に定義できてないんじゃない。
やっぱり単なるデンパだな。
0500１３２人目の素数さん
2007/01/03(水) 19:53:34可能無限にこだわる限り現代的な便利な実数にはならないが、まあ個人の趣味でそういった実数もどきで遊ぶことができるのも数学の許容範囲の広さではある。
ただ、整合性が無く興味の持てる性質がなければ誰にも相手にされないだろうけど。
0502１３２人目の素数さん
2007/01/03(水) 20:17:42舌足らずでしたが悪しからず。
to>>494-495
>>498
数学の歴史上、両者の無限を
可能的無限、完結的無限(公式和訳)と区別されとるので、この様に区別、ヨロ。
0503１３２人目の素数さん
2007/01/03(水) 21:36:07それよりも、世の中に無限など存在しないって言ってるんじゃない。
0504１３２人目の素数さん
2007/01/03(水) 23:15:470.00…と0.00…1の区別がついてない人か。
0505456
2007/01/03(水) 23:22:44言ってることが支離滅裂でよく分からん。
＞0.000...001+0.000...999=0.000..1000=0.000..1です。ここで、
＞0.000..1は0.000...001よりも3桁上の数です。
3桁上？それだと、…で省略されている部分は全て0だと解釈していることになるな。
だが、俺の書いた「0.000…999」は、…で省略されている部分もまた9なのだが。
具体的には、…で省略されている部分のうち、有限桁は全て0，その他の桁は全て9。
だから0.000…001+0.000…999=0.000…1000にはならない。0.000…000になる。
だいたい、今回の君のような主張がまかり通るのなら、0.000…1＋0.999…9＝0.999…1
になるよな。ここで、0.999…1の最後尾の1は、0.999…9の最後尾の桁より1桁上。
なんたって、…で省略されている部分は全て0としているのだから。それと、
＞その本の作者は、数学のことを何も知らない素人。そんなアホの本を妄信する前に、
＞正規の数学書である「数学の基礎―集合・数・位相 齋藤正彦」でも読んで来なさい。
＞
＞素人の書いた数学書(笑)は糞マジメに読むのに、正規の数学書は1つも読まないってのはオカシイ。
↑これについて返答くれ。「はい、正規の数学書を読んで勉強します」「いいえ、これからも素人の
本を熱心に読み、独自のドンデモ解釈を続けます」のうちどちらかで返答くれ。
0506502続き
2007/01/03(水) 23:22:590.000… …999+0.000… …001も、
0にするべからず!!
(ここでの｢… …｣の、空白仲立ち…の意味も>>494と同じ)
0507１３２人目の素数さん
2007/01/04(木) 04:16:09まぁ、がんばって それで言ってください。
0508１３２人目の素数さん
2007/01/04(木) 04:17:50言→行
0509１３２人目の素数さん
2007/01/04(木) 07:14:02あ、506は別でした。失礼しました。
0510１３２人目の素数さん
2007/01/04(木) 10:03:06しかしBlackGort(←スペル合ってるかは気にしない)が重い…。稀レスしかできん。
0511１３２人目の素数さん
2007/01/04(木) 10:04:16あいよ、了解です。
しかしBlackGort(←スペル合ってるかは気にしない)が重い…。稀レスになる。
0512１３２人目の素数さん
2007/01/04(木) 10:49:460513１３２人目の素数さん
2007/01/04(木) 11:22:43結局無限小(大)は存在するかしないかの議論をしてるの？
俺は存在しないとする方が好きなんで
1=0．999…
だなそもそも
1≠0．999……
として何か良い事あるの？
専門の人に聞きたいんだけど……
0514ﾄﾝﾃﾞﾓ発言失敗者(>>451)
2007/01/04(木) 12:33:18>>512
ではここでの儂は以降、このコテハンで。
0515１３２人目の素数さん
2007/01/04(木) 14:39:44近似値は、1/3 1 π（パイ） √2 √3に対してある数が不足していることを表
しています。
最も分かりやすいのは、0.999...（0.999...9)です。これは、当然、
0.000...1が不足している数です。
以上
0517１３２人目の素数さん
2007/01/04(木) 14:55:25何で0．000…1が足りないの？
意味不明なんだが
0518１３２人目の素数さん
2007/01/04(木) 14:58:47にもなるし
1≠0.9999…
にもなるってのは分かんだけど、どちらがより適用範囲が広いと思う？
0519１３２人目の素数さん
2007/01/04(木) 15:59:42無駄に複雑にするよりは通常の実数の方が現実的に適用範囲は広いと思う。
0520１３２人目の素数さん
2007/01/04(木) 16:02:10場ね。
0521１３２人目の素数さん
2007/01/04(木) 20:41:02近似値は、1/3 1 π（パイ） √2 √3に対してある数が不足していることを表
しています。
いや、不足していることをあらわしたいんじゃないだろ
全部書けない（無限に続く）から省略してるだけ
0522ﾄﾝﾃﾞﾓ発言失敗者
2007/01/04(木) 21:49:07一応確認の為に聞くが、有限の値域に限った話なら
1＝0.999…を言える事は認めますよね？
1＝0.999…なる公理系では1ｰ0.999…＝φ(:空集合記号)
1≠0.999…なる公理系では1ｰ0.999…＝ε(無限小とする)
どっちにしろ0。有限の値域ならばここで決着。
補註
{0|φ､ε}
0523１３２人目の素数さん
2007/01/05(金) 00:56:01そうすれば、分かりますよ。
0.000...1の間の「...」の無限の意味を考えてみたらいいです。
上記で説明しました。0.999... や1-0.999...=0.000...となる「...」
の部分の無限概念の表す無限などないということです。
0.000...1の間にある「...」には無限の0を入れることが出来ます。
その可能性があります。これには依存はありませんよね？
しかし、この無限の0を入れることを実現することは出来ません。
単に無限の空間と無限の時間による可能性や予想にすぎません。
この0の配列は、宇宙が滅亡しても実現しないでしょう。だから、
無限とは存在に関する限り扱えないものなのです。
0.999...の書き方による無限の想像は、これは完成された無限
です。だから、最後尾に9がくるとは考えないのです。0.000...1
の場合、この1は書くことが出来ないからです。無限を先に考える
ということは、無限が予め先にあると考えるからです。完成された
無限が先にあると考えるからです。よって、このような無限などな
いと言っているのです。無限は、0.000...1の間に来る0の無限配列
の可能性を考えれば、分かります。それが無限なのです。無限を錯
覚されないように。
0524１３２人目の素数さん
2007/01/05(金) 01:16:080525１３２人目の素数さん
2007/01/05(金) 01:19:351/nのnを累乗する場合、その累乗を∞乗にすることはあまり意味がありませ
ん。∞乗することは出来ないし、出来ないことをあたかも出来たように1/nのn
を∞乗すれば、0になるなど欺瞞です。これは、われわれ人間の存在が、宇宙の
無限にとってないと言うことと同じです。この無いに対して、あなたはあなた
自身を無いと肯定しますか？ ここで、人間存在は、1/nのnの∞乗分の１の１
に当たります。1人間は正確にこの宇宙の無限の広さからすると無いのですか？
そういわれたら、貴方は怒りはしませんか？
0526１３２人目の素数さん
2007/01/05(金) 01:45:00「無い」と主張し、それを人々に納得させようとすることになり、さらにそれが地球の数学会
で承認されているのなら、「0」である数学者が数学会で、1/nの∞乗は「0」であることに「0」
の一人一人がもっともらしく、ひげさえ生やしながらうなずくという図が思い浮かぶのに笑止を
禁じ得ません。その席上に参加した数学者は皆「0」として出席してるのですから。
0528456
2007/01/05(金) 02:33:03その主張は間違っている。 全 然 同 じ で は な い 。数列anが実数Aに収束するとは、
∀ε＞0，∃M∈N s,t n＞M → ｜an－A｜＜ε
が成り立つときを言う。このときA＝lim[n→∞]an と書く。この定義に従えば、
lim[n→∞]1/n^n＝0であるが、だからといって「1人間は正確にこの宇宙の無限の
広さからすると無い」ことにはならない。(それ以前に、宇宙の広さが無限かどうかも分からん)
＞もし、ここで、無いと言って肯定するなら、
上で書いたとおり、そもそも君の主張は間違っている。
0529１３２人目の素数さん
2007/01/05(金) 03:12:37数学は自然や宇宙の物理現象の数量的な部分の予測をすることを役目とする。
つまり、現実の現象と密接に関わっているというよりも、実際に即して構成され
ていなければならない。その構成が、現実の現象とは食い違っていれば、これは
ご法度だ。だから、数理的事実は、アキレスと亀の話のような現実と食い違うよ
うではならない。アキレスが亀に追いつかないのは数理論の世界だけの話である。
だから、これは何処かが間違っているわけで、まさに、0.999...=1となるという
間違いに匹敵することである。これは小さな間違いではない。大きな間違い、重
大な間違いである。これは別に0.999...が１だと言っているのではなく、便宜上
でいっているのだというなら、計算によって出てくる１は、どうして正確な答え
を出さないように出来ているのか？ 何故、実は、0.999...≠1と言うことを解
き明かしたところの説明がないのか？ その納得行く説明があるなら、誰もこれ
について議論などしなかったのだ。
だから、それが無いということは「便宜上」で0.999...=1だと言っているわけ
ではないのである。
事実、a=0.999...とすれば、10a=9.999... 10a-a=9.999...-0.999...=9
と言う正式な計算法があり、これは、実は、3,14の場合のように「便宜上1に
なるのだ」とは何処にも書いてなどいない。そうならば、本当はどうすれば、
a=0.999...になるというのだ？それを示すべきではないか。示していなけれ
ば、便宜上にはならないのである。
だからこそ、文字通りこれは、0.999...=1と言っているのである。そして
、1/nのnの∞乗は0ということも全く同じ事情によるのだ。これがまやかしで
なくてなんであろう。やはり、我々人間一人一人は、宇宙の無限性からは数学
上「0」なのである。こんなことを放っておいていいのか？
以上
0530１３２人目の素数さん
2007/01/05(金) 06:43:140531１３２人目の素数さん
2007/01/05(金) 08:00:47「数学以外の分野からの感想」ってのがこれなわけかｗ
0532１３２人目の素数さん
2007/01/05(金) 08:14:030533１３２人目の素数さん
2007/01/05(金) 08:15:580534１３２人目の素数さん
2007/01/05(金) 08:17:250535１３２人目の素数さん
2007/01/05(金) 08:18:13論破ってのはまともな相手にやることだｗ
0536１３２人目の素数さん
2007/01/05(金) 08:25:05ここは数学板
物理学なんて関係ない
0.999…=1があるのは証明ができるから
0.999…≠1がないのは証明ができないから
1/nのnの∞乗は0は無限小の極限は0みたいな感じ
0537１３２人目の素数さん
2007/01/05(金) 08:48:260538１３２人目の素数さん
2007/01/05(金) 08:58:00ところが、0.999...≠1は、証明できるんだな。言い換えると、
0.999...=1は成り立たないと言う証明でもある。それを証明すると、
必然的に0.999...≠1を証明することになる。
けれどもここには紹介しないよ。重要なことだから。知る方法を考
えなww もう、君達に敬語を使うのは止めた。でも、言葉の使い方は
いいかげんにはしない。ではね。
0540456
2007/01/05(金) 09:16:25＞アキレスが亀に追いつかないのは数理論の世界だけの話である。
0.999…≠1の世界だったら、0.999…＜1が成り立つのだから、0.999…＝1の
世界よりもさらに、アキレスは亀に追いつかないのだが(笑)
0541456
2007/01/05(金) 09:29:57＞その構成が、現実の現象とは食い違っていれば、これはご法度だ。
では、「宇宙の広さが無限である」という構成が、現実の現象と食い違っていたらどうするの？君は
0542１３２人目の素数さん
2007/01/05(金) 11:26:10無限の数学的解釈について議論してんの？
0543１３２人目の素数さん
2007/01/05(金) 11:42:580544１３２人目の素数さん
2007/01/05(金) 15:26:46無限の扱いの議論なんぞ既出。しかも、無限の取り尽くせない性質の部分から出鱈目論に誘導しよるとは…。
つ｢極限｣概念
半端な数理哲学を展開すな！
完結的無限について
つ｢集合論、または点集合論、無限集合論とも謂う｣
無限の存在論・観念論の出る処ではない。これは｢数理｣哲学(と言える)。
完結的無限やら何やらで
この様に、やたら諦道(｢諦め｣)誘導なんぞしよる事を、
半端な物理学者ならぬ半端｢“仏”理学者｣のする事、と呼び、蔑む。
(｢“仏”理学｣造語者、儂の先輩辺り)
ﾊｧｰ合掌、南無南無。
0545１３２人目の素数さん
2007/01/05(金) 15:55:29そう来ると思ったよ（笑）そこが素人の浅はかさと言うんだよｗ
考えが足らない証拠だ。それこそ単純に考えすぎ。実は、あのアキレ
スと亀の話は実に明解なんだよ。数理論的にはね。あの数理論が明解
で正確だからこそ、0.999...=1ではないのさ。そこがパラドックスで
あり、パラドックスでないゆえん。つまり、亀に追いつかないから
こそ、追いつくってことなんだよ（笑）答えはここでは書かないよ。
0.999...≠1の根拠の一つになっているからね。
0546１３２人目の素数さん
2007/01/05(金) 16:21:29ここに>>545の全てが集約されているわけですな。
0547１３２人目の素数さん
2007/01/05(金) 16:42:530.999...の無限性、この予めある無限性の概念は何をお手本にしていると思う？
宇宙の無限性さ。そして、その無限性の概念の捉え方が間違っていると言ってる
んだよ。結局、宇宙の無限性も存在には直接、数などでは扱えないということ。
それを錯覚して直接的にあつかおうとするのが、0.999...であり、1-0.999...
=0なんだよ。錯覚だよ、錯覚。数列も微分積分もこの錯覚を土台に気づかれてい
るわけだｗ
0548１３２人目の素数さん
2007/01/05(金) 16:44:34気づかれている→築かれている
0549１３２人目の素数さん
2007/01/05(金) 17:54:00よく分からんけど、「無限」って呼んでるものの定義が違うから議論になってない気がするのだが？
0550１３２人目の素数さん
2007/01/05(金) 18:19:19宇宙って開闢以来130億年程度で、それに×光速度で宇宙の大きさが大体出るから、
そもそも宇宙は有限なのでは…？
05511ｰ0.9dot=0
2007/01/05(金) 19:00:48一つ頼むが、>>390氏と>>498はコテハン参加でﾖﾛｼｸ。ごちゃごちゃしてきて訳分からん。
本題に入る。
結局、
1ｰ0.9dotが、＝φ成る超現数論、＝ε(：無限小)≠φ成る超現数論、共に既に構築され済みで、
1ｰ0.9dot＝0 (∵ε∈0、φ∈0)
である事には間違いないんだがな。
ただ単に二つある公理系って言う話なんだが
何故にそこまで完結的無限についての諦め指南を展開していきたいのか？
0552１３２人目の素数さん
2007/01/05(金) 19:13:29しかしアキレウスの方が足が速いのは明らかなので亀がハンデをもらって、
いくらか進んだ地点（地点Ａとする）からスタートすることとなった。
スタート後、アキレウスが地点 A に達した時には亀はアキレウスがそこに達するまでの時間分先に進んでいる
（地点 B）。アキレウスが今度は地点 B に達したときには亀はまたその時間分先へ進む（地点 C）。
同様にアキレウスが地点 C の時には亀はさらにその先にいることになる。この考えはいくらでも続けることができ、
結果、いつまでたってもアキレウスは亀に追いつけないことになる。
これって速度完全に無視してるよね
0553中川泰秀 ◆7JxrbguDSs
2007/01/05(金) 19:52:05けども有界領域の中の無限概念の存在(例えば円)位は実感出来る
0554x＝1－0.9dot
2007/01/05(金) 20:00:52欺瞞って…。
あの～、分数での表記がその意味もある事をｽﾙｰしとりません？
＞無限の意味をもう一度考え直してみて下さい。そうすればわかりますよ。
あの～、可能的無限・完結的無限の言葉を提示した相手にする話ですか？
何故に存在論・観念論をしだしますか？
完結的無限の存在云々は抜きにして、｢極限｣法は普通にそういう扱い方ですが何か。
例)lim[x→∞]1/x＝0，but x≠∞.
別表記でx→∞⇒1/x→0，but x≠∞.
しかも、1≠0.9dot的公理系での点集合論(に相当する事)語り始めるし…。イタい。
その上これは、完結的無限を前提にしなと出来ない話なんだが…。点集合論で謂うところの超限を。
誰かが支離滅裂といってたが本当だよ。
(しかし>>526の文章はイタい!!これぞ半端な哲学者!!)
大体、儂は｢有限数学(つまり、超現しない数論)｣に話を絞れば1＝0.9dotは言えるでしょう？って問うたのだが。
これには1ｰ0.9dotが｢空｣か｢無限小｣かは、｢超現しない数論｣だからそもそも言及する必要も無いし。
1と0.9dotの差を誤差して考えた場合も0だし。有限値域だから空か無限小か決める必要無いし。
…相手の文章よく読み取ってる？
0555１３２人目の素数さん
2007/01/05(金) 20:02:16なってる奴がいるようだが、宇宙は実無限だったのか。俺知らなかったよ。
05561－0.9dot＝0
2007/01/05(金) 20:10:58ただ単に公理系が二つあるだけの話を、無限がどうのこうの言う話に持っていってるだけだ。
それがθ→∞⇒sinθ=不定、っていうんならまだしも。
しかも、このθ→∞成るsinθにも解析接続とやら、Borel総和法とやら(両方とも、漏れは知らんが)では
ある指針を設けて(…かどうかは知らんが)、答えを出している。
1-1+1-1+1-…=?
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1165222067/
>>553
応援乙。謝。
つまり、lim[n→∞]{正n角形}＝円だな。
05571－0.9dot＝0
2007/01/05(金) 20:20:33いや、宇宙物理学では未だ物議を醸している筈…と釣られてみる。
だから>>547の様な香倶師を半端“仏”理学者って謂うんだよww
数学で定義済みの実数空間(1＝0.9dot系でも1≠0.9dot系でも)を用いない、と来たもんだ。
0558456
2007/01/05(金) 23:22:21君は>>529と同一人物なのか？
＞そこが素人の浅はかさと言うんだよｗ
じゃあ、君は専門家なわけだな。で、どの分野の専門家？少なくとも解析学の
一分野だよな？ああ、「トンデモ俺様解析学」の専門家か(笑)
＞答えはここでは書かないよ。
敗北宣言乙。
>>547
＞0.999...の無限性、この予めある無限性の概念は何をお手本にしていると思う？
極限の定義は>>528。宇宙の広さとは関係無い。君が勝手に「俺様の解釈」をして
極限と宇宙を支離滅裂に結び付けているだけ。だから矛盾が起きる。
で、>>505，>>528への返答はまだ？特に
＞その本の作者は、数学のことを何も知らない素人。そんなアホの本を妄信する前に、
＞正規の数学書である「数学の基礎―集合・数・位相 齋藤正彦」でも読んで来なさい。
＞
＞素人の書いた数学書(笑)は糞マジメに読むのに、正規の数学書は1つも読まないってのはオカシイ。
↑これについての返答をください。
0559１３２人目の素数さん
2007/01/05(金) 23:27:20「＝」って等しいっていう意味じゃないの？
だとしたら１と０．９９９・・・・は等しいってことでしょ？
これはつまり、等しいものを別の表現であらわしてるだけでは？
逆に、１と０．９９９・・・・が等しくないなら、１＝０．９９９・・・・という式が
間違ってるだけでは？
0560１３２人目の素数さん
2007/01/06(土) 00:11:32正にその通り。まあ現在の公理を認めればだけど。
sin(π/2) = 1 みたいなね。表し方が違うだけ。
そこに「オレ公理」を持ち出して論破したぜと騒ぐ奴ら。
>>523
>この0の配列 （0.00…1の…に入る0） は、宇宙が滅亡しても実現しないでしょう。だから、
> 無限とは存在に関する限り扱えないものなのです。
※（）内は俺。
宇宙の広さと「数」は全く無関係。
「数」に単位（molとかPaとか）をくっ付ければそういう事が議論できるが、
ここが数学板である限りそれは排除されるべき。
哲学板行った方がいいんじゃないかな。
0561１３２人目の素数さん
2007/01/06(土) 00:15:45腹痛い。あんまり笑わすなｗ
電波は「論破される資格」すらないことに気付け。
0562１３２人目の素数さん
2007/01/06(土) 02:17:54同調心理と言う奴かｗｗ ま、せいぜい、それで行ってくれよｗｗ
古い考えでいつまでも滞ってればいい。無駄みたいだから、ここまでにしとくｗ
0563１３２人目の素数さん
2007/01/06(土) 02:48:09>>545クンは何の宗教に入ってるんですか？
そういう頭の悪そうなことを普通に教えてる宗教って
どこなのか非常に興味があるのですが。
0564１３２人目の素数さん
2007/01/06(土) 03:37:20口汚い言葉が出てくる時点で、たいてい終わりだよ。なんていうか
そういうの、子供じみてるね。
0565１３２人目の素数さん
2007/01/06(土) 04:06:02なんつーか。
数学って基本的に、イエス・ノーがはっきりしているモノしか扱わないんだよ。
曖昧な言葉を排除しないと、厳密な証明なんてそもそもできないからね。
キミの書いた文章って、あまりにも意味が不明確な単語が連続して出てくるモンで、
はっきり言ってどこからつっこんだら良いかさえわかりかねる。だから色々言われて
いるんだけど…そこいらへんがまず無自覚だと思うけどねえ。
0566456
2007/01/06(土) 04:17:59＞古い考えでいつまでも滞ってればいい。
宇宙の広さと何の関係もない「極限」の定義(>>528参照)を、勝手に宇宙の広さと
支離滅裂に結びつけ、矛盾を引き起こすのが新しい考え方ですか。
で、>>505，>>528への返答はまだ？特に
＞その本の作者は、数学のことを何も知らない素人。そんなアホの本を妄信する前に、
＞正規の数学書である「数学の基礎―集合・数・位相 齋藤正彦」でも読んで来なさい。
＞
＞素人の書いた数学書(笑)は糞マジメに読むのに、正規の数学書は1つも読まないってのはオカシイ。
↑これについての返答をください。
0567１３２人目の素数さん
2007/01/06(土) 05:09:02＞ キミの書いた文章って
は？ 俺、第三者なんだけど？ｗｗ
議論の結末の間そういっただけなんで。。。
0568１３２人目の素数さん
2007/01/06(土) 05:10:200569１３２人目の素数さん
2007/01/06(土) 06:03:39俺もそう思う（笑）
ところで、もう長い説明などしないが、486には誰も答えてないね。
やっぱ知らないんだな。良かったｗ それと円の面積を出す時のπなん
だけど、これも、例えば、3,14位にして、あとのπそのものの無理数まで
の不足数を求めることが出来るんだよね。この辺の不足する値を求める
ことが出来る人はいるの？ いないだろうな。その古い考えじゃあｗｗ
いないなら、すまないね、俺やあの本を読んだ人だけわかってｗｗ
上記のように古い概念や考えでは無理だもんな。例えば、円の面積を
無限の多角形にして求める方法は今では原始的だよ。ちゃんとその不足分
の値を出せば出るわけだから。こうやって正しく無限を解すると色々と分
からなかった新しいことが分かってくるのさ。それだけ断っておくよ、だ
から君達の言ってることは、気の毒な単なるノイズィーな叫び声に聞こえ
るだけだんだよ。すまんなｗｗｗ でなきゃ、上の二つ出してくれないか。
0570１３２人目の素数さん
2007/01/06(土) 08:32:03＞でなきゃ、上の二つ出してくれないか。
「でなきゃ」だと？「である」としても、「でない」としても、君の主張は間違いの塊なのだが。
>>486
＞それから、例えば、1.41という√2の近似値が、この√2にどのくらい足らないか分かる人はいますか？
簡単。√2－1.41だけ足らない。
なお、不足分を無限小数で表示するなら、「実数体」においては√2－1.41＝0.a1a2a3… と表せる。
右辺が、無限小数による不足分の表示。ただし、
a1＝a2＝0
an＝max{m∈N｜m^2≦2*100^n}－10*max{m∈N｜m^2≦2*100^(n－1)} (n≧3)
である。
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