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1=0.999… その13.999…

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0001１３２人目の素数さん

2006/10/26(木) 18:36:06

前スレ:1=0.999… その 9.999… http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1118452051/
前スレ:1=0.999… その10.999… http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1136133055/
前スレ:1=0.999… その11.999… http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1142173277/
前スレ:1=0.999… その12.999… http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1154943310/
一応激しい論議の結果、回答テンプレートが作成されました　>2-5
今後書き込む際には、できるだけまず回答テンプレートを参照してから、それをふまえて行ってください。
また、回答テンプレートへの意見なども自由に書き込んでください。

0002１３２人目の素数さん

2006/10/26(木) 18:37:18

Ｑ１：　１＝０．９９９９…　か？
Ａ１：　「前提条件」によって「１＝０．９９９９…」となったり「１≠０．９９９９…」になったりする。
　　　しかし、通常はそのような前提条件を採用することのメリットや、過去の経緯を考えると
　　　「１＝０．９９９９…」であるとした方が妥当である。

Ｑ２：「１＝０．９９９９…」は証明可能なのではないか。
Ａ２：Ａ１の前提条件を認めれば可能である。しかし、認めない人にとってはその証明は
　　無意味である。

Ｑ３：１と０．９９９９…は形が全く違う。同じ数だと言うのは納得できない。
Ａ３：分数の２／２と３／３も違う形だが、全く同じ数である。

Ｑ４：Ａ１で、数学で正反対の結果を容認するのは納得できない。論理は絶対なのではないか？
Ａ４：自然数が入っている論理がもし正しいなら、その正しさはその論理内で証明できない。
　　したがって、「１＝０．９９９９…」が結論となる論理も「１≠０．９９９９…」が結論になる論理も
　　矛盾がない限り、その正しさはその論理内で証明できない。

0003１３２人目の素数さん

2006/10/26(木) 18:38:02

Ｑ５：　Ａ１の「前提条件」とは何か？
Ａ５：　通常は実数の範囲で考え、「実数の連続性」や「０．９９９９…が
　　　無限級数の極限値である」ことなどを前提にする。しかし、説明は複
　　　雑になるが、有理数の範囲で考えることも可能である。

Ｑ６：　「１＝０．９９９９…」の証明には幾つかの初等的手法があるが、これらは無意味なのか？
Ａ６：　前提条件を認めて、無限小数の演算を矛盾無く定義するなら、それらの初等的証明は
　　確かに証明になっている。前提条件を認めた段階でのより単純な証明は存在するが
　　初等的証明には「分かりやすい」という利点がある。

0004１３２人目の素数さん

2006/10/26(木) 18:38:34

Ｑ７：Ｑ６の初等的証明とは具体的にどのようなものがあるのか？
Ａ７：
①　　１／３＝０．３３３３…　
　　　　　　両辺を３倍して
　　　　１　　＝０．９９９９…

②　ｘ＝０．９９９９…　とおいて
　　１０ｘ－ｘ＝９．９９９９…　－　０．９９９９…
　　　９ｘ　　＝９
　　　　ｘ　　＝１
　　したがって　１＝０．９９９９…　である。

③　１／９＝０．１１１１…
　　２／９＝０．２２２２…
　　　　　…
　　８／９＝０．８８８８…
　　９／９＝０．９９９９…　＝　１

④　０．９９９９…　は初項０．９公比０．１の無限等比級数だから、その値は
　０．９９９９…　＝　０．９／（１－０．１）　＝　１

⑤　ｎ÷ｎ　を計算する際に商の一の位に０をたてると、０．９９９９…が得られるから
　１　＝　ｎ÷ｎ　＝　０．９９９９…

0005１３２人目の素数さん

2006/10/26(木) 18:39:26

⑥　０．９９９９…と１が異なるとなるとすると、その間の数がある。
　その間の数があるとして、各桁毎に比較することでその値を考えていくと…
　１の位は比較して０
　小数第１位は比較して９
　小数第２位は比較して９
　小数第３位は比較して９
　…………
　と、以下繰り返していくと、結局この間の数は
　０．９９９９…
　となってしまい、０．９９９９…と１の間の数にならないので矛盾。

⑦１と０．９９９９…を足して２で割った数は
　１．９９９９…／２＝０．９９９９…となり、ｘ＝０．９９９９…とおくと、
　（１＋ｘ）／２＝ｘ　よって、ｘ＝１となる。

＊＊＊＊＊

今後の課題：１≠０．９９９９…となる数学モデルの提示

0006１３２人目の素数さん

2006/10/26(木) 18:57:14

乙

0007１３２人目の素数さん

2006/10/26(木) 19:28:39

⑦のテンプレは証明が必要。
①のテンプレも同様。
テンプレなので多少の間違いや早とちりがあっても良いって事？

0008１３２人目の素数さん

2006/10/26(木) 19:32:35

初等的証明だから、ま、いいんじゃね。
それより改めて見ると「０．９９９９…」の定義がまったく無いね。

0009１３２人目の素数さん

2006/10/26(木) 19:37:13

>>7
①⑦はＱＡ５～ＱＡ６によって、「実数の連続性などの前提条件を認め」かつ「無限小数の
演算が矛盾無く定義されている状態」とされている。

その条件を認めるなら…①も⑦も単純に「無限小数の演算ができるか」ってコトが重要だ
から、問題ないだろう。要するに「無限小数の演算が既に定義済み」というコトが重要。
これでも、問題があるというなら指摘してくれ。

0010１３２人目の素数さん

2006/10/26(木) 19:38:55

>>8
色々な定義があるからね。
標準的な実数による定義、有理数だけでの定義、超準解析による定義…えとせとら

0011１３２人目の素数さん

2006/10/26(木) 19:41:37

>>10
うん、いろいろあるけど、
初等的な証明をいくつか書くならば、
その前提になる初等的な定義も何かあったほうがいいんじゃないかな？

0012１３２人目の素数さん

2006/10/26(木) 19:58:11

「実数の連続性」を前提とするって事だけど、
実際は「アルキメデスの原理」があれば十分じゃないかな。
数学的帰納法を使っていいならば
「1=0.999…」と「アルキメデスの原理」は同値でしょ。
有理数の範囲で考える事も可能なのは、
有理数体もアルキメデス順序体だからだよね。

前スレで、超準解析ならば「1=0.999…」とならない解釈も可能って議論が出てたけど、
それは「超実数体はアルキメデスの原理を満たさない」という解釈が
可能だという事の言い換えでしょ。

0013１３２人目の素数さん

2006/10/26(木) 20:32:26

なるほどね。じゃ、こうか？

Ｑ５：　Ａ１の「前提条件」とは何か？
Ａ５：　考える数がアルキメデスの原理を満たすことなどである。

0014１３２人目の素数さん

2006/10/26(木) 20:34:48

>>8 そもそも、その定義自体をこのスレで議論しているのでは？

０．９９・・（極限とした見方）＝１
０．９９・・（永遠に続く数を値として認める）≠１

永遠に続く数を値として捕らえるのはどうだろうかと思うから、
0．99・・＝lim　(n　->　∞）Σ　[1,　ｎ]（1－（1/10）^k)
として、極限としての値１で表記をしたのがオーソドックスな
考えになってる。

ここのスレの人は、この考えをより明確にさらに合理的に解決する
ため集合論や数学基礎論のような分野の話をしたいと考えている
のかな？

0015１３２人目の素数さん

2006/10/26(木) 20:41:53

>>14
定義レベルの議論もあるし、証明レベルの議論もあるよ。
しかし、少なくともテンプレで証明をいくつか書くんなら
定義のいくつかも厳密でなくてもいいから書く必要はあるんじゃないの？
って思うんだよ。

0016１３２人目の素数さん

2006/10/26(木) 21:07:13

>>9
定義だから無矛盾と言うのも、数学の拡張性をなくすと思うのだが？
その定義って言うのは、
無限に演算を続ければ、余りはなくなるって言う事を定義しているの？

>>14
limを外した時に、(n　->　∞）Σ　[1,　ｎ]（1－（1/10）^k) は
(n　->　∞）Σ　[1,　ｎ]（1－（1/10）^k) →１と言う意味合いしかなく、
矢印の意味合いは、限りなく近づくという意味でしかないだろう。

0017１３２人目の素数さん

2006/10/26(木) 21:31:36

(n→∞)an → lim[n→∞]an

こういうことだ。

0018１３２人目の素数さん

2006/10/26(木) 21:35:27

>>16
分数から無限小数への変換は君が言うとおり(?)定義してもとりあえず無矛盾なのでは？

0019１３２人目の素数さん

2006/10/26(木) 22:06:10

>>17
ウン、その通りだね。

>>18
無矛盾であるかどうかは証明しなければいけないのでは？

0020１３２人目の素数さん

2006/10/26(木) 22:47:16

>>19
だからあ、そこに「ゲーデル」が出てくる訳でしょ？

0021１３２人目の素数さん

2006/10/26(木) 23:01:29

＞だからあ、
口癖でつか？

0022１３２人目の素数さん

2006/10/26(木) 23:30:41

>>21
＞口癖でつか？

マァ、それだけではなくて、半可通とも呼ばれるんじゃないの？

0023１３２人目の素数さん

2006/10/27(金) 00:53:06

全くの素人意見なんだけど気になったので聞いてみたい。
無限小数に対して四則計算って有効なの？

どういうことかと言うと、
無限に循環する少数である「無限小数」は、その存在点が確定されうる値として取り扱う事が出来るのかという事なんだ。
もしこれが証明されていないならその他の数と計算することは出来ないんじゃないかと思う。

例えば数直線上で、
　　　　　　　　　───────────────
　　　　　　　　　　　・　　　　　　　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　　A　　　　　　　　　　　　　　　　B
AとBの二点間の距離を求めるにはA点とB点の値の差を計算すれば良いんだけど、このAないしBのどちらかが無限小数である場合（あるいは両方）
上で書いたように、「無限小数の確定された点」を観測できなければ、二点間の距離を求める事ができなく、
無限小数に対して四則計算が成り立つとは言えない事が証明されるんじゃないかな？

本当に素人意見なんで「こいつ何言ってるんだ頭おかしいんじゃねぇ？」と思われた方は無視してくださってかまいません。
どなたか、お暇で親切な人がいたらツッコんで貰えると嬉しいです。

0024１３２人目の素数さん

2006/10/27(金) 01:02:52

「無限小数」というのは、人間が読み書きするための「数字」上の話であって、
実際の数値や計算とは本質的には無関係。

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