1=0.999… その13.999…
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0001１３２人目の素数さん
2006/10/26(木) 18:36:06前スレ:1=0.999… その10.999… http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1136133055/
前スレ:1=0.999… その11.999… http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1142173277/
前スレ:1=0.999… その12.999… http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1154943310/
一応激しい論議の結果、回答テンプレートが作成されました >2-5
今後書き込む際には、できるだけまず回答テンプレートを参照してから、それをふまえて行ってください。
また、回答テンプレートへの意見なども自由に書き込んでください。
0002１３２人目の素数さん
2006/10/26(木) 18:37:18Ａ１： 「前提条件」によって「１＝０．９９９９…」となったり「１≠０．９９９９…」になったりする。
しかし、通常はそのような前提条件を採用することのメリットや、過去の経緯を考えると
「１＝０．９９９９…」であるとした方が妥当である。
Ｑ２：「１＝０．９９９９…」は証明可能なのではないか。
Ａ２：Ａ１の前提条件を認めれば可能である。しかし、認めない人にとってはその証明は
無意味である。
Ｑ３：１と０．９９９９…は形が全く違う。同じ数だと言うのは納得できない。
Ａ３：分数の２／２と３／３も違う形だが、全く同じ数である。
Ｑ４：Ａ１で、数学で正反対の結果を容認するのは納得できない。論理は絶対なのではないか？
Ａ４：自然数が入っている論理がもし正しいなら、その正しさはその論理内で証明できない。
したがって、「１＝０．９９９９…」が結論となる論理も「１≠０．９９９９…」が結論になる論理も
矛盾がない限り、その正しさはその論理内で証明できない。
0003１３２人目の素数さん
2006/10/26(木) 18:38:02Ａ５： 通常は実数の範囲で考え、「実数の連続性」や「０．９９９９…が
無限級数の極限値である」ことなどを前提にする。しかし、説明は複
雑になるが、有理数の範囲で考えることも可能である。
Ｑ６： 「１＝０．９９９９…」の証明には幾つかの初等的手法があるが、これらは無意味なのか？
Ａ６： 前提条件を認めて、無限小数の演算を矛盾無く定義するなら、それらの初等的証明は
確かに証明になっている。前提条件を認めた段階でのより単純な証明は存在するが
初等的証明には「分かりやすい」という利点がある。
0004１３２人目の素数さん
2006/10/26(木) 18:38:34Ａ７：
① １／３＝０．３３３３…
両辺を３倍して
１ ＝０．９９９９…
② ｘ＝０．９９９９… とおいて
１０ｘ－ｘ＝９．９９９９… － ０．９９９９…
９ｘ ＝９
ｘ ＝１
したがって １＝０．９９９９… である。
③ １／９＝０．１１１１…
２／９＝０．２２２２…
…
８／９＝０．８８８８…
９／９＝０．９９９９… ＝ １
④ ０．９９９９… は初項０．９公比０．１の無限等比級数だから、その値は
０．９９９９… ＝ ０．９／（１－０．１） ＝ １
⑤ ｎ÷ｎ を計算する際に商の一の位に０をたてると、０．９９９９…が得られるから
１ ＝ ｎ÷ｎ ＝ ０．９９９９…
0005１３２人目の素数さん
2006/10/26(木) 18:39:26その間の数があるとして、各桁毎に比較することでその値を考えていくと…
１の位は比較して０
小数第１位は比較して９
小数第２位は比較して９
小数第３位は比較して９
…………
と、以下繰り返していくと、結局この間の数は
０．９９９９…
となってしまい、０．９９９９…と１の間の数にならないので矛盾。
⑦１と０．９９９９…を足して２で割った数は
１．９９９９…／２＝０．９９９９…となり、ｘ＝０．９９９９…とおくと、
（１＋ｘ）／２＝ｘ よって、ｘ＝１となる。
＊＊＊＊＊
今後の課題：１≠０．９９９９…となる数学モデルの提示
0006１３２人目の素数さん
2006/10/26(木) 18:57:140007１３２人目の素数さん
2006/10/26(木) 19:28:39①のテンプレも同様。
テンプレなので多少の間違いや早とちりがあっても良いって事？
0008１３２人目の素数さん
2006/10/26(木) 19:32:35それより改めて見ると「０．９９９９…」の定義がまったく無いね。
0009１３２人目の素数さん
2006/10/26(木) 19:37:13①⑦はＱＡ５～ＱＡ６によって、「実数の連続性などの前提条件を認め」かつ「無限小数の
演算が矛盾無く定義されている状態」とされている。
その条件を認めるなら…①も⑦も単純に「無限小数の演算ができるか」ってコトが重要だ
から、問題ないだろう。要するに「無限小数の演算が既に定義済み」というコトが重要。
これでも、問題があるというなら指摘してくれ。
0010１３２人目の素数さん
2006/10/26(木) 19:38:55色々な定義があるからね。
標準的な実数による定義、有理数だけでの定義、超準解析による定義…えとせとら
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