k(a+b)=2-(a^2+b^2)
-k^2=2-(a^2+b^2)
a^2+b^2=2+k^2
2ab=(a+b)^2-(a^2+b^2)=k^2-(2+k^2)=-2
(a-b)^2=a^2+b^2-2ab=2+k^2+2=4+k^2
b-a=√(4+k^2)

解説：
問題文から、上に凸の２次関数を切る傾きkの直線が「すぐに」思い浮かぶ。
与えられた条件は
①ka=1-a^2
②kb=1-b^2
と書ける事が猿にもわかる。
これらを足した式と引いた式からb-aはすぐに求まる。

公式を暗記して、なんとかこれに当てはめて答えを求めると言うのは
受験の数学と言えども愚の骨頂です。自分で素直に考えればよいのです。